Du hast in Mathe gerade das Thema Ableitungen? Dann werden dir sicherlich auch Funktionen begegnen, die einen Vorfaktor haben. Also zum Beispiel:

f(x) = a\cdot g(x)

f(x) = a\cdot g(x)

Möchtest du von dieser Funktion die Ableitung bestimmen, so benötigst du die Faktorregel. Aber: was ist die Faktorregel und wie wendest du sie an? Das erklärt dir simpleclub!

Faktorregel einfach erklärt

Wenn du eine Funktion (x-Term) mit einer Konstante a multiplizierst und dann ableiten willst, kannst du die Faktorregel verwenden.

f(x) = a\cdot g(x)

f(x) = a\cdot g(x)

Der Faktor bleibt stehen und du musst nur noch den x-Term ableiten.

f'(x) = a\cdot g'(x)

f'(x) = a\cdot g'(x)

Der Faktor a darf jede reelle Zahl sein (auch Brüche, negative Zahlen und Wurzeln)!

Faktorregel Definition

Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

f(x)= a\cdot g(x)\quad\quad\quad a\in \reals

f(x)= a\cdot g(x)\quad\quad\quad a\in \reals

f'(x)=a\cdot g'(x)

f'(x)=a\cdot g'(x)

Beispiele Faktorregel

Faktorregel - Potenz einfach

Bestimme die Ableitung der Funktion

f(x) = 3\cdot x^5

f(x) = 3\cdot x^5

und verwende dabei die Faktorregel.

Zur Lösung bestimme den Faktor und den x-Term:

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{3}\cdot \textcolor{sc_color_2}{x^5}

f(x) = \textcolor{#7F7706}{3}\cdot \textcolor{#0069FC}{x^5}

Leite den x-Term ab und schreibe den Faktor wieder davor:

f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{3} \cdot \textcolor{sc_color_2}{5x^4}

f'(x) = \textcolor{#7F7706}{3} \cdot \textcolor{#0069FC}{5x^4}

Rechne noch zusammen!

f'(x)=15x^4

f'(x)=15x^4

Faktorregel - Potenz schwierig

Bestimme die Ableitung der Funktion

f(x) = \dfrac{3}{4}\cdot x^8

f(x) = \dfrac{3}{4}\cdot x^8

und verwende dabei die Faktorregel.

Zur Lösung bestimme den Faktor und den x-Term:

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{3}{4}}\cdot \textcolor{sc_color_2}{x^8}

f(x) = \textcolor{#7F7706}{\dfrac{3}{4}}\cdot \textcolor{#0069FC}{x^8}

Leite den x-Term ab und schreibe den Faktor wieder davor:

f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{3}{4}} \cdot \textcolor{sc_color_2}{8\cdot x^7}

f'(x) = \textcolor{#7F7706}{\dfrac{3}{4}} \cdot \textcolor{#0069FC}{8\cdot x^7}

Rechne noch zusammen!

f'(x)=6x^7

f'(x)=6x^7

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Faktorregel - Wurzel als Faktor

Bestimme die Ableitung der Funktion

f(x) = \sqrt{2}\cdot x^2

f(x) = \sqrt{2}\cdot x^2

und verwende dabei die Faktorregel.

Zur Lösung bestimme den Faktor und den x-Term:

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{\sqrt{2}}\cdot \textcolor{sc_color_2}{x^2}

f(x) = \textcolor{#7F7706}{\sqrt{2}}\cdot \textcolor{#0069FC}{x^2}

Leite den x-Term ab und schreibe den Faktor wieder davor:

f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{\sqrt{2}} \cdot \textcolor{sc_color_2}{2x}

f'(x) = \textcolor{#7F7706}{\sqrt{2}} \cdot \textcolor{#0069FC}{2x}

Faktorregel - Lineare Funktion

Bestimme die Ableitung der Funktion

f(x) = (-7)\cdot 2x

f(x) = (-7)\cdot 2x

und verwende dabei die Faktorregel.

Zur Lösung bestimme den Faktor und den x-Term:

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{(-7)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{2x}

f(x) = \textcolor{#7F7706}{(-7)}\cdot \textcolor{#0069FC}{2x}

Leite den x-Term ab und schreibe den Faktor wieder davor:

f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{(-7)} \cdot \textcolor{sc_color_2}{2}

f'(x) = \textcolor{#7F7706}{(-7)} \cdot \textcolor{#0069FC}{2}

f'(x) = -14

f'(x) = -14

Faktorregel - Polynom

Bestimme die Ableitung der Funktion

f(x) = 6x^3-\frac{5}{2}x^2+2x

f(x) = 6x^3-\frac{5}{2}x^2+2x

und verwende dabei die Faktorregel.

Zur Lösung bestimme den Faktor jedes Summanden und die x-Terme:

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{6}\cdot \textcolor{sc_color_2}{x^3} - \textcolor{sc_color_1}{\frac{5}{2}} \cdot \textcolor{sc_color_2}{x^2} + \textcolor{sc_color_1}{2}\cdot \textcolor{sc_color_2}{x}

f(x) = \textcolor{#7F7706}{6}\cdot \textcolor{#0069FC}{x^3} - \textcolor{#7F7706}{\frac{5}{2}} \cdot \textcolor{#0069FC}{x^2} + \textcolor{#7F7706}{2}\cdot \textcolor{#0069FC}{x}

Leite die x-Terme ab und schreibe den Faktor wieder davor:

f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{6}\cdot \textcolor{sc_color_2}{3x^2} - \textcolor{sc_color_1}{\frac{5}{2}} \cdot \textcolor{sc_color_2}{2x} + \textcolor{sc_color_1}{2}\cdot \textcolor{sc_color_2}{1}

f'(x) = \textcolor{#7F7706}{6}\cdot \textcolor{#0069FC}{3x^2} - \textcolor{#7F7706}{\frac{5}{2}} \cdot \textcolor{#0069FC}{2x} + \textcolor{#7F7706}{2}\cdot \textcolor{#0069FC}{1}

f'(x) = 18x^2-5x+2

f'(x) = 18x^2-5x+2

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