Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt einer Strecke kann zum einen über eine Mittelpunktformel oder eine Linearkombination durch Vektoren bestimmt werden.


Mittelpunktformel

Gegeben sind zwei Punkte A und B.

A~(a_x|a_y|a_z); B~(b_x|b_y|b_z)A(axayaz);B(bxbybz)A~(a_x|a_y|a_z); B~(b_x|b_y|b_z)

Die Werte der Punkte kannst du dann einfach in diese Gleichung einsetzen:

M_{\overline{AB}}~(\frac{a_x+b_x}{2}|\frac{a_y+b_y}{2}|\frac{a_z+b_z}{2})MAB(ax+bx2ay+by2az+bz2)M_{\overline{AB}}~(\frac{a_x+b_x}{2}|\frac{a_y+b_y}{2}|\frac{a_z+b_z}{2})

Linearkombination

Gegeben sind wieder die Punkte A und B wie oben.

Du kannst den Mittelpunkt M nun auch über eine Linearkombination mit Vektoren erreichen. Dafür nutzt du diese Gleichung:

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}OM=OA+12AB\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}
Auf dem Bild siehst du eine Linearkombination vom Koordinatenursprung zum Punkt A. Von dort aus musst du nur einen halben Vektor AB zum Mittelpunkt M der Strecke AB gehen.

Abschließend musst du den Vektor OM noch in die Punktschreibweise für den Punkt M umformulieren.


Beispiele

Beispiel mit Mittelpunktformel

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke, die zwischen den Punkten C und D verläuft!

C~(4|2|9); D~(2|-4|1)C(429);D(241)C~(4|2|9); D~(2|-4|1)M_{\overline{CD}}~(\frac{4+2}{2}|\frac{2+(-4)}{2}|\frac{9+1}{2})MCD(4+222+(4)29+12)M_{\overline{CD}}~(\frac{4+2}{2}|\frac{2+(-4)}{2}|\frac{9+1}{2})\implies \underline{\underline{M_{\overline{CD}}~(3|-1|5)}}MCD(315)\implies \underline{\underline{M_{\overline{CD}}~(3|-1|5)}}

Beispiel mit Linearkombination

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke, die zwischen den Punkten E und F verläuft!

E~(3|8|1); F~(9|2|-7)E(381);F(927)E~(3|8|1); F~(9|2|-7)\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}EF=(668)\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{EF}OM=OE+12EF\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{EF}\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}OM=(381)+12(668)\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}OM=(653)\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\implies \underline{\underline{M_{\overline{EF}}~(6|5|-3)}}MEF(653)\implies \underline{\underline{M_{\overline{EF}}~(6|5|-3)}}
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