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Mittelpunkt einer Strecke (feat. Vektoren)

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt einer Strecke kann zum einen über eine Mittelpunktformel oder eine Linearkombination durch Vektoren bestimmt werden.

Mittelpunktformel

Gegeben sind zwei Punkte A und B.

A~(a_x|a_y|a_z); B~(b_x|b_y|b_z)

A~(a_x|a_y|a_z); B~(b_x|b_y|b_z)

Die Werte der Punkte kannst du dann einfach in diese Gleichung einsetzen:

M_{\overline{AB}}~(\frac{a_x+b_x}{2}|\frac{a_y+b_y}{2}|\frac{a_z+b_z}{2})

M_{\overline{AB}}~(\frac{a_x+b_x}{2}|\frac{a_y+b_y}{2}|\frac{a_z+b_z}{2})

Linearkombination

Gegeben sind wieder die Punkte A und B wie oben.

Du kannst den Mittelpunkt M nun auch über eine Linearkombination mit Vektoren erreichen. Dafür nutzt du diese Gleichung:

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}

Auf dem Bild siehst du eine Linearkombination vom Koordinatenursprung zum Punkt A. Von dort aus musst du nur einen halben Vektor AB zum Mittelpunkt M der Strecke AB gehen.

Abschließend musst du den Vektor OM noch in die Punktschreibweise für den Punkt M umformulieren.

Eine Arbeit steht an?

Du musst für eine Prüfung oder einen Test lernen? Mit personalisierten Lernplänen bist du gut und strukturiert vorbereitet.

Bereite dich mit Lernplänen besser auf Prüfungen vor.

Beispiele

Beispiel mit Mittelpunktformel

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke, die zwischen den Punkten C und D verläuft!

C~(4|2|9); D~(2|-4|1)

C~(4|2|9); D~(2|-4|1)

M_{\overline{CD}}~(\frac{4+2}{2}|\frac{2+(-4)}{2}|\frac{9+1}{2})

M_{\overline{CD}}~(\frac{4+2}{2}|\frac{2+(-4)}{2}|\frac{9+1}{2})

\implies \underline{\underline{M_{\overline{CD}}~(3|-1|5)}}

\implies \underline{\underline{M_{\overline{CD}}~(3|-1|5)}}

Beispiel mit Linearkombination

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke, die zwischen den Punkten E und F verläuft!

E~(3|8|1); F~(9|2|-7)

E~(3|8|1); F~(9|2|-7)

\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}

\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{EF}

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{EF}

\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}

\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}

\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}

\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}

\implies \underline{\underline{M_{\overline{EF}}~(6|5|-3)}}

\implies \underline{\underline{M_{\overline{EF}}~(6|5|-3)}}

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Winkel zwischen Vektoren

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