Kathetensatz

In rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des anliegenden Hypotenusenabschnitts und der Hypotenuse.

\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c \end{aligned}\col[1]a2=\col[5]p\col[3]c\col[2]b2=\col[5]q\col[3]c\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c \end{aligned}

Erklärung

Der Höhensatz des Euklid, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, wird meist nur als Kathetensatz bezeichnet.

Gemeinsam mit dem Höhensatz des Euklid und dem Satz des Pythagoras bildet er die Satzgruppe des Pythagoras.

Der Kathetensatz ist nur in rechtwinkligen Dreiecken anwendbar.

In rechtwinkligen Dreiecken gilt:

  • Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite.
  • Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.

Beim Kathetensatz wird die Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c durch die Höhe \col[4]h\col[4]h\col[4]h in zwei Abschnitte \col[5]p\col[5]p\col[5]p und \col[5]q\col[5]q\col[5]q geteilt.

Beachte:

  • \col[5]p\col[5]p\col[5]p liegt auf Seite der Kathete \col[1]a\col[1]a\col[1]a

  • \col[5]q\col[5]q\col[5]q liegt auf Seite der Kathete \col[2]b\col[2]b\col[2]b.

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Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat einer Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus dem angrenzenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c.

Kathetensatz des Euklid

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten \col[1]a\col[1]a\col[1]a und \col[2]b\col[2]b\col[2]b, der Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c und den Hypotenusenabschnitten \col[5]p\col[5]p\col[5]p und \col[5]q\col[5]q\col[5]q gilt:

\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c \end{aligned}\col[1]a2=\col[5]p\col[3]c\col[2]b2=\col[5]q\col[3]c\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c \end{aligned}
Bewege den Schiebregler um die Höhe zu verschieben.

Anwendungsgebiete

Der Kathetensatz wird hauptsächlich in folgenden Fällen angewendet:

  1. Berechnung von Streckenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck
  2. Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein gegebenes Rechteck

Beispiel

Berechnung von Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken

Aufgabe

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=6\text{ cm}c=6 cmc=6\text{ cm} und den Hypotenusenabschnitten p=2\text{ cm}p=2 cmp=2\text{ cm} und q=4\text{ cm}q=4 cmq=4\text{ cm}.

rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=6 cm und den Hypotenusenabschnitten q=4 cm und p=2 cm.

Berechne die Länge der Katheten aaa und bbb.

Lösung

Seitenlänge der Kathete \col[1]a\col[1]a\col[1]a

Der Hypotenusenabschnitt \col[5]p\col[5]p\col[5]p grenzt an die Kathete \col[1]a\col[1]a\col[1]a an.

Setze daher die Länge des Hypotenusenabschnitts \col[5]{p=2\text{ cm}}\col[5]p=2 cm\col[5]{p=2\text{ cm}} und der Hypotenuse \col[3]{c=6\text{ cm}}\col[3]c=6 cm\col[3]{c=6\text{ cm}} in die Formel

\boxed{\col[1]a^2=\col[5]p\cdot\col[3]c }\col[1]a2=\col[5]p\col[3]c\boxed{\col[1]a^2=\col[5]p\cdot\col[3]c }

ein und löse nach \col[1]a\col[1]a\col[1]a auf.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[1]a^2&=\col[5]2\cdot\col[3]6\\ \col[1]a^2&=12\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \col[1]a&=\sqrt{12}\\ \col[1]a&\approx\lsg{\col[1]{3,46}} \end{aligned}\col[1]a2=\col[5]p\col[3]c\col[1]a2=\col[5]2\col[3]6\col[1]a2=12\col[1]a=12\col[1]a\lsg\col[1]3,46\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[1]a^2&=\col[5]2\cdot\col[3]6\\ \col[1]a^2&=12\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \col[1]a&=\sqrt{12}\\ \col[1]a&\approx\lsg{\col[1]{3,46}} \end{aligned}

Die Länge der Kathete \col[1]{a}\col[1]a\col[1]{a} beträgt etwa \col[1]{3,46\text{ cm}}\col[1]3,46 cm\col[1]{3,46\text{ cm}}.

Seitenlänge der Kathete \col[2]b\col[2]b\col[2]b

Der Hypotenusenabschnitt \col[5]q\col[5]q\col[5]q grenzt an die Kathete \col[2]b\col[2]b\col[2]b an.

Setze daher die Länge des Hypotenusenabschnitts \col[5]{q=4\text{ cm}}\col[5]q=4 cm\col[5]{q=4\text{ cm}} und der Hypotenuse \col[3]{c=6\text{ cm}}\col[3]c=6 cm\col[3]{c=6\text{ cm}} in die Formel

\boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c }\col[2]b2=\col[5]q\col[3]c\boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c }

ein und löse nach \col[2]b\col[2]b\col[2]b auf.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]4\cdot\col[3]6\\ \col[2]b^2&=24\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \col[2]b&=\sqrt{24}\\ \col[2]b&\approx\lsg{\col[2]{4,90}} \end{aligned}\col[2]b2=\col[5]q\col[3]c\col[2]b2=\col[5]4\col[3]6\col[2]b2=24\col[2]b=24\col[2]b\lsg\col[2]4,90\begin{aligned} \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]4\cdot\col[3]6\\ \col[2]b^2&=24\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \col[2]b&=\sqrt{24}\\ \col[2]b&\approx\lsg{\col[2]{4,90}} \end{aligned}

Die Länge der Kathete \col[2]{b}\col[2]b\col[2]{b} beträgt etwa \col[2]{4,90\text{ cm}}\col[2]4,90 cm\col[2]{4,90\text{ cm}}.

Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein gegebenes Rechteck

Aufgabe

Konstruiere zum Rechteck mit den Seitenlängen 6\text{ cm}6 cm6\text{ cm} und 3\text{ cm}3 cm3\text{ cm} ein flächengleiches Quadrat. Verwende den Kathetensatz.

Lösung

Gehe schrittweise vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Betrachte die lange Seitenlängen des Rechtecks als umgelegte Hypotenuse \col[3]{c=6\text{ cm}}\col[3]c=6 cm\col[3]{c=6\text{ cm}} und die kurze Seite des Rechtecks als Hypotenusenabschnitt \col[5]{p=3\text{ cm}}\col[5]p=3 cm\col[5]{p=3\text{ cm}}.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Verlängere die kurze Seite des Rechtecks so, dass sie genauso lange ist wie die lange Seite des Rechtecks mit \col[3]{c=6\text{ cm}}\col[3]c=6 cm\col[3]{c=6\text{ cm}}. Die neue Seite ist die Hypotenenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Zeichne den Thaleskreis darüber. Dazu stichst du mit dem Zirkel in die Mitte der Hypotenuse ein und nimmst als Radius 3\text{ cm}3 cm3\text{ cm}. Verbindest du jetzt einen beliebigen Punkt auf dem Halbkreis mit den Enden der Hypotenuse, dann erhältst du immer ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales).

\fcolorbox{white}{grey}{4.}4.\fcolorbox{white}{grey}{4.} Zeichne passend zu den Hypotenusenabschnitten ein rechtwinkliges Dreieck ein.

\fcolorbox{white}{grey}{5.}5.\fcolorbox{white}{grey}{5.} Die Kathete \col[1]a\col[1]a\col[1]a ist die Seitenläge des gesuchten flächengleichen Quadrats. Das folgt aus dem Kathetensatz \col[1]a^2=\col[5]p\cdot\col[3]c.\col[1]a2=\col[5]p\col[3]c.\col[1]a^2=\col[5]p\cdot\col[3]c.

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