Grafisches Lösen von LGS

Lineare Gleichungssysteme (LGS) können über Umformungen in lineare Funktionen auch grafisch gelöst werden.


Vorbereitung

Um ein LGS grafisch zu lösen, müssen die Gleichungen zunächst in lineare Funktionen umgewandelt werden.

Eine lineare Funktion ist eine Gerade, also eine Funktion 1. Grades.

y = \textcolor{sc_color_5} {m} \cdot x + \textcolor{sc_color_4} {c}y=mx+cy = \textcolor{#A86500} {m} \cdot x + \textcolor{#00856C} {c}\textcolor{sc_color_5} {\textit{m = Steigung}}m=Steigung\textcolor{#A86500} {\textit{m = Steigung}}\textcolor{sc_color_4} {\textit{c = Schnittstelle mit y-Achse}}c=Schnittstellemity-Achse\textcolor{#00856C} {\textit{c = Schnittstelle mit y-Achse}}

Schau dir das folgende lineare Gleichungssystem an.

\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 2 \\ \textit{II.)} & -3x & +y & = & 1 \end{matrix}I.)2x+y=2II.)3x+y=1\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 2 \\ \textit{II.)} & -3x & +y & = & 1 \end{matrix}

Damit lineare Funktionen in den Zeilen entstehen, musst du die Gleichungen nach y umstellen.

\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 2&|-2x \\ \textit{II.)} & -3x & +y & = & 1&|+3x \end{matrix}I.)2x+y=22xII.)3x+y=1+3x\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 2&|-2x \\ \textit{II.)} & -3x & +y & = & 1&|+3x \end{matrix}

Daraus folgt:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2&-2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 1&+3x \end{matrix}I.)y=22xII.)y=1+3x\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2&-2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 1&+3x \end{matrix}

Du kannst nun noch die Summanden vertauschen.

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -2x&+2 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 3x&+1 \end{matrix}I.)y=2x+2II.)y=3x+1\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -2x&+2 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 3x&+1 \end{matrix}

So erhältst du zwei lineare Funktionen, die du in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst.

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Zeichnung interpretieren

Du hast die Funktionsgeraden bzw. beide Gleichungen in ein Koordinatensystem gezeichnet und überprüfst nun ihre Lage zueinander.

Unendlich viele Lösungen

Die Geraden sind identisch.

Beispiel:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & x&+2 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & x&+2 \end{matrix}I.)y=x+2II.)y=x+2\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & x&+2 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & x&+2 \end{matrix}
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Keine Lösung

Die Geraden verlaufen parallel.

Beispiel:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 2x&+3 \end{matrix}I.)y=2xII.)y=2x+3\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 2x&+3 \end{matrix}
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Genau eine Lösung

Die Geraden schneiden sich.

Beispiel:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -\frac{1}{2}x&+1 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & x&+1 \end{matrix}I.)y=12x+1II.)y=x+1\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -\frac{1}{2}x&+1 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & x&+1 \end{matrix}
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Falls sich die Geraden schneiden, kannst du ihren Schnittpunkt ablesen oder berechnen. Dieser stellt gleichzeitig die eine Lösung des LGS dar.

ACHTUNG: Eine grafische Lösung ist nur für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen möglich!


Beispiele

Unendlich viele Lösungen

Löse das LGS grafisch!

\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 1 \\ \textit{II.)} & 4x & +2y & = & 2 \end{matrix}I.)2x+y=1II.)4x+2y=2\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 1 \\ \textit{II.)} & 4x & +2y & = & 2 \end{matrix}

Stelle nach y um.

\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 1&|-2x \\ \textit{II.)} & 4x & +2y & = & 2&|-4x \end{matrix}I.)2x+y=12xII.)4x+2y=24x\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & +y & = & 1&|-2x \\ \textit{II.)} & 4x & +2y & = & 2&|-4x \end{matrix}

Daraus folgt:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 1&-2x \\ \textit{II.)} & ~ & 2y & = & 2&-4x&|:2 \end{matrix}I.)y=12xII.)2y=24x:2\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 1&-2x \\ \textit{II.)} & ~ & 2y & = & 2&-4x&|:2 \end{matrix}

Daraus folgt:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 1&-2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 1&-2x \end{matrix}I.)y=12xII.)y=12x\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 1&-2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 1&-2x \end{matrix}

Du kannst nun noch die Summanden vertauschen.

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -2x&+1 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & -2x&+1 \end{matrix}I.)y=2x+1II.)y=2x+1\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -2x&+1 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & -2x&+1 \end{matrix}

Zeichne beide Funktionen in ein Koordinatensystem.

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Die Geraden sind also identisch. Demzufolge hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Keine Lösung

Löse das LGS grafisch!

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2x&-3 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 2x&+2 \end{matrix}I.)y=2x3II.)y=2x+2\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2x&-3 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 2x&+2 \end{matrix}

Die Gleichungen sind schon in der Form linearer Funktionen. Zeichne beide Funktionen in ein Koordinatensystem.

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Die Geraden verlaufen parallel. Demzufolge hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung und es ergibt sich für die Lösungsmenge die leere Menge:

\implies\underline{\underline{L=\emptyset}}L=\implies\underline{\underline{L=\emptyset}}

Eine Lösung

Löse das LGS grafisch!

\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & -y & = & 3 \\ \textit{II.)} & 6x & +3y & = & 3 \end{matrix}I.)2xy=3II.)6x+3y=3\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & -y & = & 3 \\ \textit{II.)} & 6x & +3y & = & 3 \end{matrix}

Stelle nach y um.

\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & -y & = & 3&|-2x \\ \textit{II.)} & 6x & +3y & = & 3&|-6x \end{matrix}I.)2xy=32xII.)6x+3y=36x\begin{matrix} \textit{I.)} & 2x & -y & = & 3&|-2x \\ \textit{II.)} & 6x & +3y & = & 3&|-6x \end{matrix}

Daraus folgt:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & -y & = & 3&-2x&|:(-1) \\ \textit{II.)} & ~ & 3y & = & 3&-6x&|:3 \end{matrix}I.)y=32x:(1)II.)3y=36x:3\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & -y & = & 3&-2x&|:(-1) \\ \textit{II.)} & ~ & 3y & = & 3&-6x&|:3 \end{matrix}

Daraus folgt:

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -3&+2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 1&-2x \end{matrix}I.)y=3+2xII.)y=12x\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & -3&+2x \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & 1&-2x \end{matrix}

Du kannst nun noch die Summanden vertauschen.

\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2x&-3 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & -2x&+1 \end{matrix}I.)y=2x3II.)y=2x+1\begin{matrix} \textit{I.)} & ~ & y & = & 2x&-3 \\ \textit{II.)} & ~ & y & = & -2x&+1 \end{matrix}

Zeichne beide Funktionen in ein Koordinatensystem.

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Die Geraden schneiden sich im Punkt P(1|-1). Demzufolge ist die Lösung des LGS bei x=1 und y=-1. Damit ergibt sich für die Lösungsmenge:

\implies\underline{\underline{L=\{(1;-1) \}}}L={(1;1)}\implies\underline{\underline{L=\{(1;-1) \}}}
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