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Partielle Integration

Mit der Partiellen Integration kannst du das Produkt von zwei Funktionen integrieren und ihre Stammfunktion bestimmen.

\int \textcolor{sc_color_1}{u(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{v'(x)} \space dx = \textcolor{sc_color_1}{u(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{v(x)} - \int \textcolor{sc_color_1}{u'(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{v(x)} \space dx

\int \textcolor{#7F7706}{u(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{v'(x)} \space dx = \textcolor{#7F7706}{u(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{v(x)} - \int \textcolor{#7F7706}{u'(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{v(x)} \space dx

Erklärung

Wenn du das Produkt von zwei Funktionen integrieren willst, kannst du die Partielle Integration verwenden.

\int \textcolor{sc_color_1}{u(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{v'(x)} \space dx = \textcolor{sc_color_1}{u(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{v(x)} - \int \textcolor{sc_color_1}{u'(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{v(x)} \space dx

\int \textcolor{#7F7706}{u(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{v'(x)} \space dx = \textcolor{#7F7706}{u(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{v(x)} - \int \textcolor{#7F7706}{u'(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{v(x)} \space dx

Du musst dazu von einer Funktion eine Stammfunktion bestimmen und die andere Funktion ableiten.

Begriffserklärung

Im Ergebnis taucht wieder ein Integral auf. Du verwendest diese Methode, damit dieses neue Integral einfacher zu lösen wird.

Da du keine exakte Lösung bekommst, sondern nur eine Teillösung (partielle Lösung), nennt sich die Methode Partielle Integration.

Bestimmung der beiden Funktionen

Die schwierigste Aufgabe besteht darin, die Funktionen

u(x) \textit{ und } v(x)

u(x) \textit{ und } v(x)

zu bestimmen.

Merke: Die Funktion, die du ableiten sollst, soll möglichst einfach werden und von der anderen Funktion sollte sich leicht eine Stammfunktion bestimmen lassen.

Polynome

Besteht dein Produkt u.a. aus einem Polynom, dann ist es eine gute Wahl für

u(x)

u(x)

Polynome kannst du gut ableiten (Potenzregel) und die Hochzahl verringert sich. Die Funktion wird einfacher!

Beispiele

Partielle Integration mit einem Polynom

Berechne das Integral

\int \textcolor{sc_color_1}{x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\cos(x)} \space dx

\int \textcolor{#7F7706}{x}\cdot \textcolor{#0069FC}{\cos(x)} \space dx

mittels Partieller Integration.

Du hast das Produkt von zwei Funktionen. Also kannst du die Methode Partielle Integration verwenden.

Bestimme u und v.

Im Produkt ist einer der Faktoren ein Polynom. Du kannst also die Funktioen folgendermaßen wählen:

\textcolor{sc_color_1}{u(x) := x}

\textcolor{#7F7706}{u(x) := x}

\textcolor{sc_color_2}{v'(x) := \cos(x)}

\textcolor{#0069FC}{v'(x) := \cos(x)}

Bestimme nun eine Stammfunktion von v und die Ableitung von u.

\textcolor{sc_color_1}{u'(x) = 1}

\textcolor{#7F7706}{u'(x) = 1}

\textcolor{sc_color_2}{v(x) = \sin(x)}

\textcolor{#0069FC}{v(x) = \sin(x)}

Wende nun die Formel der Partiellen Integration an.

\int \textcolor{sc_color_1}{x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\cos(x)} \space dx = \textcolor{sc_color_1}{x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} - \int \textcolor{sc_color_1}{1}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} \space dx

\int \textcolor{#7F7706}{x}\cdot \textcolor{#0069FC}{\cos(x)} \space dx = \textcolor{#7F7706}{x}\cdot \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} - \int \textcolor{#7F7706}{1}\cdot \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} \space dx

In dem restlichen Integral steht nur noch eine Funktion, die von x abhängig ist. Die kannst du leicht integrieren.

= \textcolor{sc_color_1}{x} \cdot \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} - (\textcolor{sc_color_2}{-\cos(x))}

= \textcolor{#7F7706}{x} \cdot \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} - (\textcolor{#0069FC}{-\cos(x))}

= x\cdot \sin(x) + \cos(x)

= x\cdot \sin(x) + \cos(x)

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Partielle Integration mehrfach angewendet

Berechne das Integral

\int x^2\cdot \cos(x) \space dx

\int x^2\cdot \cos(x) \space dx

mittels Partieller Integration.

Du hast das Produkt von zwei Funktionen. Also kannst du die Methode Partielle Integration verwenden.

Bestimme u und v.

Im Produkt ist einer der Faktoren ein Polynom. Du kannst also die Funktioen folgendermaßen wählen:

\textcolor{sc_color_1}{u(x) := x^2}

\textcolor{#7F7706}{u(x) := x^2}

\textcolor{sc_color_2}{v'(x) := \cos(x)}

\textcolor{#0069FC}{v'(x) := \cos(x)}

Bestimme nun eine Stammfunktion von v und die Ableitung von u.

\textcolor{sc_color_1}{u'(x) = 2x}

\textcolor{#7F7706}{u'(x) = 2x}

\textcolor{sc_color_2}{v(x) = \sin(x)}

\textcolor{#0069FC}{v(x) = \sin(x)}

Wende nun die Formel der Partiellen Integration an.

\int \textcolor{sc_color_1}{x^2}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\cos(x)} \space dx = \textcolor{sc_color_1}{x^2}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} - \int \textcolor{sc_color_1}{2x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} \space dx

\int \textcolor{#7F7706}{x^2}\cdot \textcolor{#0069FC}{\cos(x)} \space dx = \textcolor{#7F7706}{x^2}\cdot \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} - \int \textcolor{#7F7706}{2x}\cdot \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} \space dx

In dem restlichen Integral steht immer noch ein Produkt von zwei Funktionen. Du erkennst, dass das Polynom eine kleinere Hochzahl hat als zu Beginn.

Wende nun für das restliche Integral erneut die Partielle Integration an. Mache eine Nebenrechnung.

Bestimme also neue Funktionen u und v. Um sie nicht mit denen von oben zu verwechseln, benenne sie am besten leicht um. Zum Beispiel:

\textcolor{sc_color_1}{u_1(x) := 2x}

\textcolor{#7F7706}{u_1(x) := 2x}

\textcolor{sc_color_2}{v_1'(x) :=\sin(x)}

\textcolor{#0069FC}{v_1'(x) :=\sin(x)}

Bestimme davon nun eine Stammfunktion und die Ableitung.

\textcolor{sc_color_1}{u_1'(x) := 2}

\textcolor{#7F7706}{u_1'(x) := 2}

\textcolor{sc_color_2}{v_1(x) = -\cos(x)}

\textcolor{#0069FC}{v_1(x) = -\cos(x)}

Du erhältst:

\int \textcolor{sc_color_1}{2x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} \space dx = \textcolor{sc_color_1}{2x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(-\cos(x))} - \int \textcolor{sc_color_1}{2}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(-\cos(x))} \space dx

\int \textcolor{#7F7706}{2x}\cdot \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} \space dx = \textcolor{#7F7706}{2x}\cdot \textcolor{#0069FC}{(-\cos(x))} - \int \textcolor{#7F7706}{2}\cdot \textcolor{#0069FC}{(-\cos(x))} \space dx

Hiervon lässt sich wiederum leicht eine Stammfunktion berechnen. Ziehe die Konstanten vor das Integral!

= - 2x\cdot \cos(x) - (-2)\cdot \int\cos(x)\space dx

= - 2x\cdot \cos(x) - (-2)\cdot \int\cos(x)\space dx

=-2x\cdot \cos(x) + 2\cdot \sin(x)

=-2x\cdot \cos(x) + 2\cdot \sin(x)

Und dann insgesamt:

\int x^2\cdot \cos(x) \space dx = x^2\cdot \sin(x) - \int 2x\cdot \sin(x) \space dx

\int x^2\cdot \cos(x) \space dx = x^2\cdot \sin(x) - \int 2x\cdot \sin(x) \space dx

=x^2\cdot \sin(x) - (-2x\cdot \cos(x) +2\cdot \sin(x))

=x^2\cdot \sin(x) - (-2x\cdot \cos(x) +2\cdot \sin(x))

=x^2\cdot \sin(x) + 2x\cdot \cos(x) - 2\cdot\sin(x)

=x^2\cdot \sin(x) + 2x\cdot \cos(x) - 2\cdot\sin(x)

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