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Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass durch gegenseitige Addition oder Subtraktion dieser Gleichungen eine Variable verschwindet.

Vorgehensweise

Um ein LGS mit Hilfe des Additionsverfahrens zu lösen, gehst du wie folgt vor.

Schritt 1: Gleichungen umformen.

Schritt 2: Eine der Gleichungen von der anderen subtrahieren bzw. addieren und eventuell umstellen.

Schritt 3.1: Schritt 1 - 2 solange wiederholen, bis eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht.

Schritt 3.2: Gelöste Variable(n) in die Ursprungsgleichung einsetzen und die übrige Variable lösen.

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben.

Abschließend kannst du noch eine Probe machen, indem du die Variablen in das ursprüngliche LGS einsetzt.

Bei einem LGS mit zwei Variablen und zwei Gleichungen benötigst du den Schritt 3.1 nicht.

Beispiele

Beispiel für ein LGS mit 2 Variablen und 2 Gleichungen

\textit{I.)}~~~~2y=5-xI.)2y=5−x\textit{I.)}~~~~2y=5-x\textit{II.)}~~~-2x-4=-3yII.)−2x−4=−3y\textit{II.)}~~~-2x-4=-3y

Schritt 1: Gleichungen umformen.

Zunächst sortierst du die Gleichungen in eine einheitliche Form.

\textit{I.)}~~~~x+2y=5I.)x+2y=5\textit{I.)}~~~~x+2y=5\textit{II.)}~~~-2x+3y=4II.)−2x+3y=4\textit{II.)}~~~-2x+3y=4

Nun multiplizierst du die obere Gleichung mit 2.

\textit{I.)}~~~~2x+4y=10I.)2x+4y=10\textit{I.)}~~~~2x+4y=10\textit{II.)}~~~-2x+3y=4II.)−2x+3y=4\textit{II.)}~~~-2x+3y=4

Schritt 2: Eine der Gleichungen von der anderen subtrahieren bzw. addieren und eventuell umstellen.

\textit{I+II}I+II\textit{I+II}\implies 7y=14 \ \ \ |:7⟹7y=14∣:7\implies 7y=14 \ \ \ |:7\Leftrightarrow \underline{\underline{y=2}}⇔y=2‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{y=2}}

Schritt 3.1: Schritt 1 - 2 solange wiederholen, bis eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht.

Entfällt.

Schritt 3.2: Gelöste Variable(n) in die Ursprungsgleichung einsetzen und die übrige Variable lösen.

Setze y=2 in die erste Gleichung ein.

\textit{I.)}~~~~2\cdot2=5-xI.)2⋅2=5−x\textit{I.)}~~~~2\cdot2=5-x\Leftrightarrow 4=5-x \ \ \ |-5⇔4=5−x∣−5\Leftrightarrow 4=5-x \ \ \ |-5\Leftrightarrow -1=-x \ \ \ |:(-1)⇔−1=−x∣:(−1)\Leftrightarrow -1=-x \ \ \ |:(-1)\Leftrightarrow \underline{\underline{x=1}}⇔x=1‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{x=1}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben.

\implies\underline{\underline{L=\{(1;2)\}}}⟹L={(1;2)}‾‾\implies\underline{\underline{L=\{(1;2)\}}}

Beispiel für ein LGS mit 3 Variablen und 3 Gleichungen

\textit{I.)}~~~~-7+x=-y+2zI.)−7+x=−y+2z\textit{I.)}~~~~-7+x=-y+2z\textit{II.)}~~~3x-y=2-zII.)3x−y=2−z\textit{II.)}~~~3x-y=2-z\textit{III.)}~~-8+5z=-2x-3yIII.)−8+5z=−2x−3y\textit{III.)}~~-8+5z=-2x-3y

Schritt 1: Gleichungen umformen.

Zunächst sortierst du die Gleichungen in eine einheitliche Form.

\textit{I.)}~~~~x+y-2z=7I.)x+y−2z=7\textit{I.)}~~~~x+y-2z=7\textit{II.)}~~~3x-y+z=2II.)3x−y+z=2\textit{II.)}~~~3x-y+z=2\textit{III.)}~~2x+3y+5z=8III.)2x+3y+5z=8\textit{III.)}~~2x+3y+5z=8

Nun multiplizierst du die erste Gleichung mit 3 und betrachtest zunächst die ersten beiden Gleichungen.

\textit{I.)}~~~~3x+3y-6z=21I.)3x+3y−6z=21\textit{I.)}~~~~3x+3y-6z=21\textit{II.)}~~~3x-y+z=2II.)3x−y+z=2\textit{II.)}~~~3x-y+z=2

Schritt 2: Eine der Gleichungen von der anderen subtrahieren bzw. addieren und eventuell umstellen.

\textit{I-II}I-II\textit{I-II}\implies \underline{4y-7z=19}⟹4y−7z=19‾\implies \underline{4y-7z=19}

Schritt 3.1: Schritt 1 - 2 solange wiederholen, bis eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht.

Nun multiplizierst du die erste Gleichung mit 2 und betrachtest dazu die dritte Gleichung.

\textit{I.)}~~~~2x+2y-4z=14I.)2x+2y−4z=14\textit{I.)}~~~~2x+2y-4z=14\textit{III.)}~~2x+3y+5z=8III.)2x+3y+5z=8\textit{III.)}~~2x+3y+5z=8\textit{I-III}I-III\textit{I-III}\implies \underline{-y-9z=6}⟹−y−9z=6‾\implies \underline{-y-9z=6}

Stelle ein neues Gleichungssystem mit den erhaltenen Gleichungen auf.

\textit{I.)}~~~~4y-7z=19I.)4y−7z=19\textit{I.)}~~~~4y-7z=19\textit{II.)}~~~-y-9z=6II.)−y−9z=6\textit{II.)}~~~-y-9z=6

Multipliziere die zweite Gleichung mit 4.

\textit{I.)}~~~~4y-7z=19I.)4y−7z=19\textit{I.)}~~~~4y-7z=19\textit{II.)}~~~-4y-36z=24II.)−4y−36z=24\textit{II.)}~~~-4y-36z=24\textit{I+II}I+II\textit{I+II}\implies -43z=43 \ \ \ |:(-43)⟹−43z=43∣:(−43)\implies -43z=43 \ \ \ |:(-43)\Leftrightarrow \underline{\underline{z=-1}}⇔z=−1‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{z=-1}}

Setze z=-1 in eine der Gleichungen ein.

4y-7\cdot(-1)=194y−7⋅(−1)=194y-7\cdot(-1)=19\Leftrightarrow 4y+7=19 \ \ \ |-7⇔4y+7=19∣−7\Leftrightarrow 4y+7=19 \ \ \ |-7\Leftrightarrow 4y=12 \ \ \ |:4⇔4y=12∣:4\Leftrightarrow 4y=12 \ \ \ |:4\Leftrightarrow \underline{\underline{y=3}}⇔y=3‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{y=3}}

Schritt 3.2: Gelöste Variable(n) in die Ursprungsgleichung einsetzen und die übrige Variable lösen.

Nun setzt du y=3 und z=-1 in eine der Ursprungsgleichungen ein.

\textit{I.)}~~~~x+y-2z=7I.)x+y−2z=7\textit{I.)}~~~~x+y-2z=7\implies x+3-2\cdot(-1)=7⟹x+3−2⋅(−1)=7\implies x+3-2\cdot(-1)=7\Leftrightarrow x+5=7 \ \ \ |-5⇔x+5=7∣−5\Leftrightarrow x+5=7 \ \ \ |-5\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}⇔x=2‾‾\Leftrightarrow \underline{\underline{x=2}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben.

\implies\underline{\underline{L=\{(2;3;-1)\}}}⟹L={(2;3;−1)}‾‾\implies\underline{\underline{L=\{(2;3;-1)\}}}
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