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Parameterform einer Gerade

Lernst du in Mathe momentan Geraden in dreidimensionalen Räumen kennen?

Dann sollst du sicherlich auch Geraden aufstellen können. Zum Beispiel in der Parameterform.

Wie das funktioniert, zeigt dir simpleclub.

Parameterform einfach erklärt

Für eine Gerade in Parameterform trägst du an einen Punkt, den du als Stützvektor umschreibst, einen Richtungsvektor an. Dieser Richtungsvektor wird mit einem Parameter versehen - und somit ist seine Orientierung und Länge beliebig veränderbar, wodurch eine Gerade entsteht.

Die 2-Punkte-Form

In den meisten Fällen wirst du zur Erstellung der Parameterform zwei Punkte verwenden.

Das sieht für die Punkte A und B dann so aus:

g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r \cdot \overrightarrow{AB}g:x⃗=OA→+r⋅AB→g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r \cdot \overrightarrow{AB}
Auf der Grafik siehst du, dass eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt wird. Dabei ist der Vektor zwischen diesen beiden Punkten gleichzeitig der Richtungsvektor der Gerade.

Dies ist die am meisten verwendete Möglichkeit. Du kannst den Stützvektor aber auch mit dem Punkt B bilden.

g:\vec{x}=\overrightarrow{OB}+r \cdot \overrightarrow{BA}g:x⃗=OB→+r⋅BA→g:\vec{x}=\overrightarrow{OB}+r \cdot \overrightarrow{BA}

Außerdem ist es egal, ob du den Richtungsvektor von B nach A oder A nach B laufen lässt. Zwei weitere Möglichkeiten wären demzufolge:

g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r \cdot \overrightarrow{BA}g:x⃗=OA→+r⋅BA→g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r \cdot \overrightarrow{BA}g:\vec{x}=\overrightarrow{OB}+r \cdot \overrightarrow{AB}g:x⃗=OB→+r⋅AB→g:\vec{x}=\overrightarrow{OB}+r \cdot \overrightarrow{AB}

Stellst du eine Gerade zwischen zwei Punkten auf, hast du für die Parameterform also immer genau vier Möglichkeiten.

Auf der Grafik siehst du verschiedene Kombinationsmöglichkeiten zum Aufstellen einer Gerade. Egal welche Variante du verwendest, es handelt sich immer um die gleiche Gerade.

Parameterform Definition

Eine Gerade im dreidimensionalen Raum kann durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben werden.

g:\vec{x}=\textcolor{sc_color_5} {\vec{p}}+r \cdot \textcolor{sc_color_4} {\vec{u}}g:x⃗=p⃗+r⋅u⃗g:\vec{x}=\textcolor{#A86500} {\vec{p}}+r \cdot \textcolor{#00856C} {\vec{u}}\textcolor{sc_color_5} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }p⃗=Stu¨tzvektor\textcolor{#A86500} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }\textcolor{sc_color_4} { \vec{u} = \textit{Richtungsvektor} }u⃗=Richtungsvektor\textcolor{#00856C} { \vec{u} = \textit{Richtungsvektor} }

Parameterform Beispiele

Stelle eine Gerade h zwischen den Punkten P und Q auf!

P~(7|-1|8); Q~(9|1|4)P(7∣−1∣8);Q(9∣1∣4)P~(7|-1|8); Q~(9|1|4)h:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+s \cdot \overrightarrow{PQ}h:x⃗=OP→+s⋅PQ→h:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+s \cdot \overrightarrow{PQ}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 9-7 \\ 1-(-1) \\ 4-8 \end{pmatrix}h:x⃗=(7−18)+s⋅(9−71−(−1)4−8)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 9-7 \\ 1-(-1) \\ 4-8 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}h:x⃗=(7−18)+s⋅(22−4)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}

Stelle eine Gerade j zwischen den Punkten R und S auf!

R~(1|-2|1); S(9|1|4)R(1∣−2∣1);S(9∣1∣4)R~(1|-2|1); S(9|1|4)j:\vec{x}=\overrightarrow{OS}+t \cdot \overrightarrow{SR}j:x⃗=OS→+t⋅SR→j:\vec{x}=\overrightarrow{OS}+t \cdot \overrightarrow{SR}j:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1-9 \\ (-2)-1 \\ 1-4 \end{pmatrix}j:x⃗=(914)+t⋅(1−9(−2)−11−4)j:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1-9 \\ (-2)-1 \\ 1-4 \end{pmatrix}j:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}j:x⃗=(914)+t⋅(−8−3−3)j:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}

Stelle eine Gerade k zwischen den Punkten T und U auf!

T~(2|7|1); U~(5|1|-3)T(2∣7∣1);U(5∣1∣−3)T~(2|7|1); U~(5|1|-3)k:\vec{x}=\overrightarrow{OT}+r \cdot \overrightarrow{UT}k:x⃗=OT→+r⋅UT→k:\vec{x}=\overrightarrow{OT}+r \cdot \overrightarrow{UT}k:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2-5 \\ 7-1 \\ 1-(-3) \end{pmatrix}k:x⃗=(271)+r⋅(2−57−11−(−3))k:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2-5 \\ 7-1 \\ 1-(-3) \end{pmatrix}k:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}k:x⃗=(271)+r⋅(−364)k:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}
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