Satz des Pythagoras

In rechtwinkligen Dreiecken entspricht die Summe der Kathetenquadrate \col[1]{a}^2\col[1]a2\col[1]{a}^2 und \col[2]{b}^2\col[2]b2\col[2]{b}^2 dem Hypotenusenquadrat \col[3]{c}^2.\col[3]c2.\col[3]{c}^2.

\col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2=\col[3]{c}^2\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2=\col[3]{c}^2

Erklärung

Der Satz des Pythagoras ist nur in rechtwinkligen Dreiecken anwendbar.

In rechtwinkligen Dreiecken gilt:

  • Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite.
  • Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.

Bildest du über den Katheten \col[1]{a}\col[1]a\col[1]{a} und \col[2]b\col[2]b\col[2]b und der Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c ein Quadrat, dann entspricht der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate zusammen genau dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.

Genau diesen Zusammenhang formulierte der Philosoph und Mathematiker Pythagoras in seinem berühmten Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten \col[1]{a}\col[1]a\col[1]{a} und \col[2]b\col[2]b\col[2]b und der Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c gilt:

{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}
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Dreieck
Quadrate
Formel

Anwendungsgebiete

Der Satz des Pythagoras wird hauptsächlich in folgenden Fällen angewendet:

  1. Berechnung fehlender Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken (durch Auflösen der Formel nach \col[1]a\col[1]a\col[1]a, \col[2]b\col[2]b\col[2]b oder \col[3]c\col[3]c\col[3]c)
  2. Untersuchung beliebiger Dreiecke auf Rechtwinkligkeit (durch Einsetzen der Seitenlängen in die Formel und Überprüfung, ob die Gleichung aufgeht)
  3. Berechnung des Abstands zweier Punkte (durch Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Strecke zwischen den beiden Punkten die Hypotenuse bildet)

Beispiele

Berechnung der fehlenden Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck

Aufgabe

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete b=8\text{ cm}b=8 cmb=8\text{ cm} und der Hypotenuse c=10\text{ cm}c=10 cmc=10\text{ cm}.

rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Seitenlänge b 8 Zentimenter beträgt, die Seitenlänge von c 10 Zentimeter, die Seitenlänge von a ist unbekannt.

Berechne die Länge der Kathete aaa.

Lösung

Setze die Länge der Kathete \col[2]{b=8\text{ cm}}\col[2]b=8 cm\col[2]{b=8\text{ cm}} und der Hypotenuse \col[3]{c=10\text{ cm}}\col[3]c=10 cm\col[3]{c=10\text{ cm}} in die Formel

\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}

ein und forme nach \col[1]a\col[1]a\col[1]a um.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{c}^2\\ \col[1]{a}^2+\col[2]{8}^2&=\col[3]{10}^2\qquad\qquad&&\mid-\col[2]8^2\\ \col[1]{a}^2&=\col[3]{10}^2-\col[2]8^2&&\mid\sqrt{\square}\\ \col[1]a&=\sqrt{\col[3]{10}^2-\col[2]8^2}\\ \col[1]a&=\sqrt{100-64}\\ \col[1]a&=\sqrt{36}\\ \col[1]a&=\lsg{\col[1]6} \end{aligned}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]a2+\col[2]82=\col[3]102\col[2]82\col[1]a2=\col[3]102\col[2]82\col[1]a=\col[3]102\col[2]82\col[1]a=10064\col[1]a=36\col[1]a=\lsg\col[1]6\begin{aligned} \col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{c}^2\\ \col[1]{a}^2+\col[2]{8}^2&=\col[3]{10}^2\qquad\qquad&&\mid-\col[2]8^2\\ \col[1]{a}^2&=\col[3]{10}^2-\col[2]8^2&&\mid\sqrt{\square}\\ \col[1]a&=\sqrt{\col[3]{10}^2-\col[2]8^2}\\ \col[1]a&=\sqrt{100-64}\\ \col[1]a&=\sqrt{36}\\ \col[1]a&=\lsg{\col[1]6} \end{aligned}

Die Länge der Kathete \col[1]{a}\col[1]a\col[1]{a} beträgt \col[1]{6\text{ cm}}\col[1]6 cm\col[1]{6\text{ cm}}.

Prüfung eines beliebigen Dreiecks auf Rechtwinkligkeit

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a=3\text{ cm}a=3 cma=3\text{ cm}, b=4\text{ cm}b=4 cmb=4\text{ cm} und c=5\text{ cm}c=5 cmc=5\text{ cm}.

Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Lösung

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Daher müsste \col[3]c\col[3]c\col[3]c die Hypotenuse sein. Da sich der rechte Winkel immer gegenüber der Hypotenuse befindet, wäre dieser in der Ecke zwischen den Katheten \col[1]a\col[1]a\col[1]a und \col[2]b\col[2]b\col[2]b.

Dreieck mit den Seitenlängen a=3 Zentimeter, b=4 Zentimeter und c=5 Zentimeter. Im Winkel an der Ecke C ist ein Fragezeichen eingetragen

Setze die Länge der Katheten \col[1]{a=3\text{ cm}}\col[1]a=3 cm\col[1]{a=3\text{ cm}} und \col[2]{b=4\text{ cm}}\col[2]b=4 cm\col[2]{b=4\text{ cm}} und die Länge der Hypotenuse \col[3]{c=4\text{ cm}}\col[3]c=4 cm\col[3]{c=4\text{ cm}} in die Formel

\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}

ein.
Ist die Gleichung erfüllt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Ist sie nicht erfüllt, dann ist es nicht rechtwinklig.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{c}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{5}^2\\ {9}+{16}&={25}\\ 25&=25 \quad\color{lightgreen} \Large \checkmark \end{aligned}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]32+\col[2]42=\col[3]529+16=2525=25\begin{aligned} \col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{c}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{5}^2\\ {9}+{16}&={25}\\ 25&=25 \quad\color{lightgreen} \Large \checkmark \end{aligned}

Die Gleichung ist erfüllt. Das Dreieck mit den Seitenlängen a=3\text{ cm}a=3 cma=3\text{ cm}, b=4\text{ cm}b=4 cmb=4\text{ cm} und c=5\text{ cm}c=5 cmc=5\text{ cm} ist rechtwinklig.

Berechnung des Abstands zweier Punkte

Aufgabe

Berechne den Abstand zwischen den beiden Punkten A(1\mid2)A(12)A(1\mid2) und C(5\mid5)C(55)C(5\mid5).

Lösung

Der Abstand zwischen den beiden Punkten AAA und CCC entspricht der Länge der Strecke \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}}.

Die Strecke \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}} kannst du zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen und so den Satz des Pythagoras anwenden. Dazu zeichnest du von den Punkten AAA und BBB ausgehend zwei Hilfslinien parallel zu den Achsen und einen Punkt BBB am Schnittpunkt der Hilfslinien ein.

Klicke auf den Button

Die Strecke \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}} ist gegenüber dem rechten Winkel und daher die Hypotenuse. Die Strecken \col[1]{\overline{BC}}\col[1]BC\col[1]{\overline{BC}} und \col[2]{\overline{AB}}\col[2]AB\col[2]{\overline{AB}} sind die Katheten.

Die Kathetenlängen des Dreiecks sind:

\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}&=5-2=\col[1]{3}\\ \col[2]{\overline{AB}}&=5-1=\col[2]{4} \end{aligned}\col[1]BC=52=\col[1]3\col[2]AB=51=\col[2]4\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}&=5-2=\col[1]{3}\\ \col[2]{\overline{AB}}&=5-1=\col[2]{4} \end{aligned}

Setze nun die Länge der Katheten \col[1]{\overline{BC}=3\text{ LE}}\col[1]BC=3 LE\col[1]{\overline{BC}=3\text{ LE}} und \col[2]{\overline{AB}=4\text{ LE}}\col[2]AB=4 LE\col[2]{\overline{AB}=4\text{ LE}} in die Formel

\boxed{\col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2=\col[3]{\overline{AC}}^2}\col[1]BC2+\col[2]AB2=\col[3]AC2\boxed{\col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2=\col[3]{\overline{AC}}^2}

ein und forme sie nach der Hypotenuse \col[3]{\overline{AC}}\col[3]AC\col[3]{\overline{AC}} um.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \sqrt{\col[1]3^2+\col[2]4^2}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{9+16}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{25}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \lsg{\col[3]{5}}&=\col[3]{\overline{AC}} \end{aligned}\col[1]BC2+\col[2]AB2=\col[3]AC2\col[1]32+\col[2]42=\col[3]AC2\col[1]32+\col[2]42=\col[3]AC9+16=\col[3]AC25=\col[3]AC\lsg\col[3]5=\col[3]AC\begin{aligned} \col[1]{\overline{BC}}^2+\col[2]{\overline{AB}}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{\overline{AC}}^2\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \sqrt{\col[1]3^2+\col[2]4^2}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{9+16}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \sqrt{25}&=\col[3]{\overline{AC}}\\ \lsg{\col[3]{5}}&=\col[3]{\overline{AC}} \end{aligned}

Der Abstand zwischen den beiden Punkten A(1\mid2)A(12)A(1\mid2) und C(5\mid5)C(55)C(5\mid5) beträgt \col[3]{\overline{AC}=5\text{ LE}}\col[3]AC=5 LE\col[3]{\overline{AC}=5\text{ LE}}.

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