Verhalten im Unendlichen

Arbeitest du in Mathe gerade zu dem Thema Analysis und beschäftigst dich mit Eigenschaften von Funktionen?

Dann wirst du auch das Unterthema des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen bekommen.

Wie du das Verhalten im Unendlichen für Funktionen bestimmen kannst, zeigt dir simpleclub!

Verhalten von Funktionen im Unendlichen einfach erklärt

Wenn du dir den Graphen einer Funktion anschaust, dann siehst du immer nur einen kleinen Ausschnitt der Funktion.

Wenn du jetzt immer weiter rauszoomst, kannst du immer mehr von dem Graphen sehen.

Wenn du theoretisch bis Unendlich rauszoomst, kannst du entweder erkennen:

• die Funktion steigt,

• die Funktion sinkt oder

• die Funktion ist konstant

Du betrachtest den Grenzwert der Funktion für x \rightarrow +\infty$x \rightarrow +\infty$ und x \rightarrow -\infty$x \rightarrow -\infty$. Du setzt also immer größere (positive und negative) Werte ein.

Dabei kann der Graph

• steigen, dann hat er das Grenzverhalten +\infty$+\infty$
• sinken, dann hat er das Grenzverhalten -\infty$-\infty$
• konstant werden, dann hat er das konstante Grenzverhalten K$K$

Verhalten von Funktionen im Unendlichen Definition

Verhalten von Funktionen im Unendlichen ganzrationale Funktionen

Bei ganzrationalen Funktionen der Form f(x) = a_nx^n + \ldots a_1x+a_0$f(x) = a_nx^n + \ldots a_1x+a_0$ entscheidet der Term \col[1]{a_nx^n}$\col[1]{a_nx^n}$ über das Verhalten im Unendlichen der Funktion.

Bestimme das Verhalten im Unendlichen für die folgende Funktion:

Da du eine ganzrationale Funktion gegeben hast, betrachte den Term mit der höchsten Potenz.

Das ist 2x^4$2x^4$.

Es gilt immer:

Und weil das Vorzeichen von a_n = 2$a_n = 2$ positiv ist, bleibt das Vorzeichen erhalten!

Betrachte nun x\rightarrow -\infty$x\rightarrow -\infty$:

Da der Exponent von x^4$x^4$ gerade ist, gilt:

Und weil das Vorzeichen von a_n = 2$a_n = 2$ positiv ist, bleibt das Vorzeichen erhalten!

Das kannst du auch am Graphen erkennen!

Gebrochenrationale Funktionen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion der Form

entscheiden der Grad des Zählerpolynoms und der Grad des Nennerpolynoms über das Verhalten im Unendlichen der Funktion.

Ist der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms, dann ist das Grenzverhalten konstant 0$0$.

Ist der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms, dann ist das Grenzverhalten konstant K$K$. Die Konstante K$K$ berechnet sich aus den Vorfaktoren der jeweils höchsten Potenz!

Ist der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms, dann ist das Grenzverhalten \pm\infty$\pm\infty$. Ob das Grenzverhalten +\infty$+\infty$ oder -\infty$-\infty$ ist, hängt ebenfalls von den Vorfaktoren der höchsten Potenz ab. Außerdem ist wichtig, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind!

Grad Zählerpolynom größer Grad Nennerpolynom Z(x) > N(x)$Z(x) > N(x)$

Hast du eine gebrochenrationale Funktion gegeben, bei der der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, dann liegt entweder ein Grenzverhalten von +\infty$+\infty$ oder -\infty$-\infty$ vor!

Den Grenzwert \lim\limits_{x\rightarrow \col[1]{+\infty}}$\lim\limits_{x\rightarrow \col[1]{+\infty}}$ kannst du noch einigermaßen leicht ablesen.

Für den Grenzwert \lim\limits_{x\rightarrow \col[1]{-\infty}}$\lim\limits_{x\rightarrow \col[1]{-\infty}}$ solltest du das Zählerpolynom und das Nennerpolynom dagegen einzeln bestimmen. Das ist nämlich leichter, als sich alle möglichen Kombinationen zu merken!

Du musst am Ende nur auf die Vorzeichen von \pm\infty$\pm\infty$ achten!

Haben Z(x)$Z(x)$ und N(x)$N(x)$ also den gleichen Grenzwert, hat \dfrac{Z(x)}{N(x)}$\dfrac{Z(x)}{N(x)}$ den Grenzwert +\infty$+\infty$.

Haben Z(x)$Z(x)$ und N(x)$N(x)$ also NICHT den gleichen Grenzwert, hat \dfrac{Z(x)}{N(x)}$\dfrac{Z(x)}{N(x)}$ den Grenzwert -\infty$-\infty$.

Beispiele dazu findest du unten!

Verhalten von Funktionen im Unendlichen Beispiele

Ganzrationale Funktion mit geradem Exponenten

Bestimme zur ganzrationalen Funktion

das Verhalten im Unendlichen!

Da du eine ganzrationale Funktion gegeben hast, betrachte den Term mit der höchsten Potenz.

Es gilt immer:

Und weil das Vorzeichen von a_n = 1$a_n = 1$ positiv ist, gilt für die gesamte Funktion:

Betrachte nun x \rightarrow -\infty$x \rightarrow -\infty$:

Da der Exponent von x^4$x^4$ gerade ist, gilt:

Und weil das Vorzeichen von a_n=1$a_n=1$ positiv ist, gilt für die gesamte Funktion:

Ganzrationale Funktion mit ungeradem Exponenten

Bestimme zur ganzrationalen Funktion

das Verhalten im Unendlichen!

Da du eine ganzrationale Funktion gegeben hast, betrachte den Term mit der höchsten Potenz.

Es gilt immer:

Und weil das Vorzeichen von a_n = (-1)$a_n = (-1)$ negativ ist, gilt für die gesamte Funktion:

Betrachte nun x \rightarrow -\infty$x \rightarrow -\infty$:

Da der Exponent von -x^{15}$-x^{15}$ ungerade ist, gilt:

Und weil das Vorzeichen von a_n=(-1)$a_n=(-1)$ negativ ist, gilt für die gesamte Funktion:

Gebrochenrationale Funktion Z(x) < N(x)

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

das Verhalten im Unendlichen!

Finde als Erstes die jeweils höchste Potenz!

Der Zählergrad 2$2$ ist kleiner als der Nennergrad 3$3$.

Darum gilt:

Gebrochenrationale Funktion Z(x) = N(x)

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

das Verhalten im Unendlichen!

Finde als Erstes die jeweils höchste Potenz!

Der Zählergrad 3$3$ ist gleich dem Nennergrad 3$3$.

Darum gilt:

Gebrochenrationale Funktion Z(x) > N(x)

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

das Verhalten im Unendlichen!

Finde als Erstes jeweils die höchste Potenz!

Der Zählergrad 3$3$ ist größer als der Nennergrad 2$2$.

Außerdem gilt:

Hieraus kannst du bereits das Grenzverhalten für x\rightarrow +\infty$x\rightarrow +\infty$ ablesen:

Für den anderen Grenzwert solltest du am besten das Zählerpolynom und das Nennerpolynom einzeln betrachten.

Weil im Zählerpolynom a_n = -3$a_n = -3$ negativ und n=3$n=3$ ungerade sind, gilt:

Weil im Nennerpolynom b_m = 5$b_m = 5$ positiv und m=2$m=2$ gerade sind, gilt:

Also gilt ingesamt:

Im letzten Schritt sind nur die Vorzeichen wichtig.

Wenn sie gleich sind, kommt +\infty$+\infty$ raus.

Gebrochenrationale Funktion Z(x) > N(x)

Bestimme zur gebrochenrationalen Funktion

das Verhalten im Unendlichen!

Finde als Erstes jeweils die höchste Potenz!

Der Zählergrad 4$4$ ist größer als der Nennergrad 2$2$.

Außerdem gilt:

Hieraus kannst du bereits das Grenzverhalten für x\rightarrow +\infty$x\rightarrow +\infty$ ablesen:

Für den anderen Grenzwert solltest du am besten das Zählerpolynom und das Nennerpolynom einzeln betrachten.

Weil im Zählerpolynom a_n = -5$a_n = -5$ negativ und n=4$n=4$ gerade sind, gilt:

Weil im Nennerpolynom b_m = 3$b_m = 3$ positiv und n=2$n=2$ gerade sind, gilt:

Also gilt ingesamt:

Du verrechnest also alle Vorzeichen miteinander und erhältst dann das negative Vorzeichen.