Parameterform einer Ebene

Beschäftigst du dich in Mathe gerade mit der Vektorgeometrie und mit Ebenen?

Dann wird dir im Unterricht auch die Parameterform einer Ebene begegnen, die durch einen Stützvektor und die Spannvektoren aufgestellt wird.

Wie du eine solche Parameterform aufstellen kannst, zeigt dir simpleclub.


Parameterform einer Ebene einfach erklärt

Parameterform einer Ebene Definition

Eine Ebene im Raum lässt sich durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren beschreiben.

E:\vec{x}=\textcolor{sc_color_5} {\vec{p}} + r \cdot \textcolor{sc_color_4} {\vec{u}} + s \cdot \textcolor{sc_color_4} {\vec{v}}E:x=p+ru+svE:\vec{x}=\textcolor{#A86500} {\vec{p}} + r \cdot \textcolor{#00856C} {\vec{u}} + s \cdot \textcolor{#00856C} {\vec{v}}\textcolor{sc_color_5} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }p=Stu¨tzvektor\textcolor{#A86500} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }\textcolor{sc_color_4} { \vec{u};\vec{v} = \textit{Spannvektoren} }u;v=Spannvektoren\textcolor{#00856C} { \vec{u};\vec{v} = \textit{Spannvektoren} }

Die Ebene wird vom Stützvektor aus durch zwei Spannvektoren aufgespannt. Eine Ebene ist zweidimensional - daher genügen auch zwei dieser Vektoren, um jeden Punkt der Ebene zu erreichen.

Die 3-Punkte-Form

In den meisten Fällen wirst du zur Erstellung der Parameterform drei Punkte verwenden.

Auf der Grafik wird zunächst ein Punkt A dargestellt, der über den Vektor OA mit dem Ursprung verbunden ist. Von dort aus gehen zwei weitere Vektoren zu den Punkten B und C, die die Ebene somit aufspannen.

Das sieht für die Punkte A, B und C dann so aus:

E:\vec{x}=\overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}E:x=OA+rAB+sACE:\vec{x}=\overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}

Dies ist eine Möglichkeit. Du kannst jeden Punkt zur Bildung des Stützvektors verwenden - es ändern sich dann aber auch deine Spannvektoren.

Parameterform einer Ebene Besonderheit

Die Spannvektoren müssen als Anfangspunkt immer den Punkt verwenden, der zur Bildung des Stützvektors verwendet wird!

Die aus den Punkten entstehenden Spannvektoren müssen linear unabhängig sein!


Parameterform einer Ebene Beispiel

Bilde eine Ebene aus den Punkten P (2 | 3 | 5), Q (-2 | 4 | 7) und R (3 | 8 | 9).

E:\vec{x}=\overrightarrow{OP} + r \cdot \overrightarrow{PQ} + s \cdot \overrightarrow{PR}E:x=OP+rPQ+sPRE:\vec{x}=\overrightarrow{OP} + r \cdot \overrightarrow{PQ} + s \cdot \overrightarrow{PR}E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} (-2)-2 \\ 4-3 \\ 7-5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3-2 \\ 8-3 \\ 9-5 \end{pmatrix}E:x=(235)+r((2)24375)+s(328395)E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} (-2)-2 \\ 4-3 \\ 7-5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3-2 \\ 8-3 \\ 9-5 \end{pmatrix}E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}E:x=(235)+r(412)+s(154)E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}

Eine weitere Möglichkeit:

E:\vec{x}=\overrightarrow{OQ} + r \cdot \overrightarrow{QP} + s \cdot \overrightarrow{QR}E:x=OQ+rQP+sQRE:\vec{x}=\overrightarrow{OQ} + r \cdot \overrightarrow{QP} + s \cdot \overrightarrow{QR}E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}E:x=(247)+r(412)+s(542)E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}

Auch wenn die Gleichungen unterschiedlich aussehen, sind die daraus folgenden Ebenen trotzdem identisch.

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