Ortskurve

Das Wort Ortskurve ruft in deinem Gedächtnis wahrscheinlich erstmal das Bild einer Straße in einem Dorf hervor. Ortskurven gehören aber auch in die Mathematik!

Wenn du gerade im Unterricht Analysis hast und dich mit Funktionsscharen beschäftigst, wird dir der Begriff Ortskurve auch begegnen.

Was eine Ortskurve im Zusammenhang mit Mathe bedeutet, zeigt dir simpleclub!


Ortskurve einfach erklärt

Eine Ortskurve gehört immer zu einer Funktionenschar.

Die Ortskurve ist ein Graph, auf dem besondere Punkte einer Funktionenschar liegen. Das sind typischerweise:

  • Hochpunkte
  • Tiefpunkte
  • Wendepunkte

Die Extrempunkte der Funktionenschar

f_a(x) = x^2-axfa(x)=x2axf_a(x) = x^2-ax

liegen alle auf dem Graphen der Ortskurve

g(x) = -x^2g(x)=x2g(x) = -x^2
Ortskurve der Tiefpunkte

Ortskurve Definition

Zu einer Funktionenschar gehören unendlich viele Funktionen. Die Extrempunkte und Wendepunkte jeder dieser Funktionen liegen auf einem besonderen Graphen - der jeweiligen Ortskurve.

Zur Berechnung einer Ortskurve musst du nur drei Schritte beachten:

  1. Extrempunkte oder Wendepunkte der Funktionenschar bestimmen (der Parameter ist einfach nur eine Konstante).

  2. Die xxx-Koordinate umstellen, sodass der Parameter isoliert ist (alleine steht).

  3. Den umgeformten Parameter in die yyy-Koordinate einsetzen. Das ist die Ortskurve!


Ortskurve Beispiele

Ortskurve von Tiefpunkten

Bestimme zur Funktionenschar

f_a(x) = x^2-axfa(x)=x2axf_a(x) = x^2-ax

die Ortskurve, auf der alle Tiefpunkte liegen.

Lösung

Ableitungen bestimmen

Als Erstes bestimmst du alle Tiefpunkte. Das geht genauso wie bei "normalen" Funktionen.

Bilde von der Funktion

f_a \left( x \right) = x^2-ax fa(x)=x2axf_a \left( x \right) = x^2-ax

die ersten beiden Ableitungen!

\begin{aligned} f_a' \left( x \right) &= 2x-a \\[3mm] f_a'' \left( x \right) &= 2 \end{aligned}fa(x)=2xafa(x)=2\begin{aligned} f_a' \left( x \right) &= 2x-a \\[3mm] f_a'' \left( x \right) &= 2 \end{aligned}

Notwendiges Kriterium

Das notwendige Kriterium für Extrempunkte lautet:

Die 1. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 1. Ableitung gleich 0:

0 = 2x-a 0=2xa0 = 2x-a

Das formst du jetzt nach xxx um!

\begin{aligned} 0 &= 2x-a &&\quad\mid +a\\ a &= 2x &&\quad\mid :2 \\[2mm] \frac{a}{2} &= x \end{aligned}0=2xa+aa=2x:2a2=x\begin{aligned} 0 &= 2x-a &&\quad\mid +a\\ a &= 2x &&\quad\mid :2 \\[2mm] \frac{a}{2} &= x \end{aligned}

Hinreichendes Kriterium

Das hinreichende Kriterium für Extrempunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss ungleich 0 sein.

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Extrempunkt vorliegt, setze die Stelle in die 2. Ableitung ein und überprüfe, ob das Ergebnis ungleich 0 ist.

\begin{aligned} f_a'' \left( \frac{a}{2} \right) &= 2 >0 \end{aligned}fa(a2)=2>0\begin{aligned} f_a'' \left( \frac{a}{2} \right) &= 2 >0 \end{aligned}

Da der Funktionswert der 2. Ableitung größer 0 ist, liegt ein Tiefpunkt vor!

Für den Tiefpunkt benötigst du noch die y^{}_{}yy^{}_{}-Koordinate!

Setze also \frac{a}{2}^{}_{}a2\frac{a}{2}^{}_{} in die Funktion {f_a}^{}_{}fa{f_a}^{}_{} ein

\begin{aligned} {f_a} \left( \frac{a}{2} \right) &= \left(\frac{a}{2}\right)^2-a\cdot\frac{a}{2} \\[2mm] &= \frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} \\[2mm] &= -\frac{a^2}{4} \end{aligned} fa(a2)=(a2)2aa2=a242a24=a24\begin{aligned} {f_a} \left( \frac{a}{2} \right) &= \left(\frac{a}{2}\right)^2-a\cdot\frac{a}{2} \\[2mm] &= \frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} \\[2mm] &= -\frac{a^2}{4} \end{aligned} \col[1]{ \implies \lsg{\text{Tiefpunkt bei } \left( \frac{a}{2} \middle| -\frac{a^2}{4} \right) } } \col[1]\lsgTiefpunkt bei (a2|a24)\col[1]{ \implies \lsg{\text{Tiefpunkt bei } \left( \frac{a}{2} \middle| -\frac{a^2}{4} \right) } }

Im zweiten Schritt musst du nun die xxx-Koordinate nach aaa umformen:

\begin{aligned} x &= \frac{a}{2} &&\quad\mid \cdot 2\\[2mm] 2x &=a \end{aligned}x=a222x=a\begin{aligned} x &= \frac{a}{2} &&\quad\mid \cdot 2\\[2mm] 2x &=a \end{aligned}

Im dritten Schritt setzt du einfach das aaa in die yyy-Koordinate ein!

\begin{aligned} y &= -\frac{a^2}{4} \\[2mm] &= -\frac{(2x)^2}{4} \\[2mm] &= -\frac{\cancel{4}x^2}{\cancel{4}}\\[2mm] &= \lsg{-x^2} \end{aligned}y=a24=(2x)24=4x24=\lsgx2\begin{aligned} y &= -\frac{a^2}{4} \\[2mm] &= -\frac{(2x)^2}{4} \\[2mm] &= -\frac{\cancel{4}x^2}{\cancel{4}}\\[2mm] &= \lsg{-x^2} \end{aligned}

Und schon hast du die Ortskurve g(x) = -x^2g(x)=x2g(x) = -x^2.

Ortskurve der Tiefpunkte

Ortskurve von Wendepunkten

Bestimme die Ortskurve aller Wendepunkte der folgenden Funktionenschar:

f_a(x) = x^3 + 3ax^2 + 4x - 2afa(x)=x3+3ax2+4x2af_a(x) = x^3 + 3ax^2 + 4x - 2a

Lösung

Bestimme zunächst die Wendepunkte aller Funktionen der Funktionenschar. Behandle die Funktionenschar einfach selbst als Funktion.

Beachte: Der Parameter aaa ist hierbei konstant.

Ableitungen bestimmen

Bilde von der Funktion

f_a \left( x \right) = x^3 + 3ax^2 +4x-2a fa(x)=x3+3ax2+4x2af_a \left( x \right) = x^3 + 3ax^2 +4x-2a

die ersten drei Ableitungen.

\begin{aligned} f_a'(x) &= 3x^2+6ax+4\\[3mm] f_a''(x) &= 6x+6a\\[3mm] f_a'''(x) &= 6 \end{aligned}fa(x)=3x2+6ax+4fa(x)=6x+6afa(x)=6\begin{aligned} f_a'(x) &= 3x^2+6ax+4\\[3mm] f_a''(x) &= 6x+6a\\[3mm] f_a'''(x) &= 6 \end{aligned}

Notwendiges Kriterium für Wendepunkte

Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet:

Die 2. Ableitung muss 0 sein.

Setze also die 2. Ableitung gleich 0.

0 = 6x+6a 0=6x+6a0 = 6x+6a

Forme jetzt nach xxx um!

\begin{aligned} 0 &= 6x + 6a &&\quad\mid -6a \\ -6a &= 6x && \quad\mid :6 \\ -a &= x \end{aligned}0=6x+6a6a6a=6x:6a=x\begin{aligned} 0 &= 6x + 6a &&\quad\mid -6a \\ -6a &= 6x && \quad\mid :6 \\ -a &= x \end{aligned}

Hinreichendes Kriterium

Um zu überprüfen, ob dort wirklich ein Wendepunkt vorliegt, setze den Wert in die 3. Ableitung ein!

\begin{aligned} f_a''' \left( -a \right) &= 6 \neq 0~\checkmark \end{aligned}fa(a)=60\begin{aligned} f_a''' \left( -a \right) &= 6 \neq 0~\checkmark \end{aligned}

Da der Funktionswert der 3. Ableitung ungleich 0 ist, liegt ein Wendepunkt vor!

Für den Wendepunkt benötigst du noch die y^{}_{}yy^{}_{}-Koordinate!

Setze also -a^{}_{}a-a^{}_{} in die Funktion {f_a}^{}_{}fa{f_a}^{}_{} ein

\begin{aligned} {f_a} \left( -a \right) &= (-a)^3+3a\cdot(-a)^2+4\cdot (-a)-2a \\&= -a^3 + 3a^3 -4a-2a \\&= 2a^3-6a \end{aligned} fa(a)=(a)3+3a(a)2+4(a)2a=a3+3a34a2a=2a36a\begin{aligned} {f_a} \left( -a \right) &= (-a)^3+3a\cdot(-a)^2+4\cdot (-a)-2a \\&= -a^3 + 3a^3 -4a-2a \\&= 2a^3-6a \end{aligned} \col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( -a \middle| 2a^3-6a \right) }}\col[1]\lsgWendepunktbeiWP(a|2a36a)\col[1]{ \implies \lsg{\textsf{Wendepunkt bei} \ W_P \left( -a \middle| 2a^3-6a \right) }}

Forme jetzt im zweiten Schritt die xxx-Koordinate nach aaa um!

\begin{aligned} x &= -a && \quad\mid \cdot(-1)\\ -x &= a \end{aligned}x=a(1)x=a\begin{aligned} x &= -a && \quad\mid \cdot(-1)\\ -x &= a \end{aligned}

Setze im dritten Schritt den Wert für aaa in die yyy-Koordinate ein!

\begin{aligned} y &= 2a^3 - 6a \\ &= 2(-x)^3 - 6\cdot (-x) \\ &= \lsg{-2x^3 + 6x} \end{aligned}y=2a36a=2(x)36(x)=\lsg2x3+6x\begin{aligned} y &= 2a^3 - 6a \\ &= 2(-x)^3 - 6\cdot (-x) \\ &= \lsg{-2x^3 + 6x} \end{aligned}

Die Ortskurve der Wendepunkte lautet damit g(x) = -2x^3 + 6xg(x)=2x3+6xg(x) = -2x^3 + 6x.

Ortskurve der Wendepunkte
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