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Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen des Systems nach der selben Variablen umgestellt und anschließend gleichgesetzt.

Vorgehensweise

Um ein LGS mit zwei Variablen und zwei Gleichungen mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens zu lösen, gehst du wie folgt vor.

Schritt 1: Gleichungen nach der gleichen Variable umstellen.

Schritt 2: Gleichungen gleichsetzen und nach übriger Variable umstellen

Schritt 3: Lösung in eine der Ursprungsgleichungen einsetzen und andere Variable berechnen

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben

Abschließend kannst du noch eine Probe machen, indem du die Variablen in das ursprüngliche LGS einsetzt.

Für LGS mit mehr als zwei Variablen ist das Gleichsetzungsverfahren sehr aufwendig. Hier ist es sinnvoller, mit dem Additions- oder Einsetzungsverfahren zu arbeiten.

Beispiele

Erstes Beispiel

\textit{I.)}~~~~x+2y=4I.)x+2y=4\textit{I.)}~~~~x+2y=4\textit{II.)}~~~x=3-yII.)x=3−y\textit{II.)}~~~x=3-y

Schritt 1: Gleichungen nach der gleichen Variable umstellen.

\textit{I.)}~~~~x+2y=4 \ \ \ |-2yI.)x+2y=4∣−2y\textit{I.)}~~~~x+2y=4 \ \ \ |-2y\textit{II.)}~~~x=3-yII.)x=3−y\textit{II.)}~~~x=3-y\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~x=4-2yI.)x=4−2y\textit{I.)}~~~~x=4-2y\textit{II.)}~~~x=3-yII.)x=3−y\textit{II.)}~~~x=3-y

Schritt 2: Gleichungen gleichsetzen und nach übriger Variable umstellen

4-2y=3-y \ \ \ |+y4−2y=3−y∣+y4-2y=3-y \ \ \ |+y\Leftrightarrow 4-y=3 \ \ \ |-4⇔4−y=3∣−4\Leftrightarrow 4-y=3 \ \ \ |-4\Leftrightarrow -y=-1 \ \ \ |:(-1)⇔−y=−1∣:(−1)\Leftrightarrow -y=-1 \ \ \ |:(-1)\Leftrightarrow \underline{\underline{y=1}}⇔y=1‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{y=1}}

Schritt 3: Lösung in eine der Ursprungsgleichungen einsetzen und andere Variable berechnen

\textit{y in II}yinII\textit{y in II}\implies x=3-1⟹x=3−1\implies x=3-1\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}⇔x=2‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben

\implies\underline{\underline{L=\{(2;1)\}}}⟹L={(2;1)}‾‾\implies\underline{\underline{L=\{(2;1)\}}}

Zweites Beispiel

\textit{I.)}~~~~x+4y=16I.)x+4y=16\textit{I.)}~~~~x+4y=16\textit{II.)}~~~3x+2y=13II.)3x+2y=13\textit{II.)}~~~3x+2y=13

Schritt 1: Gleichungen nach der gleichen Variable umstellen.

\textit{I.)}~~~~x+4y=16 \ \ \ |-4yI.)x+4y=16∣−4y\textit{I.)}~~~~x+4y=16 \ \ \ |-4y\textit{II.)}~~~3x+2y=13 \ \ \ |-2y \ |:3II.)3x+2y=13∣−2y∣:3\textit{II.)}~~~3x+2y=13 \ \ \ |-2y \ |:3\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~x=16-4yI.)x=16−4y\textit{I.)}~~~~x=16-4y\textit{II.)}~~~x=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}yII.)x=133−23y\textit{II.)}~~~x=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y

Schritt 2: Gleichungen gleichsetzen und nach übriger Variable umstellen

16-4y=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y \ \ \ |+\frac{2}{3}y16−4y=133−23y∣+23y16-4y=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}y \ \ \ |+\frac{2}{3}y\Leftrightarrow 16-\frac{10}{3}y=\frac{13}{3} \ \ \ | -16⇔16−103y=133∣−16\Leftrightarrow 16-\frac{10}{3}y=\frac{13}{3} \ \ \ | -16\Leftrightarrow -\frac{10}{3}y=-\frac{35}{3} \ \ \ |:(-\frac{10}{3})⇔−103y=−353∣:(−103)\Leftrightarrow -\frac{10}{3}y=-\frac{35}{3} \ \ \ |:(-\frac{10}{3})\Leftrightarrow \underline{\underline{y=3,5}}⇔y=3,5‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{y=3,5}}

Schritt 3: Lösung in eine der Ursprungsgleichungen einsetzen und andere Variable berechnen

\textit{y in I}yinI\textit{y in I}\implies x+4\cdot3,5=16⟹x+4⋅3,5=16\implies x+4\cdot3,5=16\Leftrightarrow x+14=16 \ \ \ |-14⇔x+14=16∣−14\Leftrightarrow x+14=16 \ \ \ |-14\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}⇔x=2‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben

\implies\underline{\underline{L=\{(2;~3,5)\}}}⟹L={(2;3,5)}‾‾\implies\underline{\underline{L=\{(2;~3,5)\}}}
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