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Symmetrie

Wenn du dich in Mathe gerade mit Funktionen beschäftigst, wirst du auch auf das Thema Symmetrie stoßen.

Funktionen können zum Beispiel punktsymmetrisch, aber auch achsensymmetrisch sein. Aber: was bedeutet Symmetrie bei Funktionen? Wie bestimmt man Symmetrie?

simpleclub erklärt dir, was du zur Symmetrie wissen solltest!

Symmetrie einfach erklärt

Eine Funktion kann achsensymmetrisch oder punktysymmetrisch sein.

Symmetrie Definition

Eine Funktion, die sich an der y $y$ -Achse spiegelt, ist achsensymmetrisch. Eine Funktion, die sich am Ursprung spiegelt, ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Achsensymmetrie

Wenn du wissen willst, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, dann ist damit meistens die Symmetrie zur y $y$ -Achse gemeint.

Ist die Funktion achsensymmetrisch, dann kommt bei der Spiegelung an der y $y$ -Achse die gleiche Funktion raus.

Es gilt:

f(x) = f(-x)

f(x) = f(-x)

Achsensymmetrie
f(x) = x^2 +3 $f(x) = x^2 +3$	f(x) = -2x +3 $f(x) = -2x +3$
Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Funktion spiegelt sich an der y $y$ -Achse	Funktion spiegelt sich NICHT an der y $y$ -Achse
f(\textcolor{sc_color_1}{x}) = \textcolor{sc_color_1}{x}^2 + 3 = (\textcolor{sc_color_2}{-x})^2+3 = f(\textcolor{sc_color_2}{-x}) $f(\textcolor{#7F7706}{x}) = \textcolor{#7F7706}{x}^2 + 3 = (\textcolor{#0069FC}{-x})^2+3 = f(\textcolor{#0069FC}{-x})$	f(\textcolor{sc_color_1}{x}) = -2\cdot \textcolor{sc_color_1}{x} + 3 \neq 2x+3 =-2\cdot \textcolor{sc_color_2}{(-x)}+3 = f(\textcolor{sc_color_2}{-x}) $f(\textcolor{#7F7706}{x}) = -2\cdot \textcolor{#7F7706}{x} + 3 \neq 2x+3 =-2\cdot \textcolor{#0069FC}{(-x)}+3 = f(\textcolor{#0069FC}{-x})$
achsensymmetrisch	NICHT achsensymmetrisch

Punktsymmetrie

Wenn du wissen willst, ob eine Funktion punktsymmetrisch ist, dann ist damit meistens die Symmetrie zum Ursprung gemeint.

Ist die Funktion punktsymmetrisch, dann kommt bei der Spiegelung am Ursprung die gleiche Funktion raus.

Es gilt:

f(-x) = -f(x)

f(-x) = -f(x)

Punktsymmetrie
f(x) = 3x^3 + x $f(x) = 3x^3 + x$	f(x) = x^2 $f(x) = x^2$
Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Funktion spiegelt sich am Ursprung	Funktion spiegelt sich NICHT am Ursprung
f(\textcolor{sc_color_1}{-x} )= 3\cdot \textcolor{sc_color_1}{(-x)}^3+\textcolor{sc_color_1}{(-x)} =-3x^3-x =\textcolor{sc_color_2}{-} (3\textcolor{sc_color_2}{x}^3+\textcolor{sc_color_2}{x})=\textcolor{sc_color_2}{-}f(\textcolor{sc_color_2}{x}) $f(\textcolor{#7F7706}{-x} )= 3\cdot \textcolor{#7F7706}{(-x)}^3+\textcolor{#7F7706}{(-x)} =-3x^3-x =\textcolor{#0069FC}{-} (3\textcolor{#0069FC}{x}^3+\textcolor{#0069FC}{x})=\textcolor{#0069FC}{-}f(\textcolor{#0069FC}{x})$	f(\textcolor{sc_color_1}{-x}) =\textcolor{sc_color_1}{(-x)}^2 = x^2 \neq -x^2 = \textcolor{sc_color_2}{-} (\textcolor{sc_color_2}{x}^2) = \textcolor{sc_color_2}{-}f(\textcolor{sc_color_2}{x}) $f(\textcolor{#7F7706}{-x}) =\textcolor{#7F7706}{(-x)}^2 = x^2 \neq -x^2 = \textcolor{#0069FC}{-} (\textcolor{#0069FC}{x}^2) = \textcolor{#0069FC}{-}f(\textcolor{#0069FC}{x})$
punktsymmetrisch	NICHT punktsymmetrisch

Trick für Polynome

Möchtest du Polynome (also Funktionen der Form)

a_n\cdot x^n + \ldots + a_1\cdot x+a_0

a_n\cdot x^n + \ldots + a_1\cdot x+a_0

auf Symmetrie untersuchen, dann kannst du folgenden Trick verwenden:

Achsensymmetrie	Punktsymmetrie
Alle Hochzahlen sind gerade.	Alle Hochzahlen sind ungerade.
Beispiel: f(x) = x^\textcolor{sc_color_1}{2} + 3 = x^\textcolor{sc_color_1}{2} + 3x^\textcolor{sc_color_1}{0} $f(x) = x^\textcolor{#7F7706}{2} + 3 = x^\textcolor{#7F7706}{2} + 3x^\textcolor{#7F7706}{0}$	Beispiel: f(x) = 3x\textcolor{sc_color_1}{^3} + x = 3x^\textcolor{sc_color_1}{3} + x^\textcolor{sc_color_1}{1} $f(x) = 3x\textcolor{#7F7706}{^3} + x = 3x^\textcolor{#7F7706}{3} + x^\textcolor{#7F7706}{1}$

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Bereite dich mit Lernplänen besser auf Prüfungen vor.

Symmetrie Beispiele

Polynom - einfach

Aufgabenstellung

Überprüfe, ob die Funktion

f(x)=x^2

f(x)=x^2

achsensymmetrisch zur y $y$ -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Lösung

Es handelt sich um ein Polynom.

Alle Hochzahlen (x^\col[1]{2} $x^\col[1]{2}$ ) sind gerade.

Antwort

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y $y$ -Achse und NICHT punktsymmetrisch zum Ursprung.

Polynom - schwierig

Aufgabenstellung

Überprüfe, ob die Funktion

f(x)=x^3-1

f(x)=x^3-1

achsensymmetrisch zur y $y$ -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Lösung

Es handelt sich um ein Polynom.

Es gilt:

\begin{aligned} &x^3-1 \\ &= x^\col[1]{3} - 1x^\col[2]{0} \end{aligned}

\begin{aligned} &x^3-1 \\ &= x^\col[1]{3} - 1x^\col[2]{0} \end{aligned}

\col[1]{3} $\col[1]{3}$ ist ungerade und \col[2]{0} $\col[2]{0}$ ist gerade.

Antwort

Die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur y $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Sinus und Kosinus

Sinus	Kosinus
f(x) = \sin(x) $f(x) = \sin(x)$	f(x) = \cos(x) $f(x) = \cos(x)$
Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Es gilt (nach Definition): \sin(-x)=-\sin(x) $\sin(-x)=-\sin(x)$	Es gilt (nach Definition): \cos(-x)=\cos(x) $\cos(-x)=\cos(x)$
punktsymmetrisch	achsensymmetrisch

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