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Wertebereich

Wenn du im Matheunterricht gerade das Thema Funktionen hast, wird dir auch der Begriff Wertebereich begegnen.

Aber: Was ist der Wertebereich?

simpleclub zeigt dir, was du zum Wertebereich wissen solltest.

Wertebereich einfach erklärt

Zum Wertebereich (auch Wertemenge) einer Funktion f $f$ gehören alle y $y$ -Werte, die beim Einsetzen von allen möglichen x $x$ -Werten herauskommen können.

Gibt es y $y$ -Werte, die die Funktion nicht annehmen kann, dann gehört der Wert auch nicht zum Wertebereich.

Wertebereich Schreibweise

Der Wertebereich wird meistens mit einem W geschrieben.

\mathbb{W} = \{y\in\R:y=f(x),x\in\mathbb{D}\}

\mathbb{W} = \{y\in\R:y=f(x),x\in\mathbb{D}\}

Mathematische Schreibweise	Bedeutung
y\in\R $y\in\R$	alle reellen Zahlen
: $:$	mit der Eigenschaft, dass
y=f(x), x\in\mathbb{D} $y=f(x), x\in\mathbb{D}$	y $y$ ein Funktionswert von f $f$ ist und nur x $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion kommen.

Wertebereich graphische Darstellung

Graphisch kannst du den Wertebereich ablesen. Dazu musst du dir die y $y$ -Achse anschauen.

Welche Werte erreicht die Funktion?

Graph verschieben

Wertebereich Definition

Im Wertebereich einer Funktion f(x) $f(x)$ liegen alle Funktionswerte y $y$ , die durch die Funktion rauskommen können.

\mathbb{W} = \{y\in\R: y=f(x),x\in\mathbb{D} \}

\mathbb{W} = \{y\in\R: y=f(x),x\in\mathbb{D} \}

Spezielle Funktionen Wertebereich

Von speziellen Funktionen solltest du den Wertebereich kennen.

f(x) $f(x)$	\mathbb{W} $\mathbb{W}$
x^2,x^4,x^6,\ldots $x^2,x^4,x^6,\ldots$	\R_{\geq0} $\R_{\geq0}$
-x^2,-x^4,-x^6,\ldots $-x^2,-x^4,-x^6,\ldots$	\R_{\leq0} $\R_{\leq0}$
\pm x, \pm x^3, \pm x^5,\ldots $\pm x, \pm x^3, \pm x^5,\ldots$	\R $\R$
\sqrt{x} $\sqrt{x}$	\R_{\geq0} $\R_{\geq0}$
\frac{1}{x} $\frac{1}{x}$	\R\setminus\{0\} $\R\setminus\{0\}$
\sin(x),\cos(x) $\sin(x),\cos(x)$	[-1;1] $[-1;1]$
b^x, \quad b>0 $b^x, \quad b>0$	\R_{>0} $\R_{>0}$
\log_b(x),\quad b>0 $\log_b(x),\quad b>0$	\R $\R$

Wertebereich Berechnung

Der Wertebereich (von stetigen Funktionen) hängt von drei Eigenschaften ab:

Definitionsbereich
Verhalten im Unendlichen
Extrempunkten

Wenn du diese Informationen hast, kannst du den Wertebereich angeben!

Hinweis:

Da du den Wertebereich häufig während einer Kurvendiskussion angeben musst, berechnest du die drei Eigenschaften sowieso schon vorher.

Wertebereich Beispiele

Ganzrationale Funktion

Aufgabe

Bestimme von der Funktion

f(x) = x^2 + x + 1

f(x) = x^2 + x + 1

den Wertebereich!

Lösung

Du solltest dir als Erstes überlegen, wie der Graph dazu aussieht.

Da x^2 $x^2$ die höchste Potenz ist, sieht der Graph parabelförmig aus!

Der Wertebereich ist also nicht komplett \R $\R$ .

Überlege dir nun, welche Informationen du über die Funktion bekommen kannst!

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich von ganzrationalen Funktionen ist \mathbb{D} = \R $\mathbb{D} = \R$ . Also gibt es keine Definitionslücken!

Verhalten im Unendlichen

Da x^2 $x^2$ die höchste Potenz ist, gilt:

\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$
\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = +\infty $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = +\infty$

Extrempunkte

Die Funktion hat einen Tiefpunkt bei T\left(-\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{3}{4}\right) $T\left(-\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{3}{4}\right)$

Wertebereich

Der Graph der Funktion

"kommt" von +\infty $+\infty$ ,
hat einen Tiefpunkt bei y = \frac{3}{4} $y = \frac{3}{4}$ ,
"läuft" dann wieder nach +\infty $+\infty$ und
hat keine Definitionslücken.

Der Wertebereich lautet also:

\mathbb{W} = \left\{ y\in \R: \frac{3}{4} \leq y < +\infty \right\} = \left[\frac{3}{4};+\infty\right[

\mathbb{W} = \left\{ y\in \R: \frac{3}{4} \leq y < +\infty \right\} = \left[\frac{3}{4};+\infty\right[

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Gebrochenrationale Funktion

Aufgabe

Bestimme den Wertebereich der Funktion

f(x) = \dfrac{x+1}{x}

f(x) = \dfrac{x+1}{x}

Lösung

Du solltest dir als Erstes überlegen, wie der Graph dazu aussieht.

Am Graphen erkennst du den Wertebereich. Er besteht aus den komplette reellen Zahlen außer der 1.

Du könntest vermuten, dass durch die waagerechte Asymptote bei y=1 $y=1$ dieser Wert auch nicht zum Wertebereich gehört.

Extrempunkte

Die Funktion hat keine Extrempunkte.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist \mathbb{D} = \R\setminus\{0\} $\mathbb{D} = \R\setminus\{0\}$ .

Verhalten im Unendlichen

Weil der Zählergrad und der Nennergrad identisch sind, liegt eine waagerechte Asymptote bei y = 1 $y = 1$ vor.

Ansonsten ist das Grenzverhalten wie folgt:

\begin{aligned} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) & = 1 \\[3mm] \lim\limits_{x\to -\infty}f(x) & = 1 \end{aligned}

\begin{aligned} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) & = 1 \\[3mm] \lim\limits_{x\to -\infty}f(x) & = 1 \end{aligned}

Aber bei x=0 $x=0$ findet offensichtlich ein Vorzeichenwechsel statt.

Es gilt:

\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0^+}f(x) & = +\infty \\[3mm] \lim\limits_{x\to 0^-}f(x) & = -\infty \end{aligned}

\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0^+}f(x) & = +\infty \\[3mm] \lim\limits_{x\to 0^-}f(x) & = -\infty \end{aligned}

Wenn du also von links (0^- $0^-$ ) gegen 0 $0$ läufst, werden die Funktionswerte immer kleiner bis -\infty $-\infty$ .

Wenn du dagegen von rechts (0^+ $0^+$ ) gegen 0 $0$ läufst, werden die Funktionswerte immer größer bis +\infty $+\infty$ .

Wertebereich

Somit werden alle Werte zwischen -\infty $-\infty$ und 1 $1$ sowie zwischen 1 $1$ und +\infty $+\infty$ angenommen.

Bleibt die einzige Frage, was mit y = 1 $y = 1$ ist.

Dazu kannst du annehmen, dass 1 $1$ ein Funktionswert ist und dann nach x $x$ umformen!

\begin{aligned} 1 &= \frac{x+1}{x} &&\quad\mid \cdot x \\[3mm] x &= x+1 &&\quad\mid -x \\[3mm] 0&=1 \end{aligned}

\begin{aligned} 1 &= \frac{x+1}{x} &&\quad\mid \cdot x \\[3mm] x &= x+1 &&\quad\mid -x \\[3mm] 0&=1 \end{aligned}

Das ist ein Widerspruch! Die 1 $1$ gehört also wie vermutet als einzige Zahl nicht zum Wertebereich!

\mathbb{W} = \R\setminus\{1\}

\mathbb{W} = \R\setminus\{1\}

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