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Asymptote

Wenn du gerade das Thema Analysis in Mathe hast, werden dir im Themenbereich Kurvendiskussion auch Asymptoten begegnen.

Steht eine Klausur oder ein Test zum Thema Kurvendiskussion an, dann solltest du wissen, was Asymptoten sind und wie man sie bestimmt.

simpleclub zeigt dir, wie das geht!

Asymptoten einfach erklärt

Asymptoten sind Funktionsgraphen, an die sich ein anderer Funktionsgraph im Unendlichen anschmiegt.

Sie sind vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen relevant.

Unterscheiden kannst du in

waagerechte Asymptoten
schiefe Asymptoten
kurvenförmige Asymptoten

Hinweis:

Manchmal sollen auch senkrechte Asymptoten bestimmt werden. Das sind Linien, die parallel zur y $y$ -Achse verlaufen. Dazu musst du die Polstellen der Funktionen bestimmen.

Asymptoten Definition

Eine Asymptote ist eine Kurve, an die sich ein Funktionsgraph im Unendlichen anschmiegt.

Waagerechte Asymptote

Eine waagerechte Asymptote liegt immer dann vor, wenn der Zählergrad kleiner oder gleich dem Nennergrad ist.

\Large{"Z(x) \leq N(x)"} $\Large{"Z(x) \leq N(x)"}$

Waagerechte Asymptoten sind parallel zur x $x$ -Achse.

Ist der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad, dann ist das Verhalten im Unendlichen 0 $0$ .

Deswegen ist auch die Asymptote y=0 $y=0$ .

\large{"Z(x) = N(x)"} $\large{"Z(x) = N(x)"}$

Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, dann ist das Verhalten im Unendlichen konstant \frac{a_n}{b_m} $\frac{a_n}{b_m}$ .

Deswegen ist auch die Asymptote y=\frac{a_n}{b_m} $y=\frac{a_n}{b_m}$ .

Du teilst also die Vorfaktoren der höchsten Potenzen durcheinander.

Beachte dabei das Vorzeichen!

Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote liegt vor, wenn der Zählergrad genau um 1 $1$ größer als der Nennergrad ist.

\Large{"Z(x) = N(x) + 1"} $\Large{"Z(x) = N(x) + 1"}$

Da das Verhalten im Unendlich hier entweder \pm\infty $\pm\infty$ ist, musst du in diesem Fall noch ein bisschen rechnen!

Dazu benötigst du die Polynomdivision.

Teile das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom.

Du erhältst dann einen ganzrationalen Anteil A(x) $A(x)$ und einen gebrochenrationalen Anteil R(x) $R(x)$ .

Dann sind:

A(x) $A(x)$ die Asymptote
R(x) $R(x)$ das Restglied (das kannst du für die Asymptote ignorieren)

Kurvenförmige Asymptote

Eine kurvenförmige Asymptote liegt vor, wenn der Zählergrad um mehr als 1 $1$ größer als der Nennergrad ist.

\Large{"Z(x) > N(x) + 1"} $\Large{"Z(x) > N(x) + 1"}$

Wie bei der schiefen Asymptote musst du sie rechnerisch mittels Polynomdivision bestimmen.

Asymptoten Beispiele

Waagerechte Asymptote \Large{y=0} $\Large{y=0}$

Aufgabe

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 9}{5x^3 + 4x^2 - 1}

f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 9}{5x^3 + 4x^2 - 1}

die Asymptote!

Lösung

Schaue dir die Terme mit der höchsten Potenz im Zähler und im Nenner an!

f(x) = \dfrac{\col[1]{x^2} - 2x + 9}{\col[1]{5x^3} + 4x^2 - 1}

f(x) = \dfrac{\col[1]{x^2} - 2x + 9}{\col[1]{5x^3} + 4x^2 - 1}

Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, liegt eine waagerechte Asymptote vor:

\lsg{y = 0}

\lsg{y = 0}

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Waagerechte Asymptote \Large{y\neq0} $\Large{y\neq0}$

Aufgabe

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

f(x) = \dfrac{x^2 - 2x^3 + 9}{5x^3 + 4x^2 - 1}

f(x) = \dfrac{x^2 - 2x^3 + 9}{5x^3 + 4x^2 - 1}

die Asymptote!

Lösung

Schaue dir die Terme mit der höchsten Potenz im Zähler und im Nenner an!

f(x) = \dfrac{x^2 \col[1]{- 2x^3} + 9}{\col[1]{5x^3} + 4x^2 - 1}

f(x) = \dfrac{x^2 \col[1]{- 2x^3} + 9}{\col[1]{5x^3} + 4x^2 - 1}

Da der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, liegt eine waagerechte Asymptote vor:

Du musst die Vorfaktoren der höchsten Potenz durcheinander teilen.

Achte auf die Vorzeichen!

Es gilt:

\lsg{y = \dfrac{(-2)}{5} }

\lsg{y = \dfrac{(-2)}{5} }

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Schiefe Asymptote

Aufgabe

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}

f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}

die Asymptote!

Lösung

Schaue dir die Terme mit der höchsten Potenz im Zähler und im Nenner an!

f(x) = \dfrac{\col[1]{x^2}+1}{\col[1]{x}-1}

f(x) = \dfrac{\col[1]{x^2}+1}{\col[1]{x}-1}

Da der Zählergrad um 1 $1$ größer als der Nennergrad ist, liegt eine schiefe Asymptote vor:

Diese musst du noch mittels Polynomdivision bestimmen:

Die Asymptote lautet also:

\lsg{y=x+1}

\lsg{y=x+1}

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Kurvenförmige Asymptote

Aufgabe

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

f(x) = \dfrac{x^3+1}{x-1}

f(x) = \dfrac{x^3+1}{x-1}

die Asymptote!

Lösung

Schaue dir die Terme mit der höchsten Potenz im Zähler und im Nenner an!

f(x) = \dfrac{\col[1]{x^3}+1}{\col[1]{x}-1}

f(x) = \dfrac{\col[1]{x^3}+1}{\col[1]{x}-1}

Da der Zählergrad um mehr als 1 $1$ größer als der Nennergrad ist, liegt eine kurvenförmige Asymptote vor:

Diese musst du noch mittels Polynomdivision bestimmen:

Die Asymptote lautet also:

\lsg{y=x^2+x+1}

\lsg{y=x^2+x+1}

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

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