Vektor im Raum

Wenn du in Mathe gerade dreidimensionale Koordinatensysteme kennenlernst, werden dir auch Vektoren im Raum begegnen.

Wie beschreibt man Vektoren im Raum und wie berechnet man sie?

simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt, wie es geht.

Vektor im Raum einfach erklärt

Tippe auf den Schalter.

Das, was in der Animation eingezeichnet wird, ist ein Vektor.

  • Ein Vektor ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.

  • In diesem Fall ist das ein Vektor zwischen einem Haus (= Koordinatenursprung) und einem Schatz.

  • Einen Vektor kannst du dir wie eine Wegbeschreibung in 3D vorstellen.

  • Den Vektor, den du in der Animation sehen kannst, würdest du folgendermaßen aufschreiben.

\vec {OS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} OS=(363)\vec {OS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}

Vektor im Raum Definition

Ein Vektor im Raum erhält zusätzlich zur xxx- und yyy-Koordinate noch eine zzz-Koordinate. Du kannst die Koordinaten auch als x_1x1x_1, x_2x2x_2 und x_3x3x_3 bezeichnen, je nachdem, wie du dein Koordinatensystem beschriftet hast.

\implies \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}v=(xyz)=(x1x2x3)\implies \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Vektor Erklärung

Ein Vektor ist wie eine Wegbeschreibung in 3D. Der Vektor gibt dir an, wie viele Schritte du in xxx, in yyy und in zzz-Richtung gehen musst.

Drücke die Button.

In der Animation kannst du sehen, wie man von dem Koordinatenursprung zu dem Schatz gelangt.

Der rote Weg zeigt dir, welche Koordinaten du insgesamt gehst. Du landest mit dem blauen Weg am Ende genauso wie beim roten Weg beim Punkt SSS.

  • Der blaue Weg ist der Vektor.

  • Der Vektor geht die Koordinaten gleichzeitig ab.

  • Der Vektor ist also immer die direkte Verbindung zwischen zwei Punkten.

  • Der eingezeichnete Vektor \vec {OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}OS=(363)\vec {OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} gibt dir die genaue Wegbeschreibung. Also wie weit du in die jeweiligen Richtungen laufen musst.

  • Wenn der Vektor \vec {OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}OS=(363)\vec {OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} heißt, musst du also 333 Schritte in xxx-Richtung, 666-Schritte in yyy-Richtung und -33-3 Schritte in zzz-Richtung gehen.

  • Ist nur ein Vektor ohne Startpunkt gegeben, so ist nicht klar, wo er im dreidimensionalen Raum liegt. Ein Vektor ist nicht an einen Punkt gebunden.

Ortsvektor einfach erklärt

Der Vektor vom Keller zum Schatz wird mit OS beschriftet.

Der Vektor \vec {OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}OS=(363)\vec {OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} zeigt ja direkt vom Ursprung des Koordinatensystems (hier der Keller des Hauses) bis zu dem Punkt SSS.

  • Er verbindet also den Punkt O(0|0|0)O(000)O(0|0|0) mit dem Punkt S(3|6|-3)S(363)S(3|6|-3).
  • Ein solcher Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem bestimmten Punkt geht, wird Ortsvektor genannt.

Der Ortsvektor besitzt immer die gleichen Komponenten, wie der Punkt, zu dem er zeigt.

Wichtig ist allerdings, dass

  • ein Vektor immer vertikal übereinander aufgeschrieben wird.

Beschriftung Ortsvektor

Ortsvektoren werden entweder mit dem kleinen Buchstaben des Punktes (\vec ss\vec s) oder mit einem \vec{OS}OS\vec{OS} bezeichnet. Meistens wird dir die Schreibweise mit \vec {OS}OS\vec {OS} begegnen.

Dabei ist O der Koordinatenursprung (0|0|0). Du schreibst also nur die jeweiligen Koordinaten des Punktes untereinander auf.

S~(3|6|-3 )\implies \vec s=\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}S(363)s=OS=(363)S~(3|6|-3 )\implies \vec s=\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}

Vektor zwischen zwei Punkten

Drücke den Button.

In der Animation siehst du nun, wie ein Vektor von einem anderen Haus (Punkt YYY) zu dem Punkt SSS eingezeichnet wird.

Du kannst nämlich auch den Vektor zwischen zwei Punkten im Raum berechnen. Das musst du sogar sehr oft tun.

Nun wird also gesucht, wie man von YYY nach SSS kommt. Du suchst also den Vektor von YYY nach SSS.

\vec{YS} = \ ?YS=?\vec{YS} = \ ?
  • YYY hat die Koordinaten Y(3|6|-3)Y(363)Y(3|6|-3).
  • SSS hat die Koordinaten S(-3|1|0)S(310)S(-3|1|0).

Um die Koordinaten des Vektors \vec {YS}YS\vec {YS} zu berechnen, musst du folgendes tun:

Du musst die Koordinaten von YYY von den Koordinaten von SSS abziehen. Also:

\vec {YS} =\vec {S}-\vec Y =\begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3-3\\ 1-6 \\ 0-(-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6\\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}YS=SY=(310)(363)=(33160(3))=(653)\vec {YS} =\vec {S}-\vec Y =\begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3-3\\ 1-6 \\ 0-(-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6\\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}

Spitze minus Fuß

Beachte:

Um einen Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, musst du immer den Anfangspunkt des Vektors vom Endpunkt des Vektors abziehen.

Das ist auch als Spitze minus Fuß bekannt.

Umgekehrter Vektor

Würdest du den umgekehrten Vektor \vec{SY}SY\vec{SY}, also vom Punkt SSS zum Punkt YYY berechnen, dann müsstest du wieder Spitze minus Fuß beachten. Es gilt:

\vec {SY} =\vec {Y}-\vec S =\begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (-3)-3\\ 1-6 \\ 0-(-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6\\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}SY=YS=(310)(363)=((3)3160(3))=(653)\vec {SY} =\vec {Y}-\vec S =\begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (-3)-3\\ 1-6 \\ 0-(-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6\\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}

Du siehst also, dass der Gegenvektor ein anderer Vektor ist. Und zwar genau der Gegenvektor. Die Vorzeichen der einzelnen Komponenten sind alle vertauscht. Es gilt also:

\vec{YS} \neq \vec {SY}YSSY\vec{YS} \neq \vec {SY}

Kollineare Vektoren

Drücke die Button.

Sieh dir die beiden Vektoren an. Es ist zweimal derselbe Vektor eingezeichnet, allerdings mit einem anderen Startpunkt.

\implies\implies Diese Vektoren sind parallel.

  • Zwei Vektoren sind parallel zueinander, wenn Sie in dieselbe Richtung zeigen. Die Vektoren können, müssen dabei aber nicht gleich lang sein.
  • Zwei Vektoren nennt man antiparallel, wenn Sie in genau entgegengesetzte Richtung zeigen.

Häufig wird dir auch das Wort kollinear begegnen.

Zwei Vektoren sind kollinear zueinander, wenn sie parallel oder antiparallel sind. Die Länge der Vektoren und auch die Lage im Raum spielt dabei keine Rolle.

Kollineare Vektoren sind immer linear abhängig.

Häufig wird in der Schule allerdings nicht gefragt, ob zwei Vektoren parallel oder antiparallel sind, sondern ob sie linear abhängig sind.

  • Zwei Vektoren die kollinear sind, sind immer linear abhängig.

  • Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn Sie Vielfache voneinander sind.

  • Zwei Vektoren sind Vielfache voneinander, wenn du ein \lambdaλ\lambda findest, so das gilt:

\vec a = \lambda \vec ba=λb\vec a = \lambda \vec b

Zeichnen im 3D - Koordinatensystem

Ist der Vektor Vektor zwischen zwei Punkten gegeben, kannst du den Vektor relativ einfach einzeichnen.

Zeichne dazu die Punkte ein und verbinde sie dann, je nach Richtung des Vektors setzt du den entsprechenden Pfeil.

Du kannst Vektoren im Raum parallel verschieben. Hast du nur den Vektor an sich gegeben, hast du demzufolge unendlich viele Möglichkeiten, diesen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

Du suchst dir einen beliebigen (oft auch vorgegebenen) Startpunkt und gehst parallel zu den Koordinatenachsen die einzelnen Komponenten des Vektors ab. Dann setzt du den Pfeil in die Richtung des erreichten Punktes.

Auf dem Bild siehst du die vorangegangene Erklärung veranschaulicht. Es gibt einen Vektor AB wobei der Pfeil von A nach B zeigt. Dann gibt es einen Vektor QP, wobei der Pfeil von Q nach P zeigt. Dann gibt es einen beliebigen Vektor, wobei um diesen einzuzeichnen von einem beliebigen Startpunkt aus in x-Richtung, dann in y-Richtung und anschließend in z-Richtung die entsprechenden Werte des Vektors abgetragen werden.

Beispiele

Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

Berechne den Vektor zwischen dem Punkt A (1|2|3)A(123)A (1|2|3) und dem Punkt B(2|4|3)B(243)B(2|4|3).

Lösung

Du suchst den Vektor \vec {AB}AB\vec {AB}, also den Vektor von A(1|2|3)A(123)A(1|2|3) nach B(2|4|3)B(243)B(2|4|3).

Du musst den Anfangspunkt vom Endpunkt abziehen. Es gilt: Spitze minus Fuß.

Merke dir am Besten: Immer zuerst den zweiten Punkt nehmen und den ersten Punkt abziehen.

\begin{aligned} \vec {AB} &= \vec {B}-\vec{A} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \\[2mm]&= \begin{pmatrix} 2-1\\ 4-2 \\3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \end{aligned}AB=BA=(243)(123)=(214233)=(120)\begin{aligned} \vec {AB} &= \vec {B}-\vec{A} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \\[2mm]&= \begin{pmatrix} 2-1\\ 4-2 \\3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \end{aligned}

Vektor im Raum

Gegeben sind die Punkte

A~(2|1|4), B~(-3|1|2), C~(1|3|4), D~(8|-2|3)A(214),B(312),C(134),D(823)A~(2|1|4), B~(-3|1|2), C~(1|3|4), D~(8|-2|3)

1.) Stelle den Vektor von AAA nach BBB und den Vektor von DDD nach CCC auf.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3-2 \\ 1-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}AB=(321124)=(502)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3-2 \\ 1-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 1-8 \\ 3-(-2) \\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}DC=(183(2)43)=(751)\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 1-8 \\ 3-(-2) \\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}

2.) Zeichne die beiden Vektoren in ein 3D-Koordinatensystem ein.

Auf der Grafik siehst du die Vektoren AB und DC eingezeichnet im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Kollineare Vektoren

Man sieht zwei parallele Vektoren.

Die zwei dargestellten Vektoren in dem Bild sind ...

  • ... parallel zueinander (Sie zeigen beide in die gleiche Richtung)
  • ... kollinear, da alle Vektoren die parallel zueinander sind, auch kollinear zueinander sind.
Man sieht zwei antiparallele Vektoren.

Die zwei dargestellten Vektoren in diesem Bild sind ...

  • ... antiparallel zueinander (Sie zeigen beide in die entgegengesetzte Richtung)
  • ... kollinear, da alle Vektoren die antiparallel zueinander sind, auch kollinear zueinander sind.
Man sieht zwei sich schneidende Vektoren.

Die zwei dargestellten Vektoren in diesem Bild sind ...

  • ... weder parallel noch antiparallel zueinander (Sie zeigen beide in unterschiedliche Richtungen)
  • ... nicht kollinear, da alle Vektoren die nicht parallel und auch nicht antiparallel zueinander sind, auch nicht kollinear zueinander sind.

Linear abhängig

Sind die beiden Vektoren

\begin{aligned} \vec {a} &= \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} -4\\ -8 \\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}a=(243) und b=(486)\begin{aligned} \vec {a} &= \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ und } \vec b= \begin{pmatrix} -4\\ -8 \\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}

linear abhängig?

Lösung

Du musst überprüfen, ob du ein \lambdaλ\lambda findest, so dass gilt:

\vec a = \lambda \vec ba=λb\vec a = \lambda \vec b

Die beiden Vektoren sind linear abhängig, denn es gilt:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} &=\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot \begin{pmatrix} -4\\ -8 \\ -6 \end{pmatrix} \\[3mm] \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot (-4)\\\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot (-8) \\\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot (-6) \end{pmatrix} \\[3mm] \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\col[1]2\\ \col[1]4 \\ \col[1]3 \end{pmatrix} \end{aligned}(243)=(12)(486)(243)=((12)(4)(12)(8)(12)(6))(243)=(243)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} &=\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot \begin{pmatrix} -4\\ -8 \\ -6 \end{pmatrix} \\[3mm] \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot (-4)\\\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot (-8) \\\col[1]{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot (-6) \end{pmatrix} \\[3mm] \begin{pmatrix} 2\\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\col[1]2\\ \col[1]4 \\ \col[1]3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Zusammenfassung

Vektor

Ein Vektor gibt immer eine Richtung bzw. eine Wegbeschreibung vor. Wo ein Vektor seinen Anfangspunkt hat, das ist nicht gegeben.

Ortsvektor

Als Ortsvektor bezeichnet man einen Vektor, der vom Koordinatenursprung zu einem bestimmten Punkt zeigt.

A~(a_1|a_2|a_3)\implies\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}A(a1a2a3)OA=(a1a2a3)A~(a_1|a_2|a_3)\implies\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}

Dabei ist O der Koordinatenursprung (0|0|0). Du schreibst also nur die jeweiligen Komponenten des Punktes untereinander auf.

Kollineare Vektoren

Kollineare Vektoren sind Vektoren, die parallel zueinander verlaufen oder in exakt entgegengesetzte Richtungen zeigen (antiparallel).

Linear abhängig

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind, also wenn gilt:

\vec a = \lambda \cdot \vec ba=λb\vec a = \lambda \cdot \vec b

Vektor zwischen zwei Punkten

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, musst du die Koordinaten des Endpunkts von den Koordinaten des Anfangspunkts abziehen.

Es gilt also:

\vec {AB} = \vec {B}-\vec {A}AB=BA\vec {AB} = \vec {B}-\vec {A}

Du rechnest also Spitze minus Fuß.

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