Höhensatz

In rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat der Höhe \col[4]h$\col[4]h$ gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte \col[5]p$\col[5]p$ und \col[5]q.$\col[5]q.$

Erklärung

Der Höhensatz des Euklid, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, wird meist nur als Höhensatz bezeichnet.

Gemeinsam mit dem Kathetensatz des Euklid und dem Satz des Pythagoras bildet er die Satzgruppe des Pythagoras.

Der Höhensatz ist nur in rechtwinkligen Dreiecken anwendbar.

In rechtwinkligen Dreiecken gilt:

• Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite.
• Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.

Beim Höhensatz wird die Hypotenuse \col[3]c$\col[3]c$ durch die Höhe \col[4]h$\col[4]h$ in zwei Abschnitte \col[5]p$\col[5]p$ und \col[5]q$\col[5]q$ geteilt.

Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe \col[4]h$\col[4]h$ genauso groß ist, wie das Produkt der Hypotenusenabschnitte \col[5]p$\col[5]p$ und \col[5]q$\col[5]q$.

Anwendungsgebiete

Der Höhensatz wird hauptsächlich in folgenden Fällen angewendet:

1. Berechnung von Streckenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck
2. Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein gegebenes Rechteck

Beispiele

Berechnung von Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken

Aufgabe

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=6\text{ cm}$c=6\text{ cm}$ und den Hypotenusenabschnitten p=2\text{ cm}$p=2\text{ cm}$ und q=4\text{ cm}$q=4\text{ cm}$.

Berechne die Länge der Höhe h$h$.

Lösung

Setze die Länge der Hypotenusenabschnitte \col[5]{p=2\text{ cm}}$\col[5]{p=2\text{ cm}}$ und \col[5]{q=4\text{ cm}}$\col[5]{q=4\text{ cm}}$ in die Formel

ein und löse nach \col[4]h$\col[4]h$ auf.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

Die Länge der Höhe \col[4]{h}$\col[4]{h}$ beträgt etwa \col[4]{2,83\text{ cm}}$\col[4]{2,83\text{ cm}}$.

Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein gegebenes Rechteck

Aufgabe

Konstruiere zum Rechteck mit den Seitenlängen 6\text{ cm}$6\text{ cm}$ und 3\text{ cm}$3\text{ cm}$ ein flächengleiches Quadrat. Verwende den Höhensatz.

Lösung

Gehe schrittweise vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}$\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Betrachte die beiden Seitenlängen des Rechtecks als Hypotenusenabschnitte \col[5]{p=3\text{ cm}}$\col[5]{p=3\text{ cm}}$ und \col[5]{q=6\text{ cm}}$\col[5]{q=6\text{ cm}}$.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}$\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Verlängere eine Seite des Rechtecks um die Länge der anderen Seite. Die verlängerte neue Strecke ist die Hypotenuse \col[3]{c=9\text{ cm}}$\col[3]{c=9\text{ cm}}$ eines rechtwinkligen Dreiecks.

\fcolorbox{white}{grey}{3.}$\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Zeichne den Thaleskreis darüber. Dazu stichst du mit dem Zirkel in die Mitte der Hypotenuse ein und nimmst als Radius 4,5\text{ cm}$4,5\text{ cm}$. Verbindest du jetzt einen beliebigen Punkt auf dem Halbkreis mit den Enden der Hypotenuse, dann erhältst du immer ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales).

\fcolorbox{white}{grey}{4.}$\fcolorbox{white}{grey}{4.}$ Zeichne passend zu den Hypotenusenabschnitten die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ein.

\fcolorbox{white}{grey}{5.}$\fcolorbox{white}{grey}{5.}$ Die Höhe ist die Seitenlänge des gesuchten flächengleichen Quadrats. Das folgt aus dem Höhensatz \col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q.$\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q.$