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Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt einer Strecke kann zum einen über eine Mittelpunktformel oder eine Linearkombination durch Vektoren bestimmt werden.

Mittelpunktformel

Gegeben sind zwei Punkte A und B.

A~(a_x|a_y|a_z); B~(b_x|b_y|b_z)A(ax∣ay∣az);B(bx∣by∣bz)A~(a_x|a_y|a_z); B~(b_x|b_y|b_z)

Die Werte der Punkte kannst du dann einfach in diese Gleichung einsetzen:

M_{\overline{AB}}~(\frac{a_x+b_x}{2}|\frac{a_y+b_y}{2}|\frac{a_z+b_z}{2})MAB‾(ax+bx2∣ay+by2∣az+bz2)M_{\overline{AB}}~(\frac{a_x+b_x}{2}|\frac{a_y+b_y}{2}|\frac{a_z+b_z}{2})

Linearkombination

Gegeben sind wieder die Punkte A und B wie oben.

Du kannst den Mittelpunkt M nun auch über eine Linearkombination mit Vektoren erreichen. Dafür nutzt du diese Gleichung:

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}OM→=OA→+12⋅AB→\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}
Auf dem Bild siehst du eine Linearkombination vom Koordinatenursprung zum Punkt A. Von dort aus musst du nur einen halben Vektor AB zum Mittelpunkt M der Strecke AB gehen.

Abschließend musst du den Vektor OM noch in die Punktschreibweise für den Punkt M umformulieren.

Beispiele

Beispiel mit Mittelpunktformel

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke, die zwischen den Punkten C und D verläuft!

C~(4|2|9); D~(2|-4|1)C(4∣2∣9);D(2∣−4∣1)C~(4|2|9); D~(2|-4|1)M_{\overline{CD}}~(\frac{4+2}{2}|\frac{2+(-4)}{2}|\frac{9+1}{2})MCD‾(4+22∣2+(−4)2∣9+12)M_{\overline{CD}}~(\frac{4+2}{2}|\frac{2+(-4)}{2}|\frac{9+1}{2})\implies \underline{\underline{M_{\overline{CD}}~(3|-1|5)}}⟹MCD‾(3∣−1∣5)‾‾\implies \underline{\underline{M_{\overline{CD}}~(3|-1|5)}}

Beispiel mit Linearkombination

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke, die zwischen den Punkten E und F verläuft!

E~(3|8|1); F~(9|2|-7)E(3∣8∣1);F(9∣2∣−7)E~(3|8|1); F~(9|2|-7)\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}EF→=(6−6−8)\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{EF}OM→=OE→+12⋅EF→\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{EF}\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}OM→=(381)+12⋅(6−6−8)\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}OM→=(65−3)\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\implies \underline{\underline{M_{\overline{EF}}~(6|5|-3)}}⟹MEF‾(6∣5∣−3)‾‾\implies \underline{\underline{M_{\overline{EF}}~(6|5|-3)}}
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