Koordinatenform einer Ebene

Wenn du dich in Mathe gerade mit Ebenengleichungen beschäftigst, wirst du auch die Koordinatenform kennenlernen.

Wie sieht die Koordinatenform einer Ebene aus und wie stellt man sie auf?

Um die Koordinatenform zu verstehen, solltest du vorher bereits wissen, was die Normalenform ist.

simpleclub erklärt dir, was du zur Koordinatenform wissen solltest.


Koordinatenform einer Ebene einfach erklärt

Koordinatenform einer Ebene Definition

Eine Ebene im Raum lässt sich durch eine Koordinatenform beschreiben. Sie entsteht durch das Ausmultiplizieren der Normalenform.

E:~ax+by+cz=dE:ax+by+cz=dE:~ax+by+cz=d

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

E:~\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{p}\right)=0E:n(xp)=0E:~\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{p}\right)=0

Schritt 1: Produkt ausmultiplizieren

E:n_1\cdot(x-p_1)+n_2\cdot(y-p_2)+n_3\cdot(z-p_3)=0E:n1(xp1)+n2(yp2)+n3(zp3)=0E:n_1\cdot(x-p_1)+n_2\cdot(y-p_2)+n_3\cdot(z-p_3)=0

Schritt 2: Summanden ausmultiplizieren

E:n_1x-n_1p_1+n_2y-n_2p_2+n_3z-n_3p_3=0E:n1xn1p1+n2yn2p2+n3zn3p3=0E:n_1x-n_1p_1+n_2y-n_2p_2+n_3z-n_3p_3=0

Schritt 3: Sortieren und Umstellen in allgemeine Form

E:~ax+by+cz=dE:ax+by+cz=dE:~ax+by+cz=d\textit{Für } \vec{x} \textit{ wird auch } \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \textit{ geschrieben.}Fu¨rxwirdauch(xyz)geschrieben.\textit{Für } \vec{x} \textit{ wird auch } \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \textit{ geschrieben.}

Koordinatenform einer Ebene Besonderheit

Wenn du eine Ebene in Koordinatenform

E:~ax+by+cz=dE:ax+by+cz=dE:~ax+by+cz=d

gegeben hast, kannst du den Normalenvektor ablesen:

\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}n=(abc)\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}

Koordinatenform einer Ebene Beispiel

Wandle folgende Ebene von der Normalenform in die Koordinatenform um.

E:~\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\right)=0E:(243)(x(841))=0E:~\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\right)=0

Schritt 1: Produkt ausmultiplizieren

E:2\cdot(x-8)+4\cdot(y-4)-3\cdot(z-(-1))=0E:2(x8)+4(y4)3(z(1))=0E:2\cdot(x-8)+4\cdot(y-4)-3\cdot(z-(-1))=0

Schritt 2: Summanden ausmultiplizieren

E:2x-16+4y-16-3z-3=0E:2x16+4y163z3=0E:2x-16+4y-16-3z-3=0

Schritt 3: Sortieren und Umstellen in allgemeine Form

E: 2x+4y-3z-35=0 \ \ \ |+35E:2x+4y3z35=0+35E: 2x+4y-3z-35=0 \ \ \ |+35E:~2x+4y-3z=35E:2x+4y3z=35E:~2x+4y-3z=35
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