Kovarianz

Die Kovarianz ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen.


Erklärung

Du kannst die Kovarianz durch folgende Formel berechnen:

KOV(X,Y) = \sum_{i=1}^{n} \cdot (x_i - E(X))(y_i-E(Y)) \cdot \frac{1}{n-1}KOV(X,Y)=i=1n(xiE(X))(yiE(Y))1n1KOV(X,Y) = \sum_{i=1}^{n} \cdot (x_i - E(X))(y_i-E(Y)) \cdot \frac{1}{n-1}
  • (x_i - E(X))(xiE(X))(x_i - E(X)) ist die Abweichung der Variablen xxx von ihrem Erwartungswert
  • (y_i - E(Y))(yiE(Y))(y_i - E(Y)) ist die Abweichung der Variablen yyy von ihrem Erwartungswert
  • nnn ist die Größe der Stichprobe

Du musst also nnn mal (x_i - E(X))(y_i-E(Y)) \cdot \frac{1}{n-1}(xiE(X))(yiE(Y))1n1(x_i - E(X))(y_i-E(Y)) \cdot \frac{1}{n-1} aufsummieren.

Als Ergebnis können drei Fälle auftreten:

  1. Die Kovarianz ist positiv (Kov(X,Y)>0Kov(X,Y)>0Kov(X,Y)>0): Linearer Zusammenhang zwischen den Variablen
  1. Die Kovarianz ist negativ(Kov(X,Y)<0Kov(X,Y)<0Kov(X,Y)<0): Antiproportionaler Zusammenhang zwischen den Variablen.
  1. Die Kovarianz ist 000: Kein Zusammenhang zwischen den Variablen

Achtung: Die Kovarianz ist nicht standardisiert. Sie gibt im Allgemeinen also keine Auskunft über die Stärke des Zusammenhangs, d.h es gilt nicht: je größer die Kovarianz, desto stärker der Zusammenhang.


Beispiel

Gegeben

Angenommen, du hast fünf Personen zu der Entfernung ihres Wohnorts von ihrem Arbeitsplatz und der Dauer des Arbeitswegs befragt und hast folgende Daten erhalten:

\text{Person}Person\text{Person}
~~~~~~~11~~~~~~~1
~~~~~~~22~~~~~~~2
~~~~~~~33~~~~~~~3
~~~~~~~44~~~~~~~4
~~~~~~~55~~~~~~~5
\text{Entfernung in km}Entfernung in km\text{Entfernung in km}
~~~~~2121~~~~~21
~~~~~1010~~~~~10
~~~~~5454~~~~~54
~~~~~3333~~~~~33
~~~~~6565~~~~~65
\text{Dauer in Minuten}Dauer in Minuten\text{Dauer in Minuten}
~~~~~1515~~~~~15
~~~~~88~~~~~8
~~~~~3535~~~~~35
~~~~~2424~~~~~24
~~~~~4242~~~~~42

Gesucht

Berechne die Kovarianz zwischen Entfernung und Dauer.

Lösung

Du hast also jeweils fünf Datenpunkte für die Entfernung XXX und die Fahrtdauer YYY gegeben: n = 5n=5n = 5

Als Erstes berechnest du die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen:

Hier ist also die Wahrscheinlichkeit jeweils p = \frac{1}{5}p=15p = \frac{1}{5} da du ja 5 Datenpunkte gegeben hast

E(X) = 21 \cdot \frac{1}{5} + 10 \cdot \frac{1}{5} + 54 \cdot \frac{1}{5} + 33 \cdot \frac{1}{5} + 65 \cdot \frac{1}{5} =36,6 E(X)=2115+1015+5415+3315+6515=36,6 E(X) = 21 \cdot \frac{1}{5} + 10 \cdot \frac{1}{5} + 54 \cdot \frac{1}{5} + 33 \cdot \frac{1}{5} + 65 \cdot \frac{1}{5} =36,6 E(Y) = 15 \cdot \frac{1}{5} + 8 \cdot \frac{1}{5} + 35 \cdot \frac{1}{5} + 24 \cdot \frac{1}{5} + 42 \cdot \frac{1}{5} = 24,8E(Y)=1515+815+3515+2415+4215=24,8E(Y) = 15 \cdot \frac{1}{5} + 8 \cdot \frac{1}{5} + 35 \cdot \frac{1}{5} + 24 \cdot \frac{1}{5} + 42 \cdot \frac{1}{5} = 24,8

Dann kannst du die Kovarianz berechnen:

\begin{aligned}KOV(X,Y) &= \sum_{i=1}^{n} \cdot (x_i - E(X))(y_i-E(Y)) \cdot \frac{1}{n-1}\\ &= (21-36,6) (15-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\ &+ (10-36,6)(8-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\&+ (54-36,6)(35-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\&+ (33-36,6)(24-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\&+ (65-36,6)(42-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\ &= \underline{\underline{317,15}} \end{aligned}KOV(X,Y)=i=1n(xiE(X))(yiE(Y))1n1=(2136,6)(1524,8)14+(1036,6)(824,8)14+(5436,6)(3524,8)14+(3336,6)(2424,8)14+(6536,6)(4224,8)14=317,15\begin{aligned}KOV(X,Y) &= \sum_{i=1}^{n} \cdot (x_i - E(X))(y_i-E(Y)) \cdot \frac{1}{n-1}\\ &= (21-36,6) (15-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\ &+ (10-36,6)(8-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\&+ (54-36,6)(35-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\&+ (33-36,6)(24-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\&+ (65-36,6)(42-24,8)\cdot \frac{1}{4} \\ &= \underline{\underline{317,15}} \end{aligned}

Die Kovarianz ist positiv! Es besteht also ein linearer Zusammenhang zwischen der Entfernung zum Arbeitsort und der Dauer des Arbeitswegs.

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