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Varianz & Standardabweichung

Du hast in Mathe gerade das Thema Stochastik?

Dann werden dir zu Beginn der Einheit sicherlich die Grundbegriffe Varianz und Standardabweichung begegnen.

Was es mit diesen beiden Begriffen auf sich hat, zeigt dir simpleclub.

Varianz und Standardabweichung einfach erklärt

Die Varianz (Var) gibt dir an, wie sehr die Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen.

Ist die Varianz groß, so streuen die Werte eher stark um den Erwartungswert.
Ist die Varianz gering, so streuen die Werte eher wenig um den Erwartungswert.

Die Standardabweichung \sigma $\sigma$ ist die Wurzel aus der Varianz. Sie gibt ebenfalls die Abweichung der Ergebnisse vom Erwartungswert an, aber in einer anderen Größenordnung. Auch hier gilt:

Ist die Standardabweichung groß, so streuen die Werte eher stark um den Erwartungswert.
Ist die Standardabweichung gering, so streuen die Werte eher wenig um den Erwartungswert.

Varianz Definition

Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Im Allgemeinen berechnest du die Varianz wie folgt:

\textit{Var(X)} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i

\textit{Var(X)} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i

\mu $\mu$ ist der Erwartungswert der Zufallsgröße. Dieser wird auch oft mit E(X) $E(X)$ angegeben.
(x_i - \mu)^2 $(x_i - \mu)^2$ ist die (quadrierte) Abweichung des Ergebnisses x $x$ vom Erwartungswert.

p_i $p_i$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert x $x$ annimmt.

n $n$ ist die Anzahl an Werten der Wahrscheinlichkeitsverteilung
\Sigma $\Sigma$ ist ein Summenzeichen. Dabei ist der Index i $i$ ein Laufindex. Das heißt, du fängst bei i=1 $i=1$ an und berechnest einmal die Rechnung hinter dem \Sigma $\Sigma$ . Anschließend machst du ein + $+$ und erhöhst i $i$ um 1 $1$ . Nun rechnest du wieder den Term aus und zählst das Ergebnis dazu. Das machst du so lange, bis du bei n $n$ ankommst.

Du musst also n $n$ - mal (x_i - E(X))^2 \cdot p_i $(x_i - E(X))^2 \cdot p_i$ aufsummieren.

Da bei der Varianz immer quadrierte Einheiten herauskommen, benutzt man häufiger die Standardabweichung um die Abweichung von dem Erwartungswert anzugeben.

Standardabweichung Definition

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und gibt die mittlere einfache Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert an.

Die Standardabweichung \sigma $\sigma$ berechnest du, indem du die Wurzel der Varianz ziehst:

\sigma = \sqrt{Var(X)}

\sigma = \sqrt{Var(X)}

Berechnung der Varianz

Zu folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung ist der Erwartungswert \mu=1 $\mu=1$ gegeben.

x_i\in X $x_i\in X$	p(x_i) $p(x_i)$
0 $0$	0,5 $0,5$
1 $1$	0,4 $0,4$
6 $6$	0,1 $0,1$

Mithilfe obiger Formel kannst du die Varianz berechnen. Vergiss bei der Eingabe in den Taschenrechner das Quadrat nicht!

\begin{aligned} Var(x)&= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i\\ Var(x) &= (0-1)^2\cdot 0,5+(1-1)^2 \cdot 0,4 + (6-1)^2\cdot 0,1\\ &=1^2\cdot 0,5+0^2\cdot 0,4 +5^2\cdot 0,1\\ &=\underline{\underline{3}} \end{aligned}

\begin{aligned} Var(x)&= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i\\ Var(x) &= (0-1)^2\cdot 0,5+(1-1)^2 \cdot 0,4 + (6-1)^2\cdot 0,1\\ &=1^2\cdot 0,5+0^2\cdot 0,4 +5^2\cdot 0,1\\ &=\underline{\underline{3}} \end{aligned}

Berechnung der Standardabweichung

Sobald du die Varianz berechnet hast, ist es einfach die Standardabweichung zu berechnen. Du musst nur noch die Wurzel ziehen.

\implies \sigma =\sqrt{Var(X)} =\sqrt{3}\approx 1,73

\implies \sigma =\sqrt{Var(X)} =\sqrt{3}\approx 1,73

Bedeutung der Varianz und der Standardabweichung

Gegeben sei im Vergleich zu obiger Wahrscheinlichkeitsverteilung nun die Folgende:

x_i\in X $x_i\in X$	p(x_i) $p(x_i)$
0,5 $0,5$	0,4 $0,4$
1 $1$	0,2 $0,2$
1,5 $1,5$	0,4 $0,4$

Auch diese Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt den Erwartungswert \mu = 1 $\mu = 1$ , denn:

\begin{aligned} \implies \mu &= 0,5\cdot 0,4+ 1\cdot0,2+1,5\cdot 0,4\\&=1 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies \mu &= 0,5\cdot 0,4+ 1\cdot0,2+1,5\cdot 0,4\\&=1 \end{aligned}

Auch für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du die Varianz und die Standardabweichung berechnen.

\begin{aligned} Var(x) &= (0,5-1)^2\cdot 0,4+(1-1)^2 \cdot 0,2 + (1,5-1)^2\cdot 0,4\\ &=(-0,5)^2\cdot 0,4+0^2\cdot 0,2 +(0,5)^2\cdot 0,4\\ &=\underline{\underline{0,2}} \end{aligned}

\begin{aligned} Var(x) &= (0,5-1)^2\cdot 0,4+(1-1)^2 \cdot 0,2 + (1,5-1)^2\cdot 0,4\\ &=(-0,5)^2\cdot 0,4+0^2\cdot 0,2 +(0,5)^2\cdot 0,4\\ &=\underline{\underline{0,2}} \end{aligned}

\sigma = \sqrt{Var(X)}=\sqrt{0,2}\approx \underline{\underline{0,45}}

\sigma = \sqrt{Var(X)}=\sqrt{0,2}\approx \underline{\underline{0,45}}

Du siehst, dass die Varianz und die Standardabweichung bei der zweiten Wahrscheinlichkeitsverteilung deutlich geringer sind.

Beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben den Erwartungswert \mu =1 $\mu =1$ .

Vergleichst du aber, wie stark die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen, dann ist das bei der zweiten Wahrscheinlichkeitsverteilung deutlich geringer. Darum sind auch Varianz und Standardabweichung deutlich geringer.

Graphische Veranschaulichung

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch als kontinuierliche Verteilungen vorliegen. Diese eignen sich besonders gut, um die Varianz und die Standardabweichung anschaulich zu verdeutlichen.

In folgender Grafik sind verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben. Der Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist immer da, wo der Graph die Spitze hat.

Du kannst sehen, je größer die Varianz, hier durch \sigma ^2 $\sigma ^2$ dargestellt, desto breiter ist der Graph. Die Breite des Graphen zeigt an, dass die Werte stärker um den Erwartungswert streuen.

Auf der Grafik sind 4 Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu sehen mit jeweils unterschiedlichen Erwartungswerten und unterschiedlicher Varianz. — Varianz von Zufallsvariablen

Beispiele Varianz & Standardabweichung

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Varianzberechnung

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Erwartungswert \mu = 5 $\mu = 5$ und Standardabweichung \sigma = 2 $\sigma = 2$ .

Berechne die Varianz.

Lösung

Es gilt:

\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{Var (X)}\ \ \ \ |\square^2\\ \sigma ^2&= Var(X) \end{aligned}

\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{Var (X)}\ \ \ \ |\square^2\\ \sigma ^2&= Var(X) \end{aligned}

Du kannst also einfach durch Quadrieren der Standardabweichung die Varianz berechnen.

\implies Var(X)=\sigma^2 = 2^2=\underline{\underline{4}}

\implies Var(X)=\sigma^2 = 2^2=\underline{\underline{4}}

Die Varianz ist also 4 $4$ .

Varianz und Standardabweichung Beispiel

Jan und du werft eine Münze. Bei Kopf bekommst du 10€ $10€$ und Jan verliert 10€ $10€$ , bei Zahl bekommt er 10€ $10€$ und du verlierst 10€ $10€$ .

Berechne die Varianz und die Standardabweichung des Wurfs.

Lösung

Es gibt also zwei Ereignisse, die du beachten musst:

Bei Kopf gewinnst du 10 ~€ : x_1 = 10~ € $10 ~€ : x_1 = 10~ €$

Bei Zahl verlierst du 10~€: x_2 = -10~€ $10~€: x_2 = -10~€$

Die Wahrscheinlichkeit p_i $p_i$ ist für beide Ereignisse gleich: p_1 = p_2 = \frac{1}{2} $p_1 = p_2 = \frac{1}{2}$ .

Nun berechnest du als Erstes den Erwartungswert E(X) $E(X)$ :

E(X) = 10€ \cdot \frac{1}{2} + (-10€) \cdot \frac{1}{2} = 0€

E(X) = 10€ \cdot \frac{1}{2} + (-10€) \cdot \frac{1}{2} = 0€

Dann kannst du die Varianz mithilfe der Formel berechnen:

\begin{aligned}\textit{Var(X)} &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i \\ &=(10 €-0€)^2 \cdot 0,5 + (-10€-0€)^2 \cdot 0,5 \\ &= \underline{\underline{100€^2}} \end{aligned}

\begin{aligned}\textit{Var(X)} &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i \\ &=(10 €-0€)^2 \cdot 0,5 + (-10€-0€)^2 \cdot 0,5 \\ &= \underline{\underline{100€^2}} \end{aligned}

Zuletzt berechnest du die Standardabweichung:

\sigma = \sqrt{100€^2} = \underline{\underline{10€}}

\sigma = \sqrt{100€^2} = \underline{\underline{10€}}

Die Varianz beträgt also 100€^2 $100€^2$ die Standardabweichung beträgt 10€ $10€$ .

Wie du sehen kannst, ist die Varianz in der Einheit €^2 $€^2$ angegeben. Das hat anschaulich keine wirkliche Bedeutung. Es kommt daher, dass die Varianz die quadrierte Standardabweichung ist und dadurch ist auch die Einheit entsprechend quadriert.

Glücksrad

Gegeben sei folgendes Glücksrad:

Die Sektoren besitzen die folgenden Winkel:

\begin{aligned} \text{Gelb}&=30°\\ \text{Blau}&=150°\\ \text{Rot}&=180° \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Gelb}&=30°\\ \text{Blau}&=150°\\ \text{Rot}&=180° \end{aligned}

Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für das einmalige Drehen des Glücksrads.

Lösung

Aus der Winkelgröße kannst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Sektoren berechnen:

\begin{aligned} \text{Gelb}&=\frac{30°}{360°}=\frac{1}{12}\\[3mm] \text{Blau}&=\frac{150°}{360°}=\frac{5}{12}\\[3mm] \text{Rot}&=\frac{180°}{360°}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Gelb}&=\frac{30°}{360°}=\frac{1}{12}\\[3mm] \text{Blau}&=\frac{150°}{360°}=\frac{5}{12}\\[3mm] \text{Rot}&=\frac{180°}{360°}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \end{aligned}

So kannst du folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen:

x_i\in X $x_i\in X$ : Gewinn/ Verlust	p(x_i) $p(x_i)$
-2€ $-2€$	\frac{1}{2} $\frac{1}{2}$
1€ $1€$	\frac{5}{12} $\frac{5}{12}$
6€ $6€$	\frac{1}{12} $\frac{1}{12}$

Nun kannst du die gesuchten Größen wie gewohnt berechnen:

\begin{aligned} E(X)=\mu&= -2€\cdot \frac{1}{2}+1€\cdot \frac{5}{12}+6€\cdot \frac{1}{12}\\ &\approx\underline{\underline{-0,083€}} \end{aligned}

\begin{aligned} E(X)=\mu&= -2€\cdot \frac{1}{2}+1€\cdot \frac{5}{12}+6€\cdot \frac{1}{12}\\ &\approx\underline{\underline{-0,083€}} \end{aligned}

Bei der Varianzberechnung im Taschenrechner musst du vorsichtig sein, da man sich hier leicht vertippt.

\begin{aligned} Var(x) &= (-2-(-0,083))^2\cdot \frac{1}{2}+(1-(-0,083))^2 \cdot \frac{5}{12} + (6-(-0,083))^2\cdot \frac{1}{12}\\ &=(-1,917)^2\cdot \frac{1}{2}+(1,083)^2\cdot \frac{5}{12} +6,083^2\cdot \frac{1}{12}\\ &\approx \underline{\underline{1,73€^2}} \end{aligned}

\begin{aligned} Var(x) &= (-2-(-0,083))^2\cdot \frac{1}{2}+(1-(-0,083))^2 \cdot \frac{5}{12} + (6-(-0,083))^2\cdot \frac{1}{12}\\ &=(-1,917)^2\cdot \frac{1}{2}+(1,083)^2\cdot \frac{5}{12} +6,083^2\cdot \frac{1}{12}\\ &\approx \underline{\underline{1,73€^2}} \end{aligned}

Aufgrund der Übersichtlichkeit haben wir hier in der Rechnung auf das € $€$ - Symbol verzichtet. Aus dem Sachzusammenhang wird wieder klar, dass es sich hier um €^2 $€^2$ handeln muss.

Die Standardabweichung ist wieder die Wurzel aus der Varianz.

\sigma = \sqrt{Var(X)}=\sqrt{5,97€^2}\approx\underline{\underline{2,44€}}

\sigma = \sqrt{Var(X)}=\sqrt{5,97€^2}\approx\underline{\underline{2,44€}}

Zusammenfassung

Varianz und Standardabweichung sind jeweils ein Maß, um die Streuung der Ergebnisse um den Erwartungswert anzugeben.

Für die Berechnung gilt:

\begin{aligned} Var(X)&=\sum_{i=0}^n(x_i-\mu)^2\cdot p(x_i)\\[3mm] \sigma&=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\sum_{i=0}^n(x_i-\mu)^2\cdot p(x_i)} \end{aligned}

\begin{aligned} Var(X)&=\sum_{i=0}^n(x_i-\mu)^2\cdot p(x_i)\\[3mm] \sigma&=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\sum_{i=0}^n(x_i-\mu)^2\cdot p(x_i)} \end{aligned}

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