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Gauß-Algorithmus

Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme, das von Carl Friedrich Gauß erfunden wurde.

Möglichkeiten

Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus löst du ein lineares Gleichungssystem (LGS), indem du verschiedene Umformungen anwendest.

Du kannst die Zeilen des LGS

vertauschen
mit einer Zahl (außer 0) mutliplizieren
durch eine Zahl (außer 0) dividieren
miteinander addieren
voneinander subtrahieren

Vorgehensweise

Du hast ein beliebiges lineares Gleichungssystem gegeben, zum Beispiel:

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & -2y & ~ & = & 4 \\ \textit{II.)} & ~ & -y & -z & = & -1 \\ \textit{III.)} & -x & +y & +3z & = & -1 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & -2y & ~ & = & 4 \\ \textit{II.)} & ~ & -y & -z & = & -1 \\ \textit{III.)} & -x & +y & +3z & = & -1 \end{matrix}

Fehlt eine der Variablen, notierst du an dieser Stelle eine 0. Steht vor einer der Variablen keine Zahl, ergänzt du eine 1.

\begin{matrix} \textit{I.)} & 1x & -2y & +0z & = & 4 \\ \textit{II.)} & 0x & -1y & -1z & = & -1 \\ \textit{III.)} & -1x & +1y & +3z & = & -1 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & 1x & -2y & +0z & = & 4 \\ \textit{II.)} & 0x & -1y & -1z & = & -1 \\ \textit{III.)} & -1x & +1y & +3z & = & -1 \end{matrix}

Das schreibst du in eine Art Tabellenform um, indem du die Vorfaktoren von den Variablen x, y und z und die Zahl nach dem Gleichheitszeichen abliest.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & -1\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & -1\end{array}

Ziel ist es nun, mit den oben genannten Umformungen unter der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. Für dieses Gleichungssystem sieht das am Ende so aus:

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -1 & -1 & -1\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & \textcolor{sc_color_3}{0} & 4 & 4\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -1 & -1 & -1\\ \textcolor{#DD2238}{0} & \textcolor{#DD2238}{0} & 4 & 4\end{array}

Aber wie kommst du dahin? Zurück zur ursprünglichen Form.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & -1\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & -1\end{array}

Du siehst, dass eine 0 sogar schon gegeben ist. Geh spaltenweise vor und erzeuge daher zunächst eine weitere 0 an der Stelle unten links. Du addierst also die Zahlen aus der ersten Zeile zu den Zahlen aus der dritten Zeile. Es kommt raus:

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -1 & -1 & -1\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -1 & 3 & 3\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -1 & -1 & -1\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -1 & 3 & 3\end{array}

Nun fehlt noch die 0 in der mittleren, unteren Position. Du subtrahierst dafür die Zahlen aus der zweiten Zeile von den Zahlen aus der dritten Zeile. Es kommt raus:

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -1 & -1 & -1\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & \textcolor{sc_color_3}{0} & 4 & 4\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & -2 & 0 & 4\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -1 & -1 & -1\\ \textcolor{#DD2238}{0} & \textcolor{#DD2238}{0} & 4 & 4\end{array}

Nun überführst du das lineare Gleichungssystem zurück in seine ursprüngliche Form. Dabei sind die Zahlen aus der Tabelle wieder die Vorfaktoren der Variablen. Abschließend löst du die Variablen etappenweise auf.

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & -2y & ~ & = & 4 \\ \textit{II.)} & ~ & -y & -z & = & -1 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 4z & = & 4 & |:4 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & -2y & ~ & = & 4 \\ \textit{II.)} & ~ & -y & -z & = & -1 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 4z & = & 4 & |:4 \end{matrix}

\implies\textit{III.)}~~\underline{\underline{z=1}}

\implies\textit{III.)}~~\underline{\underline{z=1}}

Setze nun z=1 in II.) ein.

\implies\textit{II.)}~~-y-1=-1~~~|+1 \\ \Leftrightarrow -y=0 \Leftrightarrow \underline{\underline{y=0}}

\implies\textit{II.)}~~-y-1=-1~~~|+1 \\ \Leftrightarrow -y=0 \Leftrightarrow \underline{\underline{y=0}}

Setze nun y=0 in I.) ein.

\implies\textit{I.)}~~x-2\cdot0=4 \Leftrightarrow \underline{\underline{x=4}}

\implies\textit{I.)}~~x-2\cdot0=4 \Leftrightarrow \underline{\underline{x=4}}

Es ergibt sich demzufolge für die Lösungsmenge:

\implies\underline{\underline{L=\{(4;0;1)\}}}

\implies\underline{\underline{L=\{(4;0;1)\}}}

Beispiele

Beispiel mit einer Lösung

Löse das lineare Gleichungssystem!

\begin{matrix} \textit{I.)} & -x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & x & -3y & -2z & = & 5 \\ \textit{III.)} & 5x & +y & +4z & = & 3 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & -x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & x & -3y & -2z & = & 5 \\ \textit{III.)} & 5x & +y & +4z & = & 3 \end{matrix}

Schreibe das LGS in Tabellenform.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -3 & -2 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 3\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -3 & -2 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 3\end{array}

Addiere die Zahlen der ersten Zeile zur zweiten Zeile hinzu.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -2 & -1 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 3\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -2 & -1 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 3\end{array}

Addiere das Fünffache der ersten Zeile zur dritten Zeile hinzu.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -2 & -1 & 5\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & 6 & 9 & 3\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -2 & -1 & 5\\ \textcolor{#DD2238}{0} & 6 & 9 & 3\end{array}

Addiere das Dreifache der zweiten Zeile zur dritten Zeile hinzu.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -2 & -1 & 5\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & \textcolor{sc_color_3}{0} & 6 & 18\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -2 & -1 & 5\\ \textcolor{#DD2238}{0} & \textcolor{#DD2238}{0} & 6 & 18\end{array}

Überführe das LGS in seine ursprüngliche Form.

\begin{matrix} \textit{I.)} & -x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & ~ & -2y & -z & = & 5 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 6z & = & 18 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & -x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & ~ & -2y & -z & = & 5 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 6z & = & 18 \end{matrix}

\implies \textit{III.)}~~6z=18~~~|:6 \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{z=3}}

\implies \textit{III.)}~~6z=18~~~|:6 \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{z=3}}

Setze z=3 in II.) ein.

\implies \textit{II.)}~~-2y-1\cdot3=5 \\ \Leftrightarrow -2y-3=5~~~|+3 \\ \Leftrightarrow -2y=8~~~|:(-2) \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{y=-4}}

\implies \textit{II.)}~~-2y-1\cdot3=5 \\ \Leftrightarrow -2y-3=5~~~|+3 \\ \Leftrightarrow -2y=8~~~|:(-2) \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{y=-4}}

Setze y=-4 und z=3 in I.) ein.

\implies \textit{I.)}~~-x+(-4)+3=0 \\ \Leftrightarrow -x-1=0~~~|+1 \\ \Leftrightarrow -x=1~~~|:(-1) \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{x=-1}}

\implies \textit{I.)}~~-x+(-4)+3=0 \\ \Leftrightarrow -x-1=0~~~|+1 \\ \Leftrightarrow -x=1~~~|:(-1) \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{x=-1}}

\implies\underline{\underline{L=\{( -1;-4;3) \}}}

\implies\underline{\underline{L=\{( -1;-4;3) \}}}

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Beispiel mit keiner Lösung

Löse das lineare Gleichungssystem!

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 2 \\ \textit{II.)} & 2x & -y & -z & = & 5 \\ \textit{III.)} & 2x & -y & -z & = & 7 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 2 \\ \textit{II.)} & 2x & -y & -z & = & 5 \\ \textit{III.)} & 2x & -y & -z & = & 7 \end{matrix}

Schreibe das LGS in Tabellenform.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 & 5\\ 2 & -1 & -1 & 7\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 & 5\\ 2 & -1 & -1 & 7\end{array}

Subtrahiere das Zweifache der ersten Zeile von der zweiten und dritten Zeile.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -3 & -3 & 1\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -3 & -3 & 3\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -3 & -3 & 1\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -3 & -3 & 3\end{array}

Subtrahiere die zweite Zeile von der dritten Zeile.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -3 & -3 & 1\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & \textcolor{sc_color_3}{0} & 0 & 2\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -3 & -3 & 1\\ \textcolor{#DD2238}{0} & \textcolor{#DD2238}{0} & 0 & 2\end{array}

Überführe das LGS in seine ursprüngliche Form.

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 2 \\ \textit{II.)} & ~ & -3y & -3z & = & 1 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 0 & = & 2 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 2 \\ \textit{II.)} & ~ & -3y & -3z & = & 1 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 0 & = & 2 \end{matrix}

In der dritten Zeile steht eine falsche Aussage, denn 0 ist nicht gleich 2. Deswegen hat das LGS keine Lösung.

\implies\underline{\underline{L=\emptyset}}

\implies\underline{\underline{L=\emptyset}}

Beispiel mit unendlich vielen Lösungen

Löse das lineare Gleichungssystem!

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & x & -2y & +2z & = & 2 \\ \textit{III.)} & x & -2y & +2z & = & 2 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & x & -2y & +2z & = & 2 \\ \textit{III.)} & x & -2y & +2z & = & 2 \end{matrix}

Schreibe das LGS in Tabellenform.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 2 & 2\\ 1 & -2 & 2 & 2\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 2 & 2\\ 1 & -2 & 2 & 2\end{array}

Subtrahiere die erste Zeile von der zweiten und dritten Zeile.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -3 & 1 & 2\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -3 & 1 & 2\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -3 & 1 & 2\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -3 & 1 & 2\end{array}

Subtrahiere die zweite Zeile von der dritten Zeile.

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & -3 & 1 & 2\\ \textcolor{sc_color_3}{0} & \textcolor{sc_color_3}{0} & 0 & 0\end{array}

\begin{array}{rrr|c} x & y & z & ~ \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0\\ \textcolor{#DD2238}{0} & -3 & 1 & 2\\ \textcolor{#DD2238}{0} & \textcolor{#DD2238}{0} & 0 & 0\end{array}

Überführe das LGS in seine ursprüngliche Form.

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & ~ & -3y & +z & = & 2 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 0 & = & 0 \end{matrix}

\begin{matrix} \textit{I.)} & x & +y & +z & = & 0 \\ \textit{II.)} & ~ & -3y & +z & = & 2 \\ \textit{III.)} & ~ & ~ & 0 & = & 0 \end{matrix}

Da in der dritten Zeile 0=0 steht und das immer gilt, ist diese Zeile vernachlässigbar und das LGS unterbestimmt. Es hat demzufolge unendlich viele Lösungen.

\implies \textit{II.)}~~-3y+z=2~~~|+3y \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{z=2+3y}}

\implies \textit{II.)}~~-3y+z=2~~~|+3y \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{z=2+3y}}

Setze z in I.) ein.

\implies \textit{I.)}~~x+y+2+3y=0 \\ \Leftrightarrow x+4y+2=0~~~|-2; -4y \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{x=-4y-2}}

\implies \textit{I.)}~~x+y+2+3y=0 \\ \Leftrightarrow x+4y+2=0~~~|-2; -4y \\ \Leftrightarrow \underline{\underline{x=-4y-2}}

Setze nun

y=t \quad t\in\reals

y=t \quad t\in\reals

Damit ergibt sich für die Lösungsmenge:

\implies\underline{\underline{L=\{(-4t-2;~t;~2+3t)~~~| t\in\reals \}}}

\implies\underline{\underline{L=\{(-4t-2;~t;~2+3t)~~~| t\in\reals \}}}

Die Variablen x, y und z wurden in Abhängigkeit von t dargestellt. Für t kannst du jede reelle Zahl einsetzen.

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