Länge eines Vektors

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie?

Dann wird dir auch die Berechnung der Länge von Vektoren begegnen, die du auch in Klausuren und Tests zum Thema Vektorgeometrie können solltest.

Wie das funktioniert, zeigt dir simpleclub!


Länge eines Vektors berechnen einfach erklärt

Länge eines Vektors berechnen Definition

Die Länge eines Vektors wird über den Betrag dieses Vektors berechnet.

|\vec{a}|=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}a=(a1)2+(a2)2+...+(an)2|\vec{a}|=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}

Dabei sind a_1, ... , a_na1,...,ana_1, ... , a_n die Komponenten des Vektors.

Länge eines Vektors berechnen wichtigste Fälle

Falls du einen Vektor aus dem zweidimensionalen Raum gegeben hast, berechnet sich seine Länge wie folgt:

\left| \vec{b} \right|=\left|\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(b_1)^2+(b_2)^2}b=(b1b2)=(b1)2+(b2)2\left| \vec{b} \right|=\left|\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(b_1)^2+(b_2)^2}

Falls du einen Vektor aus dem dreidimensionalen Raum gegeben hast, berechnet sich seine Länge wie folgt:

\left|\vec{c}\right|=\left|\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(c_1)^2+(c_2)^2+(c_3)^2}c=(c1c2c3)=(c1)2+(c2)2+(c3)2\left|\vec{c}\right|=\left|\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(c_1)^2+(c_2)^2+(c_3)^2}

Abstand zwischen 2 Punkten

Falls du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen sollst, stellst du zunächst den Vektor zwischen diesen Punkten auf.

Anschließend berechnest du den Abstand über die Formel für den Betrag des Vektors.


Länge eines Vektors berechnen Beispiele

Vektor im zweidimensionalen Raum

Berechne die Länge des Vektors!

\vec{p}=\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}p=(23)\vec{p}=\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}\left| \vec{p} \right|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(2)^2+(3)^2}p=(23)=(2)2+(3)2\left| \vec{p} \right|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(2)^2+(3)^2}= \sqrt{4+9} = \underline{\underline{\sqrt{13}\approx3,6056\textit{ LE}}}=4+9=133,6056LE= \sqrt{4+9} = \underline{\underline{\sqrt{13}\approx3,6056\textit{ LE}}}

Vektor im dreidimensionalen Raum

Berechne die Länge des Vektors!

\vec{q}=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}q=(513)\vec{q}=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}\left|\vec{q}\right|=\left|\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ (-3) \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(5)^2+(1)^2+((-3))^2}q=(51(3))=(5)2+(1)2+((3))2\left|\vec{q}\right|=\left|\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ (-3) \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(5)^2+(1)^2+((-3))^2}=\sqrt{25 + 1 + 9}=\underline{\underline{\sqrt{35}\approx5,9161\textit{ LE}}}=25+1+9=355,9161LE=\sqrt{25 + 1 + 9}=\underline{\underline{\sqrt{35}\approx5,9161\textit{ LE}}}

Abstand zwischen zwei Punkten

... im zweidimensionalen Raum

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B!

A~(-2|1); B~(4|8)A(21);B(48)A~(-2|1); B~(4|8)

Schritt 1: Vektor zwischen den beiden Punkten aufstellen.

\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4-(-2) \\ 8-1 \end{pmatrix}AB=(4(2)81)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4-(-2) \\ 8-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}=(67)=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}

Schritt 2: Betrag dieses Vektors errechnen und Abstand angeben.

\left| \overrightarrow{AB} \right|=\left|\begin{pmatrix} 6 \\ 7\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(6)^2+(7)^2}AB=(67)=(6)2+(7)2\left| \overrightarrow{AB} \right|=\left|\begin{pmatrix} 6 \\ 7\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(6)^2+(7)^2}= \sqrt{36+49} = \underline{\underline{\sqrt{85}\approx9,2195\textit{ LE}}}=36+49=859,2195LE= \sqrt{36+49} = \underline{\underline{\sqrt{85}\approx9,2195\textit{ LE}}}

... im dreidimensionalen Raum

Berechne den Abstand zwischen den Punkten C und D!

C~(2|3|1); D~(4|-1|7)C(231);D(417)C~(2|3|1); D~(4|-1|7)

Schritt 1: Vektor zwischen den beiden Punkten aufstellen.

\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 4-2 \\ -1-3 \\ 7-1 \end{pmatrix}CD=(421371)\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 4-2 \\ -1-3 \\ 7-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}=(246)=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}

Schritt 2: Betrag dieses Vektors errechnen und Abstand angeben.

\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ (-4) \\ 6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(2)^2+((-4))^2+(6)^2}CD=(2(4)6)=(2)2+((4))2+(6)2\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ (-4) \\ 6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(2)^2+((-4))^2+(6)^2}=\sqrt{4 + 16 + 36}=\underline{\underline{\sqrt{56}\approx7,4833\textit{ LE}}}=4+16+36=567,4833LE=\sqrt{4 + 16 + 36}=\underline{\underline{\sqrt{56}\approx7,4833\textit{ LE}}}
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