Für LGS mit mehr als zwei Variablen ist das Gleichsetzungsverfahren sehr aufwendig. Hier ist es sinnvoller, mit dem Additions- oder Einsetzungsverfahren zu arbeiten.

Beispiele

Erstes Beispiel

\textit{I.)}~~~~x+2y=4

\textit{I.)}~~~~x+2y=4

\textit{II.)}~~~x=3-y

\textit{II.)}~~~x=3-y

Schritt 1: Gleichungen nach der gleichen Variable umstellen.

\textit{I.)}~~~~x+2y=4 \ \ \ |-2y

\textit{I.)}~~~~x+2y=4 \ \ \ |-2y

\textit{II.)}~~~x=3-y

\textit{II.)}~~~x=3-y

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

\textit{I.)}~~~~x=4-2y

\textit{I.)}~~~~x=4-2y

\textit{II.)}~~~x=3-y

\textit{II.)}~~~x=3-y

Schritt 2: Gleichungen gleichsetzen und nach übriger Variable umstellen

4-2y=3-y \ \ \ |+y

4-2y=3-y \ \ \ |+y

\Leftrightarrow 4-y=3 \ \ \ |-4

\Leftrightarrow 4-y=3 \ \ \ |-4

\Leftrightarrow -y=-1 \ \ \ |:(-1)

\Leftrightarrow -y=-1 \ \ \ |:(-1)

\Leftrightarrow \underline{\underline{y=1}}

\Leftrightarrow \underline{\underline{y=1}}

Schritt 3: Lösung in eine der Ursprungsgleichungen einsetzen und andere Variable berechnen

\textit{y in II}

\textit{y in II}

\implies x=3-1

\implies x=3-1

\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben

\implies\underline{\underline{L=\{(2;1)\}}}

\implies\underline{\underline{L=\{(2;1)\}}}

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Zweites Beispiel

\textit{I.)}~~~~x+4y=16

\textit{I.)}~~~~x+4y=16

\textit{II.)}~~~3x+2y=13

\textit{II.)}~~~3x+2y=13

Schritt 1: Gleichungen nach der gleichen Variable umstellen.

\textit{I.)}~~~~x+4y=16 \ \ \ |-4y

\textit{I.)}~~~~x+4y=16 \ \ \ |-4y

\textit{II.)}~~~3x+2y=13 \ \ \ |-2y \ |:3

\textit{II.)}~~~3x+2y=13 \ \ \ |-2y \ |:3

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

\textit{I.)}~~~~x=16-4y

\textit{I.)}~~~~x=16-4y

\textit{II.)}~~~x=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y

\textit{II.)}~~~x=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y

Schritt 2: Gleichungen gleichsetzen und nach übriger Variable umstellen

16-4y=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y \ \ \ |+\frac{2}{3}y

16-4y=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y \ \ \ |+\frac{2}{3}y

\Leftrightarrow 16-\frac{10}{3}y=\frac{13}{3} \ \ \ | -16

\Leftrightarrow 16-\frac{10}{3}y=\frac{13}{3} \ \ \ | -16

\Leftrightarrow -\frac{10}{3}y=-\frac{35}{3} \ \ \ |:(-\frac{10}{3})

\Leftrightarrow -\frac{10}{3}y=-\frac{35}{3} \ \ \ |:(-\frac{10}{3})

\Leftrightarrow \underline{\underline{y=3,5}}

\Leftrightarrow \underline{\underline{y=3,5}}

Schritt 3: Lösung in eine der Ursprungsgleichungen einsetzen und andere Variable berechnen

\textit{y in I}

\textit{y in I}

\implies x+4\cdot3,5=16

\implies x+4\cdot3,5=16

\Leftrightarrow x+14=16 \ \ \ |-14

\Leftrightarrow x+14=16 \ \ \ |-14

\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben

\implies\underline{\underline{L=\{(2;~3,5)\}}}

\implies\underline{\underline{L=\{(2;~3,5)\}}}

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