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Skalare Multiplikation

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Hast du im Matheunterricht gerade das Thema analytische Geometrie und rechnest mit Vektoren?

Sicherlich wirst du dann auch Vektoren mit einem Skalar multiplizieren sollen.

Das hört sich kompliziert an, ist aber gar nicht so schwer. simpleclub erklärt dir, wie es funktioniert.

Skalare Multiplikation mit Vektor einfach erklärt

Grafische Darstellung

Drücke den Button

Die skalare Multiplikation kannst du dir vorstellen, wie das multiplizieren mit einer normalen Zahl. Wird der Vektor z.B. verdreifacht, wie oben in der Animation, bedeutet das, dass der Vektor einfach dreimal so lang wird.

Man geht dann statt einmal den Vektor dreimal den Vektor in dieselbe Richtung.

Erklärung

Die skalare Multiplikation läuft komponentenweise ab. Das heißt, dass du die Zahl, mit der du den Vektor multiplizieren sollst, mit jeder einzelnen Komponente des Vektors multiplizieren musst.

Eine Zahl wird in der Vektorgeometrie auch als Skalar bezeichnet.

\alpha\cdot\vec{a}=\alpha\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha\cdot a_1 \\ \alpha\cdot a_2 \\ \alpha\cdot a_3 \end{pmatrix}

\alpha\cdot\vec{a}=\alpha\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha\cdot a_1 \\ \alpha\cdot a_2 \\ \alpha\cdot a_3 \end{pmatrix}

Als Ergebnis erhältst du also immer einen neuen Vektor. Du kannst für α eine beliebige Zahl einsetzen.

Skalare Multiplikation mit Vektor Definition

Bei der skalaren Multiplikation wird ein Vektor mit einer beliebigen Zahl multipliziert.

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Graphische Bedeutung Vektoren

Multiplizierst du einen Vektor mit einem Skalar, ändert dies seine Länge oder die Orientierung.

|α| > 1: Vektor wird verlängert
0 < |α| < 1: Vektor wird verkürzt
α < 0: Vektor ändert seine Orientierung

Drücke die Button.

Skalare Multiplikation mit Vektor Beispiele

Multipliziere den Vektor mit 5!

\vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}

\vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}

\begin{aligned} 5\cdot\vec{x}&=5\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 5\cdot1 \\ 5\cdot(-2) \\ 4\cdot5 \end{pmatrix} \\ &=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 20 \end{pmatrix}}} \end{aligned}

\begin{aligned} 5\cdot\vec{x}&=5\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 5\cdot1 \\ 5\cdot(-2) \\ 4\cdot5 \end{pmatrix} \\ &=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 20 \end{pmatrix}}} \end{aligned}

Multipliziere den Vektor mit -2!

\vec{y}=\begin{pmatrix}3 \\ 7 \\ -3\end{pmatrix}

\vec{y}=\begin{pmatrix}3 \\ 7 \\ -3\end{pmatrix}

\begin{aligned} (-2)\cdot\vec{y}&=(-2)\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (-2)\cdot3 \\ (-2)\cdot7 \\ (-2)\cdot(-3) \end{pmatrix} \\ &=\underline{\underline{\begin{pmatrix} -6 \\ -14 \\ 6 \end{pmatrix}}} \end{aligned}

\begin{aligned} (-2)\cdot\vec{y}&=(-2)\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (-2)\cdot3 \\ (-2)\cdot7 \\ (-2)\cdot(-3) \end{pmatrix} \\ &=\underline{\underline{\begin{pmatrix} -6 \\ -14 \\ 6 \end{pmatrix}}} \end{aligned}

Multipliziere den Vektor mit \frac{1}{2} $\frac{1}{2}$ !

\vec{z}=\begin{pmatrix}8 \\ 12 \\ -4\end{pmatrix}

\vec{z}=\begin{pmatrix}8 \\ 12 \\ -4\end{pmatrix}

\begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot\vec{z}&=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ -4 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot8 \\ \frac{1}{2}\cdot12 \\ \frac{1}{2}\cdot(-4) \end{pmatrix} \\ &=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}}} \end{aligned}