Anwendung Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras lässt sich in der Mathematik, aber auch im Alltag anwenden. Du kannst damit beispielsweise den Abstand zweier Punkte berechnen und Sachaufgaben lösen.


Erklärung

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks her.

Satz des Pythagoras

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten \col[1]{a}\col[1]a\col[1]{a} und \col[2]b\col[2]b\col[2]b und der Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c gilt:

\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2

Kennst du zwei Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck, dann kannst du über die Formel \col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2 die dritte Seitenlänge berechnen.

Auch wenn das nicht besonders atemberaubend klingt, hilft es bei der Lösung vieler Probleme.

Hauptanwendungsgebiete

Anwendung im Alltag

Viele Gegenstände des Alltags sind rechtwinklig.
Deshalb wird der Satz des Pythagoras verwendet, um beispielsweise

  • Streckenlängen,
  • Höhen,
  • Entfernungen zu berechnen.

Anwendung in der Mathematik

Das wichtigste Anwendungsgebiet in der Mathematik ist die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem.
Dazu konstruierst du ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Punkten. Die Katheten verlaufen von den beiden Punkten ausgehend senkrecht und waagerecht bis sie sich schneiden. Dort liegt der rechte Winkel.


Beispiele

Anwendung im Alltag

Aufgabe

Jan hat eine 5\text{ m}5 m5\text{ m} lange Leiter. Damit die Leiter sicher steht, stellt er sie 2\text{ m}2 m2\text{ m} vom Fuß des Hauses entfernt auf.

Haus, an dem eine Leiter lehnt. Die Leiter steht 2 Meter vom Haus entfernt und ist 5 Meter lang. Am Fuß des Hauses ist ein rechter Winkel eingezeichnet. Die Strecke vom Haus des Fußes bis zur Stelle, an der die Leiter anlehnt, ist mit einem Fragezeichen beschriftet.

Bis zu welcher Höhe kommt Jan mit der Leiter?

Lösung

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, um den Satz des Pythagoras anzuwenden.

Der rechte Winkel liegt am Fuß des Hauses.

Deshalb ist

  • die Leiter, die gegenüber dem rechten Winkel liegt, die Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c mit einer Länge von \col[3]{c=5}\text{ m}\col[3]c=5 m\col[3]{c=5}\text{ m}.

  • die Strecke vom Fuß des Hauses bis zum Standpunkt der Leiter eine Kathete \col[1]a\col[1]a\col[1]a mit einer Länge von \col[1]{a=2}\text{ m}\col[1]a=2 m\col[1]{a=2}\text{ m}.

  • die Höhe entlang der Hausmauer die zweite Kathete \col[2]b\col[2]b\col[2]b mit einer unbekannten Länge \col[2]{b=~?\text{ m}}.\col[2]b=? m.\col[2]{b=~?\text{ m}}.

Setze \col[1]{a=2}\text{ m}\col[1]a=2 m\col[1]{a=2}\text{ m} und \col[3]{c=5}\text{ m}\col[3]c=5 m\col[3]{c=5}\text{ m} in die Formel

\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}

ein und forme nach \col[2]b\col[2]b\col[2]b um.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]a^2+\col[2]b^2&=\col[3]c^2\\ \col[1]2^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{5}^2\qquad\qquad&&\mid-\col[1]{2}^2\\ \col[2]b^2&=\col[3]5^2-\col[1]2^2&&\mid\sqrt{\square}\\ \col[2]b&=\sqrt{\col[3]5^2-\col[1]2^2}\\ \col[2]b&=\sqrt{25-4}\\ \col[2]b&=\sqrt{21}\\ \col[2]b&\approx\lsg{\col[2]{4,58}} \end{aligned}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]22+\col[2]b2=\col[3]52\col[1]22\col[2]b2=\col[3]52\col[1]22\col[2]b=\col[3]52\col[1]22\col[2]b=254\col[2]b=21\col[2]b\lsg\col[2]4,58\begin{aligned} \col[1]a^2+\col[2]b^2&=\col[3]c^2\\ \col[1]2^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{5}^2\qquad\qquad&&\mid-\col[1]{2}^2\\ \col[2]b^2&=\col[3]5^2-\col[1]2^2&&\mid\sqrt{\square}\\ \col[2]b&=\sqrt{\col[3]5^2-\col[1]2^2}\\ \col[2]b&=\sqrt{25-4}\\ \col[2]b&=\sqrt{21}\\ \col[2]b&\approx\lsg{\col[2]{4,58}} \end{aligned}

Jan kommt mit seiner Leiter bis zu einer Höhe von etwa 4,58\text{ m}.4,58 m.4,58\text{ m}.

Anwendung in der Mathematik

Aufgabe

Berechne den Abstand zwischen den beiden Punkten A(1\mid2)A(12)A(1\mid2) und C(5\mid5)C(55)C(5\mid5).

Lösung

Der Abstand zwischen den beiden Punkten AAA und CCC entspricht der Länge der Strecke \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}}.

Die Strecke \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}} kannst du zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen und so den Satz des Pythagoras anwenden. Dazu zeichnest du von den Punkten AAA und BBB ausgehend zwei Hilfslinien parallel zu den Achsen und einen Punkt BBB am Schnittpunkt der Hilfslinien ein.

Klicke auf den Button.

Die Strecke \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}} ist gegenüber dem rechten Winkel und daher die Hypotenuse. Die Strecken \col[1]{\overline{BC}}\col[1]BC\col[1]{\overline{BC}} und \col[2]{\overline{AB}}\col[2]AB\col[2]{\overline{AB}} sind die Katheten.

Die Kathetenlängen des Dreiecks sind:

\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}&=5-2=\col[1]{3}\\ \col[2]{\overline{AB}}&=5-1=\col[2]{4} \end{aligned}\col[1]BC=52=\col[1]3\col[2]AB=51=\col[2]4\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}&=5-2=\col[1]{3}\\ \col[2]{\overline{AB}}&=5-1=\col[2]{4} \end{aligned}

Setze nun die Länge der Katheten \col[1]{\overline{BC}=3\text{ LE}}\col[1]BC=3 LE\col[1]{\overline{BC}=3\text{ LE}} und \col[2]{\overline{AB}=4\text{ LE}}\col[2]AB=4 LE\col[2]{\overline{AB}=4\text{ LE}} in die Formel

\boxed{\col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2=\col[3]{\overline{AC}}^2}\col[1]BC2+\col[2]AB2=\col[3]AC2\boxed{\col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2=\col[3]{\overline{AC}}^2}

ein und forme sie nach der Hypotenuse \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}} um.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \sqrt{\col[1]3^2+\col[2]4^2}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{9+16}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{25}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \lsg{\col[3]{5}}&=\col[3]{\overline{AC}} \end{aligned}\col[1]BC2+\col[2]AB2=\col[3]AC2\col[1]32+\col[2]42=\col[3]AC2\col[1]32+\col[2]42=\col[3]AC9+16=\col[3]AC25=\col[3]AC\lsg\col[3]5=\col[3]AC\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \sqrt{\col[1]3^2+\col[2]4^2}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{9+16}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{25}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \lsg{\col[3]{5}}&=\col[3]{\overline{AC}} \end{aligned}

Der Abstand zwischen den beiden Punkten A(1\mid2)A(12)A(1\mid2) und C(5\mid5)C(55)C(5\mid5) beträgt \col[3]{\overline{AC}=5\text{ LE}}\col[3]AC=5 LE\col[3]{\overline{AC}=5\text{ LE}}.

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