Koordinatenform einer Gerade

Hast du in Mathe momentan das Thema Geraden in zweidimensionalen Räumen?

Dann sollst du sicherlich auch Geraden in der Koordinatenform aufstellen können.

Wie das funktioniert, erklärt dir simpleclub.


Koordinatenform einfach erklärt

Koordinatenform Definition

Eine Gerade lässt sich im zweidimensionalen Raum durch eine Koordinatenform beschreiben. Sie entsteht durch das Ausmultiplizieren der Normalenform.

g:~a x +b y = cg:ax+by=cg:~a x +b y = c

Koordinatenform Besonderheit

Eine Gerade lässt sich nur im zweidimensionalen Raum als Koordinatenform darstellen, da sie aus der Normalenform entsteht und es im dreidimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

g:~\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)=0g:(n1n2)(x(p1p2))=0g:~\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)=0

Schritt 1: Produkt ausmultiplizieren

g: n_1 \cdot (x-p_1) + n_2 \cdot (y-p_2)=0g:n1(xp1)+n2(yp2)=0g: n_1 \cdot (x-p_1) + n_2 \cdot (y-p_2)=0

Schritt 2: Summanden ausmultiplizieren

g: n_1x-n_1p_1+n_2y-n_2p_2=0g:n1xn1p1+n2yn2p2=0g: n_1x-n_1p_1+n_2y-n_2p_2=0

Schritt 3: Sortieren und Umstellen in allgemeine Form

g: n_1x+n_2y=n_1p_1+n_2p_2g:n1x+n2y=n1p1+n2p2g: n_1x+n_2y=n_1p_1+n_2p_2g:~a x +b y = cg:ax+by=cg:~a x +b y = c

Normalenvektor

Wenn du eine Gerade in Koordinatenform

g:~a x +b y = cg:ax+by=cg:~a x +b y = c

gegeben hast, kannst du den Normalenvektor ablesen:

\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}n=(ab)\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}

Koordinatenform Beispiel

Wandle die Gerade h von der Normalenform in die Koordinatenform um!

h:~\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\right)=0h:(15)(x(24))=0h:~\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\right)=0

Schritt 1: Produkt ausmultiplizieren

h: -1\cdot(x-2)+5\cdot(y-4)=0h:1(x2)+5(y4)=0h: -1\cdot(x-2)+5\cdot(y-4)=0

Schritt 2: Summanden ausmultiplizieren

h: -x+2+5y-20=0h:x+2+5y20=0h: -x+2+5y-20=0

Schritt 3: Sortieren und Umstellen in allgemeine Form

\underline{h: -x+5y=18}h:x+5y=18\underline{h: -x+5y=18}\implies \vec{n}=\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}n=(15)\implies \vec{n}=\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}
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