Uneigentliche Integrale

Ein uneigentliches Integral beschreibt eine Fläche, welche ins Unendliche geht, aber dennoch einen endlichen Wert besitzt.


Erklärung

Uneigentliche Integrale beschreiben Flächen, die bis ins Unendliche reichen und dennoch einen endlichen Wert besitzen können.

Flächen, die bis Unendliche reichen, können hierbei auf zwei verschiedene Weisen entstehen:

  • Mindestens eine der beiden Integrationsgrenzen ist unendlich ( +\infty++\infty oder - \infty- \infty)

  • Die zu integrierende Funktion f(x)f(x)f(x) (auch Integrand) ist im Integrationsintervall unbeschränkt

Nimmt das zugehörige Integral der scheinbar unendlichen Fläche einen endlichen Wert (also nicht unendlich) an, so sagst du:

\implies\implies "Das uneigentliche Integral existiert."

Ist das zugehörige Integral der betrachteten Fläche allerdings nicht endlich, so sagst du:

\implies\implies "Das uneigentliche Integral existiert nicht."

Fall 1: Mindestens eine Integrationsgrenze ist \large \pm \infty±\large \pm \infty

Das Integral kann unendlich groß werden, wenn mindestens eine der beiden Intervallgrenzen ins (minus) Unendliche reicht, da die Fläche nun theoretisch unendlich groß werden kann.

Hier siehst du einmal die beiden Varianten, bei denen jeweils eine Integrationsgrenze unbeschränkt ist:

Obere Grenze ist unbeschränkt:

\int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{\infty}} f(x) \ \text{d}x = \lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x af(x) dx=limb+abf(x) dx\int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{\infty}} f(x) \ \text{d}x = \lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x

Untere Grenze ist unbeschränkt:

\int \limits_{\col[1]{-\infty}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x = \lim\limits_ {\col[1]{a}\ \to \ \col[1]{-\infty}} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x bf(x) dx=limaabf(x) dx\int \limits_{\col[1]{-\infty}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x = \lim\limits_ {\col[1]{a}\ \to \ \col[1]{-\infty}} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x

Es kann auch aber sein, dass nicht nur eine, sondern beide Integrationsgrenzen unbeschränkt (also \pm \infty)±)\pm \infty) sind.

Auch in diesem Fall kann ein uneigentliches Integral, also eine Fläche mit einem endlichen Wert existieren.

Ein Beispiel wären zum Beispiel Dichtefunktionen aus der Stochastik. Dichtefunktionen haben die Eigenschaft, dass die Fläche unter der Dichtefunktion immer 111 und damit endlich ist.

Wenn man bei anderen Funktionen überprüfen möchte, ob es sich um ein uneigentliches Integral handelt, erstellt man zwei Teilintegrale.

Aber keine Sorge, das wirst du nur im Mathematik-Studium kennenlernen.

Beide Grenzen sind unbeschränkt:

\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{-\infty}}^{\col[2]{+\infty}} f(x) \ \text{d}x &= \int \limits_{\col[1]{-\infty}}^{\col[2]{\col[3]{c}}} f(x) \ \text{d}x+ \int \limits_{\col[3]{c}}^{\col[2]{+\infty}} f(x) \ \text{d}x\\ &= \lim\limits_ {\col[1]{a}\ \to \ \col[1]{-\infty}} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{c}} f(x) \ \text{d}x + \lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \int \limits_{\col[3]{c}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \end{aligned}+f(x) dx=cf(x) dx+c+f(x) dx=limaacf(x) dx+limb+cbf(x) dx\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{-\infty}}^{\col[2]{+\infty}} f(x) \ \text{d}x &= \int \limits_{\col[1]{-\infty}}^{\col[2]{\col[3]{c}}} f(x) \ \text{d}x+ \int \limits_{\col[3]{c}}^{\col[2]{+\infty}} f(x) \ \text{d}x\\ &= \lim\limits_ {\col[1]{a}\ \to \ \col[1]{-\infty}} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{c}} f(x) \ \text{d}x + \lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \int \limits_{\col[3]{c}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \end{aligned}

Fall 2: Funktion \large f(x)f(x)\large f(x) im Intervall \large [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b]\large [\col[1]{a};\col[2]{b}] unbeschränkt

Das Integral kann auch unendlich groß werden, wenn die Funktion f(x)f(x)f(x) im Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}] unbeschränkt ist und somit ins (minus) Unendliche geht.

Hier ein Beispiel, wo die Funktion f (x)f(x)f (x) Richtung \col[2]{x=0}x=0\col[2]{x=0} ins Unendliche geht:

\int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{0}} \frac{1}{x} \ \text{d}x = \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to\ \col[2]{0} } \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x} \ \text{d}xa01x dx=limb0ab1x dx\int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{0}} \frac{1}{x} \ \text{d}x = \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to\ \col[2]{0} } \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x} \ \text{d}x

Im Folgenden erfährst du, wie du überprüfen kannst, ob es sich um ein uneigentliches Integral handelt:

Vorgehensweise

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Variable einsetzen

Zunächst schaust du einmal, welche Intervallgrenze dafür sorgt, dass die betrachtete Fläche dadurch unendlich groß werden kann:

  • Fall 1: Intervallgrenze ist \pm \infty±\pm \infty

  • Fall 2: Funktion f(x)f(x)f(x) im Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}] unbeschränkt

An dieser Stelle ersetzt du die jeweilige Integralgrenze durch eine Variable.

Beispiele:

\begin{aligned} \quad \bold{\cdot} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} x^2 \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^2 \ \text{d}x &\quad \longleftarrow \col[2]{+\infty}\ \textsf{durch} \ \col[2]{b} \ \textsf{ersetzt}\\[2mm] \quad \bold{\cdot} \int \limits_{\col[1]{-10}}^{\col[2]{0}} \frac{1}{x} \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{-10}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x} \ \text{d}x &\quad \longleftarrow \col[2]{0}\ \textsf{durch} \ \col[2]{b} \ \textsf{ersetzt} \end{aligned}1+x2 dx=1bx2 dx+durchbersetzt1001x dx=10b1x dx0durchbersetzt\begin{aligned} \quad \bold{\cdot} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} x^2 \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^2 \ \text{d}x &\quad \longleftarrow \col[2]{+\infty}\ \textsf{durch} \ \col[2]{b} \ \textsf{ersetzt}\\[2mm] \quad \bold{\cdot} \int \limits_{\col[1]{-10}}^{\col[2]{0}} \frac{1}{x} \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{-10}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x} \ \text{d}x &\quad \longleftarrow \col[2]{0}\ \textsf{durch} \ \col[2]{b} \ \textsf{ersetzt} \end{aligned}

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Integral berechnen

Nun integrierst du ganz normal, wie du es bereits gewohnt bist. Die Variable, welche du im ersten Schritt eingesetzt hast, kannst du als ganz normale Zahl betrachten.

Beispiel 1:

\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^2 \ \text{d}x &= \left[ \frac{1}{3}x^3\right]_\col[1]{1}^\col[2]{b} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\col[2]{b}^3 - \left( \frac{1}{3}\col[1]{1}^3 \right) \\[2mm] &= \frac{1}{3}\col[2]{b}^3 - \frac{1}{3} \end{aligned}\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^2 \ \text{d}x &= \left[ \frac{1}{3}x^3\right]_\col[1]{1}^\col[2]{b} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\col[2]{b}^3 - \left( \frac{1}{3}\col[1]{1}^3 \right) \\[2mm] &= \frac{1}{3}\col[2]{b}^3 - \frac{1}{3} \end{aligned}

Beispiel 2:

\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{-10}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x} \ \text{d}x &= \left[ \ln(x)\right]_\col[1]{10}^\col[2]{b} \\[2mm] &= \ln(\col[2]{b}) - \left( \ln(\col[1]{10} )\right) \end{aligned}\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{-10}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x} \ \text{d}x &= \left[ \ln(x)\right]_\col[1]{10}^\col[2]{b} \\[2mm] &= \ln(\col[2]{b}) - \left( \ln(\col[1]{10} )\right) \end{aligned}

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Grenzwert betrachten

Im letzten Schritt betrachtest du nun von dem Integral (aus dem zweiten Schritt) den Grenzwert. Hierzu lässt du mit dem Limes die Variable gegen den Zahlenwert laufen, welchen du zuvor gegen die Variable ersetzt hast.

Beispiele:

  • Soll die Variable \col[1]{a}a\col[1]{a} für die Integralgrenze \col[1]{-\infty}\col[1]{-\infty} stehen, musst du nun einfach den Integralterm gegen \col[1]{- \infty}\col[1]{- \infty} laufen. Du schreibst \lim\limits_ {\col[1]{a}\ \to\ \col[1]{-\infty}}\\lim\limits_ {\col[1]{a}\ \to\ \col[1]{-\infty}}\.
  • Hast du die Integralgrenze \col[2]{+ \infty}+\col[2]{+ \infty} anfangs durch die Variable \col[2]{b}b\col[2]{b} ersetzt, lässt du den Integralterm gegen \col[2]{+ \infty}+\col[2]{+ \infty} laufen. Du schreibst \lim\limits_ {\col[2]{b}\ \to\ \col[2]{+\infty}}\\lim\limits_ {\col[2]{b}\ \to\ \col[2]{+\infty}}\.

Nun gibt es zwei verschiedene Fälle:

1. Grenzwert existiert

Erhältst du einen endlichen Grenzwert, so ist auch das Integral endlich. In diesem Fall ist die Fläche also nicht unendlich groß (auch, wenn es optisch so aussieht).

\implies\implies Das uneigentliche Integral existiert.

Beispiel:

\begin{aligned} &\lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{-\frac{1}{\col[2]{b}^2}}_{\to\ 0} -5 = \lsg{-5} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert endlich} \\ &\implies \textsf{uneigentliches Integral} \end{aligned}limb+1b205=5GrenzwertendlichuneigentlichesIntegral\begin{aligned} &\lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{-\frac{1}{\col[2]{b}^2}}_{\to\ 0} -5 = \lsg{-5} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert endlich} \\ &\implies \textsf{uneigentliches Integral} \end{aligned}

2. Grenzwert existiert nicht

Erhältst du hingegen einen unendlichen Grenzwert, so ist die Integralfläche unendlich groß.

\implies\implies Das uneigentliche Integral existiert nicht.

Beispiel 1:

\begin{aligned} & \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{\frac{1}{3}\col[2]{b}^3}_{\to\ +\infty} - \frac{1}{3} = \lsg{+\infty} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Kein uneigentliches Integral} \end{aligned}limb+13b3+13=+GrenzwertunendlichKeinuneigentlichesIntegral\begin{aligned} & \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{\frac{1}{3}\col[2]{b}^3}_{\to\ +\infty} - \frac{1}{3} = \lsg{+\infty} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Kein uneigentliches Integral} \end{aligned}

Beispiel 2:

\begin{aligned} & \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{\ln(\col[2]{b})}_{\to+\infty} - \left( \ln(\col[1]{10} )\right) = \lsg{+\infty} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Uneigentliches Integral existiert nicht} \end{aligned}limb+ln(b)+(ln(10))=+GrenzwertunendlichUneigentlichesIntegralexistiertnicht\begin{aligned} & \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{\ln(\col[2]{b})}_{\to+\infty} - \left( \ln(\col[1]{10} )\right) = \lsg{+\infty} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Uneigentliches Integral existiert nicht} \end{aligned}

Beispiele

Uneigentliches Integral existiert

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion

f(x)=\frac{1}{x^2}f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2}

Handelt es sich bei der Fläche unter der Kurve der Funktion f(x)f(x)f(x) von \col[1]{a = 1}a=1\col[1]{a = 1} bis \col[2]{b=+\infty}b=+\col[2]{b=+\infty} um ein uneigentliches Integral?

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Variable einsetzen

\int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} \frac{1}{x^2} \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x^2} \ \text{d}x 1+1x2 dx=1b1x2 dx\int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} \frac{1}{x^2} \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x^2} \ \text{d}x

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Integral berechnen

Nun rechnest du wie gewohnt das Integral aus:

\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x^2} \ \text{d}x &= \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^{-2} \ \text{d}x \\[2mm] &= \left[ -x^{-1}\right]_\col[1]{1}^\col[2]{b} \\[2mm] &= -\col[2]{b}^{-1} - \left( -\col[1]{1}^{-1} \right) \\[2mm] &= -\frac{1}{\col[2]{b}} + \frac{1}{\col[1]{1}} \\[2mm] &= -\frac{1}{\col[2]{b}} +1 \end{aligned}\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} \frac{1}{x^2} \ \text{d}x &= \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^{-2} \ \text{d}x \\[2mm] &= \left[ -x^{-1}\right]_\col[1]{1}^\col[2]{b} \\[2mm] &= -\col[2]{b}^{-1} - \left( -\col[1]{1}^{-1} \right) \\[2mm] &= -\frac{1}{\col[2]{b}} + \frac{1}{\col[1]{1}} \\[2mm] &= -\frac{1}{\col[2]{b}} +1 \end{aligned}

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Grenzwert betrachten

Nun betrachtest du von dem Term aus dem zweiten Schritt den Grenzwert. Da \col[2]{b}b\col[2]{b} eigentlich für \col[2]{+\infty}+\col[2]{+\infty} steht, lässt du nun \col[2]{b}b\col[2]{b} gegen \col[2]{+\infty}+\col[2]{+\infty} laufen und schaust, was mit dem Term passiert:

\begin{aligned} &\lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{-\frac{1}{\col[2]{b}}}_{\to\ 0} +1 = \lsg{1} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert endlich} \\ &\implies \textsf{uneigentliches Integral existiert} \end{aligned}limb+1b0+1=1GrenzwertendlichuneigentlichesIntegralexistiert\begin{aligned} &\lim_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{-\frac{1}{\col[2]{b}}}_{\to\ 0} +1 = \lsg{1} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert endlich} \\ &\implies \textsf{uneigentliches Integral existiert} \end{aligned}

Der Grenzwert ist endlich. Somit handelt es sich um ein uneigentliches Integral.

Uneigentliches Integral existiert nicht

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

f(x)=x^4f(x)=x4f(x)=x^4

Handelt es sich bei der Fläche unter der Kurve der Funktion f(x)f(x)f(x) von \col[1]{a = 1}a=1\col[1]{a = 1} bis \col[2]{b=+\infty}b=+\col[2]{b=+\infty} um ein uneigentliches Integral?

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Variable einsetzen

Zunächst stellst du einmal das Integral auf. Es wird von \col[1]{a=1}a=1\col[1]{a=1} bis \col[2]{b=+\infty}b=+\col[2]{b=+\infty} integriert. Somit erhältst du:

\int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} x^4 \ \text{d}x1+x4 dx\int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} x^4 \ \text{d}x

Unendlich ist keine Zahl, deswegen darfst du das nicht einfach einsetzen. Daher ersetzt du das erst mal durch eine Variable, zum Beispiel \col[2]{b}b\col[2]{b}:

\int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} x^4 \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^4 \ \text{d}x 1+x4 dx=1bx4 dx\int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{+\infty}} x^4 \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^4 \ \text{d}x

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Integral berechnen

Nun rechnest du wie gewohnt das Integral aus:

\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^4 \ \text{d}x &= \left[ \frac{1}{5}x^5\right]_\col[1]{1}^\col[2]{b} \\[2mm] &= \frac{1}{5}\col[2]{b}^5 - \left( \frac{1}{5}\col[1]{1}^5 \right) \\[2mm] &= \frac{1}{5}\col[2]{b}^3 - \frac{1}{5} \end{aligned}\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{1}}^{\col[2]{b}} x^4 \ \text{d}x &= \left[ \frac{1}{5}x^5\right]_\col[1]{1}^\col[2]{b} \\[2mm] &= \frac{1}{5}\col[2]{b}^5 - \left( \frac{1}{5}\col[1]{1}^5 \right) \\[2mm] &= \frac{1}{5}\col[2]{b}^3 - \frac{1}{5} \end{aligned}

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Grenzwert betrachten

Nun betrachtest du von dem Term aus dem zweiten Schritt den Grenzwert. Da \col[2]{b}b\col[2]{b} eigentlich für \col[2]{+\infty}+\col[2]{+\infty} steht, lässt du nun \col[2]{b}b\col[2]{b} gegen \col[2]{+\infty}+\col[2]{+\infty} laufen und schaust, was mit dem Term passiert:

\begin{aligned} & \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{\frac{1}{5}\col[2]{b}^3}_{\to\ +\infty} - \frac{1}{5} = \lsg{+\infty} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Uneigentliches Integral existiert nicht} \end{aligned}limb+15b3+15=+GrenzwertunendlichUneigentlichesIntegralexistiertnicht\begin{aligned} & \lim\limits_{\col[2]{b}\ \to \ \col[2]{+\infty}} \underbrace{\frac{1}{5}\col[2]{b}^3}_{\to\ +\infty} - \frac{1}{5} = \lsg{+\infty} \\[2mm] &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Uneigentliches Integral existiert nicht} \end{aligned}

Der Grenzwert ist unendlich. Somit handelt es sich nicht um ein uneigentliches Integral.

Definitionslücke

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

f(x)=\frac{1}{x}f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}

Handelt es sich bei der Fläche unter der Kurve der Funktion f(x)f(x)f(x) von \col[1]{a = 0}a=0\col[1]{a = 0} bis \col[2]{b=1}b=1\col[2]{b=1} um ein uneigentliches Integral?

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Variable einsetzen

Da es sich bei \col[1]{0}0\col[1]{0} um eine Definitionslücke handelt und damit kein yyy-Wert an dieser Stelle existiert, kannst du nicht einfach mit dem Integrieren starten.

Stattdessen musst du zunächst einmal die \col[1]{0}0\col[1]{0} durch eine Variable wie z.B. \col[1]{a}a\col[1]{a} ersetzen:

\int \limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x 011x dx=a11x dx\int \limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x = \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Integral berechnen

Nun rechnest du wie gewohnt das Integral aus:

\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x &= \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x \\[2mm] &= \left[ \ln(x)\right]_\col[1]{a}^\col[2]{1} \\[2mm] &= \ln(\col[2]{1}) - \left( \ln(\col[1]{a}) \right) \\[2mm] &= 0 - \left( \ln(\col[1]{a}) \right) \\[2mm] &= - \left( \ln(\col[1]{a}) \right) \end{aligned}\begin{aligned} \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x &= \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{1}} \frac{1}{x} \ \text{d}x \\[2mm] &= \left[ \ln(x)\right]_\col[1]{a}^\col[2]{1} \\[2mm] &= \ln(\col[2]{1}) - \left( \ln(\col[1]{a}) \right) \\[2mm] &= 0 - \left( \ln(\col[1]{a}) \right) \\[2mm] &= - \left( \ln(\col[1]{a}) \right) \end{aligned}

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Grenzwert betrachten

Nun betrachtest du von dem Term aus dem zweiten Schritt den Grenzwert. Da \col[1]{a}a\col[1]{a} eigentlich für \col[1]{0}0\col[1]{0} steht, lässt du nun \col[1]{a}a\col[1]{a} gegen \col[1]{0}0\col[1]{0} laufen und schaust, was mit dem Term passiert:

\begin{aligned} \lim \limits_{\col[1]{a}\ \to \ \col[1]{0}} - \underbrace{\left( \ln(\col[1]{a}) \right)}_{\to - \infty} &= -(-\infty)\\ &=\lsg{+\infty} \end{aligned}lima0(ln(a))=()=+\begin{aligned} \lim \limits_{\col[1]{a}\ \to \ \col[1]{0}} - \underbrace{\left( \ln(\col[1]{a}) \right)}_{\to - \infty} &= -(-\infty)\\ &=\lsg{+\infty} \end{aligned}\begin{aligned} &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Uneigentliches Integral existiert nicht} \end{aligned}GrenzwertunendlichUneigentlichesIntegralexistiertnicht\begin{aligned} &\implies \textsf{Grenzwert unendlich} \\ &\implies \textsf{Uneigentliches Integral existiert nicht} \end{aligned}

Der Grenzwert ist unendlich. Somit handelt es sich nicht um ein uneigentliches Integral.

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