Addition und Subtraktion von Vektoren

Arbeitest du in Mathe gerade zu dem Thema analytische Geometrie mit Vektoren?

Dann wird dir im Unterricht die Addition und Subtraktion von Vektoren begegnen.

Vektoren zu addieren und zu subtrahieren ist nicht schwer! simpleclub zeigt dir, wie es geht.


Vektoren addieren und subtrahieren einfach erklärt

Addition und Subtraktion von Vektoren Definition

Die Addition und Subtraktion von Vektoren läuft komponentenweise ab.

\vec{a} \pm \vec{b}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{pmatrix}}}a±b=(a1a2a3)±(b1b2b3)=(a1±b1a2±b2a3±b3)\vec{a} \pm \vec{b}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{pmatrix}}}

Vektoren addieren und subtrahieren Beispiele

Addiere die Vektoren!

\vec{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}a=(14);b=(23)\vec{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\vec{a} + \vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix}}}a+b=(14)+(23)=(37)\vec{a} + \vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix}}}

Subtrahiere den Vektor d vom Vektor c!

\vec{c}=\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix};\vec{d}=\begin{pmatrix}8 \\ -1\end{pmatrix}c=(47);d=(81)\vec{c}=\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix};\vec{d}=\begin{pmatrix}8 \\ -1\end{pmatrix}\vec{c} - \vec{d}=\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}}}cd=(47)(81)=(48)\vec{c} - \vec{d}=\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}}}

Addiere die Vektoren!

\vec{e}=\begin{pmatrix}1 \\ -7 \\ 2\end{pmatrix};\vec{f}=\begin{pmatrix}3 \\ -4 \\ 5\end{pmatrix}e=(172);f=(345)\vec{e}=\begin{pmatrix}1 \\ -7 \\ 2\end{pmatrix};\vec{f}=\begin{pmatrix}3 \\ -4 \\ 5\end{pmatrix}\vec{e} + \vec{f}=\begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 4 \\ -11 \\ 7 \end{pmatrix}}}e+f=(172)+(345)=(4117)\vec{e} + \vec{f}=\begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 4 \\ -11 \\ 7 \end{pmatrix}}}

Subtrahiere den Vektor h vom Vektor g!

\vec{g}=\begin{pmatrix}9 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix};\vec{h}=\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 8\end{pmatrix}g=(921);h=(328)\vec{g}=\begin{pmatrix}9 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix};\vec{h}=\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 8\end{pmatrix}\vec{g} - \vec{h}=\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}}}gh=(921)(328)=(647)\vec{g} - \vec{h}=\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}=\underline{\underline{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}}}

Linearkombination

Als Linearkombination wird die Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon bezeichnet.

Als Ergebnis erhältst du einen neuen Vektor.

Das kann zum Beispiel so aussehen...

2\cdot\vec{a}+\vec{b}+3\cdot\vec{c}=\vec{d}2a+b+3c=d2\cdot\vec{a}+\vec{b}+3\cdot\vec{c}=\vec{d}

Eine Darstellung im 3D-Koordinatensystem findest du im kommenden Beispiel.

3.) Berechne die folgende Linearkombination.

2\cdot\overrightarrow{AB}+3\vec{e}+\overrightarrow{DC}2AB+3e+DC2\cdot\overrightarrow{AB}+3\vec{e}+\overrightarrow{DC}=2\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 3\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}=2(502)+3(301)+(751)=2\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 3\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}=(1004)+(903)+(751)=\begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -26 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = \vec{f}=(2656)=f= \begin{pmatrix} -26 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = \vec{f}

4.) Zeichne die Linearkombination und den daraus resultierenden Vektor in ein 3D-Koordinatensystem ein.

Es gibt hier wieder unendlich viele Möglichkeiten, da Vektoren beliebig, aber parallel, verschiebbar sind. Deine Zeichnung ist demzufolge abhängig vom Startpunkt.

Auf der Grafik siehst du eine Linearkombination des Vektors f. Dabei ist ersichtlich, dass ausgehend vom Startpunkt sowohl über die Linearkombination als auch über den Vektor f der gleiche Endpunkt erreicht wird.
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Länge eines Vektors

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