Punkt im Raum

Wenn du in Mathe gerade dreidimensionale Koordinatensysteme kennenlernst, werden dir auch Punkte im Raum begegnen.

Wie beschreibt man Punkte im Raum und wie zeichnet man sie ein?

simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt, wie es geht.

Koordinatensystem einfach erklärt

Die 3 Achsen

Das dreidimensionale Koordinatensystem besteht aus drei Achsen.

\rarr$\rarr$ Es ist also eine Erweiterung des zweidimensionalen Koordinatensystems.

Die drei Achsen im dreidimensionalen Koordinatensystem werden häufig mit x$x$ (Achse nach vorne und hinten), mit y$y$ (Achse nach links und rechts) und mit z$z$ (Achse nach oben und unten) bezeichnet.

Häufig werden die drei Achsen aber auch mit x_1, x_2$x_1, x_2$ und x_3$x_3$ benannt.

Oktanten

Im zweidimensionalen Koordinatensystem gibt es 4$4$ Quadranten.

Wie du in der Animation sehen kannst, wird das dreidimensionale Koordinatensystem in 8$8$ Bereiche unterschieden - die sogenannten Oktanten. Wie diese Oktanten durchnummeriert sind, siehst du in der Animation.

Erklärung

Punkt im Raum Definition

Punkt im Raum Erklärung

Punkt einzeichnen

Um einen Punkt in ein 3D Koordinatensystem einzuzeichnen, gehst du schrittweise vor.

Schritt 1:
Vom Koordinatenursprung den jeweiligen Wert in x_1$x_1$- bzw. x$x$- Richtung gehen.

Schritt 2:
Von dort aus den jeweiligen Wert in x_2$x_2$- bzw. y$y$- Richtung gehen.

Schritt 3:
Von dort aus wiederum den jeweiligen Wert in x_3$x_3$ - bzw. z$z$ - Richtung gehen. Fertig!

Für den Punkt A (4|5|5)$A (4|5|5)$ läuft das wie folgt ab:

Punkt ablesen

Falls nur der Punkt als solches in einem 3D - Koordinatensystem eingezeichnet ist, kannst du die richtigen Koordinaten nicht direkt ablesen.

Grund dafür ist, dass du ein 3D - Koordinatensystem auf einer 2D - Oberfläche (dein Papier, Bildschirm, etc.) betrachtest und dadurch Informationen verloren gehen.

Ist aber ein Sachverhalt, wie zum Beispiel ein geometrischer Körper oder eine der drei Koordinaten, dazu gegeben, können wir die Punkte eindeutig ablesen.

Punkt im Raum Beispiele

Geometrischer Körper

Lies die Koordinaten von folgendem Würfel ab!

• A (1|0|0)$A (1|0|0)$
• B (1|1|0)$B (1|1|0)$
• C (1|1|1)$C (1|1|1)$
• D (1|0|1)$D (1|0|1)$
• E (0|0|0)$E (0|0|0)$
• F (0|1|0)$F (0|1|0)$
• G (0|1|1)$G (0|1|1)$
• H (0|0|1)$H (0|0|1)$

Theoretisch könntest du nun zum Beispiel den Punkt C$C$ auch mit (0|0,5|0,5)$(0|0,5|0,5)$ ablesen. Dies würde aber die räumliche Darstellung des Würfels nicht erfüllen, denn dieser hat eine Seitenlänge von 1 \text{ LE}$1 \text{ LE}$.
\implies$\implies$ Somit sind alle notierten Punkte für diesen Sachverhalt eindeutig.

Koordinate gegeben

Es sind die folgenden Punkte mit jeweils einer Koordinate gegeben.

• A (1|y|z)$A (1|y|z)$
• B (x|3|z)$B (x|3|z)$
• C (x|y|-2)$C (x|y|-2)$
• D (2|y|z)$D (2|y|z)$
• E (x|-4|z)$E (x|-4|z)$

Lies die Punkte mit Hilfe der obigen Informationen ab!

• A (1|2|-1)$A (1|2|-1)$
• B (1|3|2)$B (1|3|2)$
• C (3|1|-2)$C (3|1|-2)$
• D (2|3|1)$D (2|3|1)$
• E (-1|-4|1)$E (-1|-4|1)$

Zusammenfassung

Ein dreidimensionales Koordinatensystem besteht aus drei Achsen (x,y$x,y$ und z$z$). Es wird in acht Oktanten unterteilt.

Um Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzuzeichnen, gehst du zunächst entlang der x$x$-Achse, anschließend den entsprechenden Weg in y$y$-Richtung und zum Schluss den entsprechenden Weg in z$z$-Richtung.

Um Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem eindeutig zu bestimmen, muss

• entweder mindestens eine Koordinate bekannt sein.
• oder ein Sachverhalt, wie z.B. ein geometrischer Körper, gegeben sein.

Ansonsten kann man bei der Bestimmung der Koordinaten zu verschiedenen Lösungen kommen, weil du ein 3D - Koordinatensystem auf einer 2D - Oberfläche (dein Papier, Bildschirm, etc.) betrachtest und dadurch Informationen verloren gehen.