Monoton steigend	Monoton fallend
Beispiel: f(x) = 2x $f(x) = 2x$ Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Beispiel: f(x) = -2x $f(x) = -2x$ Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Steigung überall positiv	Steigung überall negativ
f'(x) = 2 >0 $f'(x) = 2 >0$	f'(x) = -2 <0 $f'(x) = -2 <0$

Beide Funktionen sind sogar streng monoton steigend/fallend, weil die Steigung immer positiv/negativ und nie Null ist.

Monotonie Definition

Hat eine Funktion in einem Intervall positive Steigung, dann ist sie dort monoton steigend.

Hat eine Funktion in einem Intervall negative Steigung, dann ist sie dort monoton fallend.

Unterschied Strenge Monotonie

Wenn die Steigung zwischendurch für einen längeren Zeitraum Null ist, ansonsten aber entweder positiv oder negativ, dann ist die Funktion nur monoton steigend oder monoton fallend.

Dabei ist zu beachten, dass ein einzelner Punkt, an dem die Steigung Null wird, die strenge Monotonie nicht ausschließt.

Zum Beispiel ist die Funktion f(x)=x^3 $f(x)=x^3$ streng monoton steigend.

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Die Steigung des Graphen wird zwar an der Stelle x=0 $x=0$ Null. Das siehst du auch mithilfe der Ableitung:

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 \geq 0\\ f'(0)&= 3\cdot 0 ^2 =0 \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 \geq 0\\ f'(0)&= 3\cdot 0 ^2 =0 \end{aligned}

Da es sich allerdings nur um einen einzelnen Wert, nämlich x=0 $x=0$ handelt, ist die Funktion f(x)=x^3 $f(x)=x^3$ trotzdem streng monoton steigend.

Monotonie auf einem Intervall

Eine Funktion kann insgesamt weder monoton steigend noch monoton fallend sein. Auf einen Intervall kann die Funktion aber teilweise monoton steigend oder monoton fallend sein.

Beispiel:

f(x) =x^2

f(x) =x^2

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Die Funktion fällt erst, wird dann 0 $0$ und steigt danach wieder.

Das kannst du an der ersten Ableitung ablesen.

f'(x) = 2x

f'(x) = 2x

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Die Steigung ist für alle negativen x $x$ -Werte negativ. Die Funktion ist also auf dem Intervall

(-\infty, 0)

(-\infty, 0)

streng monoton fallend.

Die Steigung ist für alle positiven x $x$ -Werte positiv. Die Funktion ist also auf dem Intervall

(0,\infty)

(0,\infty)

streng monoton steigend.

Bei x=0 $x=0$ ist die Steigung 0 $0$ .

Monotonie Beispiele

Monotonie - Lineare Funktion

Untersuche die Funktion

f(x) = -5x+5

f(x) = -5x+5

auf Monotonie!

Der Graph dazu sieht so aus:

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Die Steigung sieht überall negativ aus.

Zur Überprüfung bildest du die erste Ableitung.

f'(x) = -5 <0

f'(x) = -5 <0

Die Steigung ist überall negativ.

Die Funktion ist damit streng monoton fallend.

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Monotonie - Konstante Funktion

Untersuche die Funktion

f(x) = 3

f(x) = 3

auf Monotonie!

Der Graph dazu sieht so aus:

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Der Graph verläuft überall flach.

Die erste Ableitung lautet:

f'(x) = 0

f'(x) = 0

Die Steigung ist weder positiv noch negativ.

Da sie aber überall Null ist, kannst du sagen:

Die Funktion ist monoton steigend UND monoton fallend.

Merke: Konstante Funktionen haben überall die Steigung Null. Sie sind deswegen sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.

Monotonie - e-Funktion

Untersuche die Funktion

f(x) = \e^x

f(x) = \e^x

auf Monotonie!

Der Graph dazu sieht so aus:

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Die erste Ableitung lautet:

f'(x) = \e^x >0

f'(x) = \e^x >0

Die \e $\e$ -Funktion ist immer positiv.

Die Funktion ist streng monoton steigend.

Monotonie - Quadratische Funktion

Untersuche die Funktion

f(x) = -x^2+1

f(x) = -x^2+1

auf Monotonie!

Der Graph dazu sieht so aus:

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Die erste Ableitung lautet:

f'(x) = -2x

f'(x) = -2x

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Für alle negativen x $x$ -Werte ist die Steigung positiv.

Für alle positiven x $x$ -Werte ist die Steigung negativ.

Für x=0 $x=0$ ist die Steigung 0 $0$ .

D.h. die Funktion ist nicht monoton.

Auf bestimmten Intervallen gilt:

Intervall	Monotonie
(-\infty,0) $(-\infty,0)$	Streng monoton steigend
(0,\infty) $(0,\infty)$	Streng monoton fallend

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