Punkt im Raum

Wenn du in Mathe gerade dreidimensionale Koordinatensysteme kennenlernst, werden dir auch Punkte im Raum begegnen.

Wie beschreibt man Punkte im Raum und wie zeichnet man sie ein?

simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt, wie es geht.


Koordinatensystem einfach erklärt

Die 3 Achsen

Das dreidimensionale Koordinatensystem besteht aus drei Achsen.

\rarr\rarr Es ist also eine Erweiterung des zweidimensionalen Koordinatensystems.

Die drei Achsen im dreidimensionalen Koordinatensystem werden häufig mit xxx (Achse nach vorne und hinten), mit yyy (Achse nach links und rechts) und mit zzz (Achse nach oben und unten) bezeichnet.

Häufig werden die drei Achsen aber auch mit x_1, x_2x1,x2x_1, x_2 und x_3x3x_3 benannt.

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Oktanten

Im zweidimensionalen Koordinatensystem gibt es 444 Quadranten.

Wie du in der Animation sehen kannst, wird das dreidimensionale Koordinatensystem in 888 Bereiche unterschieden - die sogenannten Oktanten. Wie diese Oktanten durchnummeriert sind, siehst du in der Animation.

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Erklärung

Punkt im Raum Definition

Ein Punkt im Raum erhält zusätzlich zur x- und y-Koordinate noch eine z-Koordinate. Du kannst die Koordinaten auch als x_1x1x_1, x_2x2x_2 und x_3x3x_3 bezeichnen, je nachdem, wie du dein Koordinatensystem beschriftet hast.

\implies P~(x|y|z) = P~(x_1|x_2|x_3)P(xyz)=P(x1x2x3)\implies P~(x|y|z) = P~(x_1|x_2|x_3)

Punkt im Raum Erklärung

Punkt einzeichnen

Um einen Punkt in ein 3D Koordinatensystem einzuzeichnen, gehst du schrittweise vor.

Schritt 1:
Vom Koordinatenursprung den jeweiligen Wert in x_1x1x_1- bzw. xxx- Richtung gehen.

Schritt 2:
Von dort aus den jeweiligen Wert in x_2x2x_2- bzw. yyy- Richtung gehen.

Schritt 3:
Von dort aus wiederum den jeweiligen Wert in x_3x3x_3 - bzw. zzz - Richtung gehen. Fertig!

Für den Punkt A (4|5|5)A(455)A (4|5|5) läuft das wie folgt ab:

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Punkt ablesen

Falls nur der Punkt als solches in einem 3D - Koordinatensystem eingezeichnet ist, kannst du die richtigen Koordinaten nicht direkt ablesen.

Grund dafür ist, dass du ein 3D - Koordinatensystem auf einer 2D - Oberfläche (dein Papier, Bildschirm, etc.) betrachtest und dadurch Informationen verloren gehen.

Ist aber ein Sachverhalt, wie zum Beispiel ein geometrischer Körper oder eine der drei Koordinaten, dazu gegeben, können wir die Punkte eindeutig ablesen.


Punkt im Raum Beispiele

Geometrischer Körper

Lies die Koordinaten von folgendem Würfel ab!

Auf der Grafik siehst du einen Würfel im dreidimensionalen Koordinatensystem mit der Seitenlänge 1.
  • A (1|0|0)A(100)A (1|0|0)
  • B (1|1|0)B(110)B (1|1|0)
  • C (1|1|1)C(111)C (1|1|1)
  • D (1|0|1)D(101)D (1|0|1)
  • E (0|0|0)E(000)E (0|0|0)
  • F (0|1|0)F(010)F (0|1|0)
  • G (0|1|1)G(011)G (0|1|1)
  • H (0|0|1)H(001)H (0|0|1)

Theoretisch könntest du nun zum Beispiel den Punkt CCC auch mit (0|0,5|0,5)(00,50,5)(0|0,5|0,5) ablesen. Dies würde aber die räumliche Darstellung des Würfels nicht erfüllen, denn dieser hat eine Seitenlänge von 1 \text{ LE}1 LE1 \text{ LE}.
\implies\implies Somit sind alle notierten Punkte für diesen Sachverhalt eindeutig.

Koordinate gegeben

Es sind die folgenden Punkte mit jeweils einer Koordinate gegeben.

  • A (1|y|z)A(1yz)A (1|y|z)
  • B (x|3|z)B(x3z)B (x|3|z)
  • C (x|y|-2)C(xy2)C (x|y|-2)
  • D (2|y|z)D(2yz)D (2|y|z)
  • E (x|-4|z)E(x4z)E (x|-4|z)
Auf der Grafik siehst du die Punkte A, B, C, D und E eingezeichnet in das dreidimensionale Koordinatensystem.

Lies die Punkte mit Hilfe der obigen Informationen ab!

  • A (1|2|-1)A(121)A (1|2|-1)
  • B (1|3|2)B(132)B (1|3|2)
  • C (3|1|-2)C(312)C (3|1|-2)
  • D (2|3|1)D(231)D (2|3|1)
  • E (-1|-4|1)E(141)E (-1|-4|1)

Zusammenfassung

Ein dreidimensionales Koordinatensystem besteht aus drei Achsen (x,yx,yx,y und zzz). Es wird in acht Oktanten unterteilt.

Um Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzuzeichnen, gehst du zunächst entlang der xxx-Achse, anschließend den entsprechenden Weg in yyy-Richtung und zum Schluss den entsprechenden Weg in zzz-Richtung.

Um Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem eindeutig zu bestimmen, muss

  • entweder mindestens eine Koordinate bekannt sein.
  • oder ein Sachverhalt, wie z.B. ein geometrischer Körper, gegeben sein.

Ansonsten kann man bei der Bestimmung der Koordinaten zu verschiedenen Lösungen kommen, weil du ein 3D - Koordinatensystem auf einer 2D - Oberfläche (dein Papier, Bildschirm, etc.) betrachtest und dadurch Informationen verloren gehen.

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