Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Die Integralrechnung ist eine der wichtigsten mathematischen Operationen, die du in der Oberstufe lernst.

Mithilfe von Integralen kannst du Flächen berechnen. Unter anderem auch die eingeschlossene Fläche zwischen den Graphen zweier verschiedener Funktionen.

simpleclub zeigt dir, wie das geht!

Flächenberechnung zwischen zwei Graphen einfach erklärt

Mit dem bestimmten Integral kannst du nicht nur Flächen zwischen einem Graphen und der xxx-Achse berechnen, sondern auch die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Graphen.

Wenn du die Fläche AAA zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen willst, kannst du das mithilfe des bestimmten Integrals tun.

Um die Fläche zwischen zwei Graphen auf einem bestimmten Intervall zu berechnen, musst du innerhalb des Integrals die untere Funktion von der oberen Funktion abziehen. Danach kannst du ganz normal das bestimmte Integral berechnen.

Flächenberechnung zwischen zwei Graphen Definition

Die eingeschlossene Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) berechnest du mit

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \ A=axSf(x)g(x) dx+xSbf(x)g(x) dxA =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \

Erklärung

Funktion \large f(x)f(x)\large f(x) ober- oder unterhalb von \large g (x)g(x)\large g (x)

Liegt der Graph der Funktion f(x)f(x)f(x) in dem betrachteten Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}]I[a;b]I[\col[1]{a};\col[2]{b}] ausschließlich ober- oder unterhalb des Graphen von g(x)g(x)g(x), lässt sich die Fläche AAA zwischen den beiden Graphen mit

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) - g(x) \ \text{d}x \right|A=abf(x)g(x) dxA =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) - g(x) \ \text{d}x \right|

berechnen.

Die Formel benutzt du also, wenn die beiden Funktionsgraphen im betrachteten Intervall keine Schnittstellen aufweisen, also, wenn es nicht mehrere Teilflächen gibt.

Beispiel f(x)f(x)f(x) unter g(x)g(x)g(x)

\begin{aligned} \col[1]{f(x)} &\col[1]{= x^2} \textsf{ (roter Graph)} \\[3mm] \col[2]{g(x) }&\col[2]{=0,5x+3} \textsf{ (blauer Graph)} \end{aligned}f(x)=x2(roterGraph)g(x)=0,5x+3(blauerGraph)\begin{aligned} \col[1]{f(x)} &\col[1]{= x^2} \textsf{ (roter Graph)} \\[3mm] \col[2]{g(x) }&\col[2]{=0,5x+3} \textsf{ (blauer Graph)} \end{aligned}
Man sieht das Bild der Graphen f von x gleich x Quadrat und 0,5 x + 3.
\left|\int\limits_a^b\col[1]{f(x)}-\col[2]{g(x)} \right| = \left|\int\limits_a^b \col[1]{x^2}-\col[2]{(0,5x+3)} \right| abf(x)g(x)=abx2(0,5x+3)\left|\int\limits_a^b\col[1]{f(x)}-\col[2]{g(x)} \right| = \left|\int\limits_a^b \col[1]{x^2}-\col[2]{(0,5x+3)} \right|

Beispiel f(x)f(x)f(x) über g(x)g(x)g(x)

\begin{aligned} \col[1]{f(x) }&\col[1]{= x^3-2x^2-7x+6} \textsf{ (roter Graph)} \\[3mm] \col[2]{g(x)} &\col[2]{=x+6} \textsf{ (blauer Graph)} \end{aligned}f(x)=x32x27x+6(roterGraph)g(x)=x+6(blauerGraph)\begin{aligned} \col[1]{f(x) }&\col[1]{= x^3-2x^2-7x+6} \textsf{ (roter Graph)} \\[3mm] \col[2]{g(x)} &\col[2]{=x+6} \textsf{ (blauer Graph)} \end{aligned}
Man sieht ein Bild der Graphen f von x gleich minus x quadrat + 2x -6 und g von x gleich - x +6
\left|\int\limits_a^b\col[1]{f(x)}-\col[2]{g(x)} \right| = \left|\int\limits_a^b \col[1]{x^3-2x^2-7x+6}-\col[2]{(x+6)} \right| abf(x)g(x)=abx32x27x+6(x+6)\left|\int\limits_a^b\col[1]{f(x)}-\col[2]{g(x)} \right| = \left|\int\limits_a^b \col[1]{x^3-2x^2-7x+6}-\col[2]{(x+6)} \right|

Vorgehensweise

Um die Fläche zwischen den zwei Graphen zu berechnen, musst du im Allgemeinen folgendermaßen vorgehen.

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Integralgrenzen festlegen

Zunächst legst du die Integralgrenzen fest. Da in diesem Fall die Gesamtfläche AAA nur aus einer Fläche besteht, wird diese auch nur von den Intervallgrenzen \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} eingegrenzt. Damit kannst du die Intervallgrenzen auch als Integralgrenzen benutzen:

  • untere Integralgrenze: \col[1]{a}a\col[1]{a}
  • obere Integralgrenze: \col[2]{b}b\col[2]{b}
\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Integral berechnen

Nun kannst du das Integral ausrechnen. Hierbei benutzt du die Differenz der beiden Funktionen, also f(x) - g(x)f(x)g(x)f(x) - g(x).

Du erhältst:

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right|A=abf(x)g(x) dxA =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right|

Hinweis: Achte darauf, dass du g(x)g(x)g(x) in Klammern setzt, falls es aus mehreren Termen besteht, da du schließlich die gesamte Funktion g(x)g(x)g(x) abziehen möchtest:

  • f(x) =x^2f(x)=x2f(x) =x^2
  • g(x) = 2x-2g(x)=2x2g(x) = 2x-2

\implies f(x) - g(x) = x^2-(2x-2) =x^2-2x+2f(x)g(x)=x2(2x2)=x22x+2\implies f(x) - g(x) = x^2-(2x-2) =x^2-2x+2

Funktion \large f(x)f(x)\large f(x) ober- und unterhalb von \large g (x)g(x)\large g (x)

Liegt der Graph der Funktion f(x)f(x)f(x) in dem betrachteten Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}]I[a;b]I[\col[1]{a};\col[2]{b}] teilweise oberhalb und teilweise unterhalb des Graphen der Funktion g(x)g(x)g(x), musst du abschnittsweise zwischen den Schnittstellen integrieren.

Die eingeschlossene Fläche AAA zwischen den Funktionsgraphen lässt sich dann mit

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \ A=axSf(x)g(x) dx+xSbf(x)g(x) dxA =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \

berechnen, wobei \col[3]{x_S}xS\col[3]{x_S} hier die Schnittstelle der beiden Funktionen repräsentiert.

Hinweis: Je nach Anzahl an Schnittstellen besteht die gesamte Fläche AAA aus unterschiedlich vielen Teilflächen A_nAnA_n. Es kann also auch sein, dass du zum Beispiel drei oder sogar vier Teilflächen und somit dann drei oder vier Teilintegrale benötigst.

Vorgehensweise

Wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen möchtest, kannst du schrittweise vorgehen:

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Schnittstellen von f(x)f(x)f(x) berechnen
Schiebe den Regler nach rechts,

Zunächst bestimmst du erst einmal mit

f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)

die Schnittstellen, damit du weißt, wo genau die Teilflächen überhaupt eingeschlossen werden.

Beispiel:

  • eine Schnittstelle: \col[3]{x_S}xS\col[3]{x_S}

Hinweis: Wenn du in der Aufgabenstellung eine Abbildung gegeben hast, wo du die Schnittstellen ablesen kannst, brauchst du die natürlich nicht extra ausrechnen.

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Liegen Schnittstellen im Intervall I [\col[1]{a}; \col[2]{b}]I[a;b]I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] ?
Schiebe den Regler nach rechts.

Hast du die Schnittstellen bestimmt, überprüfst du, ob diese im Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}]I[a;b]I[\col[1]{a};\col[2]{b}] liegen.

Die Schnittstellen, welche nicht in dem Intervall liegen, kannst du ab hier ignorieren. Für die Fläche sind nur die Schnittstellen innerhalb des Intervalls I[\col[1]{a};\col[2]{b}]I[a;b]I[\col[1]{a};\col[2]{b}] relevant. Schließlich sollst du auch nur in dem Intervall III integrieren und nicht außerhalb davon.

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Integralgrenzen festlegen
Schiebe den Regler nach rechts!

Im dritten Schritt legst du die Integralgrenzen fest. Hier integrierst du nun von Schnittstelle zu Schnittstelle.

Beispiel:

Wenn du nur eine Schnittstelle in dem Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}]I[a;b]I[\col[1]{a};\col[2]{b}] hast, sehe das beispielsweise so aus:

\begin{aligned} \qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[2mm] \qquad\bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}A1=axSf(x)g(x) dxA2=xSbf(x)g(x) dx\begin{aligned} \qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[2mm] \qquad\bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}
\fcolorbox{grey}{grey}{4}4\fcolorbox{grey}{grey}{4} Integral abschnittsweise berechnen
Schiebe den Regler nach rechts.

Im letzten Schritt rechnest du die Gesamtfläche aus, indem du das Integral einfach ausrechnest.

\begin{aligned} A &= A_1 + A_2 \\ &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \ \end{aligned}A=A1+A2=axSf(x)g(x) dx+xSbf(x)g(x) dx\begin{aligned} A &= A_1 + A_2 \\ &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_S}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_S}}^{\col[2]{b}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \ \end{aligned}

Beispiele

Funktion \large f(x)f(x)\large f(x) unterhalb von \large g (x)g(x)\large g (x)

Aufgabenstellung

Man soeht den Graphen der Funktion x Quadrat minus 1 und die Gerade x + 1.

Gegeben sind die Funktionen:

\begin{aligned} &f(x)= x^2-1 \\ &g(x)= x+1 \end{aligned}f(x)=x21g(x)=x+1\begin{aligned} &f(x)= x^2-1 \\ &g(x)= x+1 \end{aligned}

Berechne die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) auf dem Intervall I[-1;2]I[1;2]I[-1;2] eingeschlossen wird.

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Integralgrenzen festlegen

Skizzierst du die Graphen, erkennst du, dass in dem Intervall III der Graph von f(x)f(x)f(x) vollständig unterhalb des Graphen von g(x)g(x)g(x) verläuft. Es gibt keine Schnittpunkte innerhalb des Intervalls III.

Die Fläche wird in diesem Fall lediglich von den Schnittstellen \col[1]{a=-1}a=1\col[1]{a=-1} und \col[2]{b=2}b=2\col[2]{b=2} eingegrenzt, weshalb diese direkt als Integralgrenzen übernommen werden können:

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right|A=12f(x)g(x) dxA =\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right|
\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Integral berechnen

Nun kannst du dein Integral berechnen. Hierbei benutzt du die Differenz der beiden Funktionen, also f(x) - g(x)f(x)g(x)f(x) - g(x). :

\begin{aligned} A &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} (x^2-1)-(x+1) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} x^2-1-x-1 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} x^2-x-2 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x \right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{3}\cdot\col[2]{2}^3-\frac{1}{2}\cdot\col[2]{2}^2-2\cdot\col[2]{2}\right) - \left( \frac{1}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3-\frac{1}{2}\cdot(\col[1]{-1})^2-2\cdot(\col[1]{-1}) \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( -\frac{10}{3}\right) - \left( \frac{7}{6} \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( -\frac{20}{6}\right) - \left( \frac{7}{6} \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| -\frac{27}{6}\right| \\[3mm] &=\ \lsg{\frac{9}{2} \ \text{FE}} \end{aligned}A=12f(x)g(x) dx=12(x21)(x+1) dx=12x21x1 dx=12x2x2 dx=[13x312x22x]12=(1323122222)(13(1)312(1)22(1))=(103)(76)=(206)(76)=276=92 FE\begin{aligned} A &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} (x^2-1)-(x+1) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} x^2-1-x-1 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} x^2-x-2 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x \right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{2}} \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{3}\cdot\col[2]{2}^3-\frac{1}{2}\cdot\col[2]{2}^2-2\cdot\col[2]{2}\right) - \left( \frac{1}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3-\frac{1}{2}\cdot(\col[1]{-1})^2-2\cdot(\col[1]{-1}) \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( -\frac{10}{3}\right) - \left( \frac{7}{6} \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( -\frac{20}{6}\right) - \left( \frac{7}{6} \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| -\frac{27}{6}\right| \\[3mm] &=\ \lsg{\frac{9}{2} \ \text{FE}} \end{aligned}

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt A = \frac{9}{2}A=92A = \frac{9}{2} Flächeneinheiten.

Funktion \large f(x)f(x)\large f(x) ober- und unterhalb von \large g (x)g(x)\large g (x)

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Funktionen:

\begin{aligned} &f(x)= x^3-3x \\ &g(x)= 2x^2 \end{aligned}f(x)=x33xg(x)=2x2\begin{aligned} &f(x)= x^3-3x \\ &g(x)= 2x^2 \end{aligned}

Berechne die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) auf dem Intervall I[-1;3]I[1;3]I[-1;3] eingeschlossen wird.

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1} Schnittstellen von f(x)f(x)f(x) berechnen
Schiebe den Slider ganz nach rechts!

Zunächst berechnest du von den Funktionen f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) die Schnittstellen, damit du weißt, wo genau die Teilflächen eingeschlossen werden.

Um die Schnittstellen zu berechnen, setzt du die beiden Funktionsgleichungen von f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) gleich und suchst durch Umformungen die xxx-Stellen, die die entstandene Gleichung erfüllen.

\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ x^3-3x &= 2x^2 && \qquad |-2x^2 \\ x^3-3x-2x^2 &= 0 \\ x^3-2x^2-3x &= 0 \\ x(x^2-2x-3) &= 0 \end{aligned}f(x)=g(x)x33x=2x22x2x33x2x2=0x32x23x=0x(x22x3)=0\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ x^3-3x &= 2x^2 && \qquad |-2x^2 \\ x^3-3x-2x^2 &= 0 \\ x^3-2x^2-3x &= 0 \\ x(x^2-2x-3) &= 0 \end{aligned}

Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst du für den linken Faktor die Nullstelle und damit die Schnittstelle:

\implies \col[3]{x_{S1}=0}xS1=0\implies \col[3]{x_{S1}=0}

Die anderen Schnittstellen kannst du zum Beispiel mit der pq-Formel (oder z.B. auch der abc-Formel) berechnen:

\begin{aligned} x_{S2,S3} &= -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-3)} \\[2mm] &=1 \pm \sqrt{1+3} \\[2mm] &=1 \pm 2 \end{aligned}xS2,S3=22±(22)2(3)=1±1+3=1±2\begin{aligned} x_{S2,S3} &= -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-3)} \\[2mm] &=1 \pm \sqrt{1+3} \\[2mm] &=1 \pm 2 \end{aligned}\implies \col[4]{x_{S2}=-1},\quad\col[5]{x_{S3}=3}xS2=1,xS3=3\implies \col[4]{x_{S2}=-1},\quad\col[5]{x_{S3}=3}

Die Schnittstellen der Funktionen f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) lauten: \col[3]{x_{S1}=0}xS1=0\col[3]{x_{S1}=0}, \col[4]{x_{S2}=-1}xS2=1\col[4]{x_{S2}=-1} und \col[5]{x_{S3}=3}xS3=3\col[5]{x_{S3}=3}.

\fcolorbox{grey}{grey}{2}2\fcolorbox{grey}{grey}{2} Liegen Schnittstellen im Intervall I [\col[1]{-1}; \col[2]{3}]I[1;3]I [\col[1]{-1}; \col[2]{3}] ?
Schiebe den Regler nach rechts!

Nun überprüfst du, ob die Schnittstellen \col[3]{x_{S1}=0}xS1=0\col[3]{x_{S1}=0}, \col[4]{x_{S2}=-1}xS2=1\col[4]{x_{S2}=-1} und \col[5]{x_{S3}=3}xS3=3\col[5]{x_{S3}=3} in dem Intervall I [\col[1]{-1}; \col[2]{3}]I[1;3]I [\col[1]{-1}; \col[2]{3}] liegen.

Alle Schnittstellen liegen in dem Intervall III. \col[3]{x_{S1}=0}xS1=0\col[3]{x_{S1}=0} liegt hierbei mittendrin. Bei den Schnittstellen \col[4]{x_{S2}=-1}xS2=1\col[4]{x_{S2}=-1} und \col[5]{x_{S3}=3}xS3=3\col[5]{x_{S3}=3} handelt es sich sogar um die Integralgrenzen. Somit kannst du nun abschnittsweise zwischen den Schnittstellen integrieren.

\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3} Integralgrenzen festlegen
Schiebe den Regler nach rechts!

Im vorletzten Schritt legst du die Integralgrenzen fest.

In diesem Fall besteht das Integral AAA aus den beiden Teilflächen A_1A1A_1 und A_2A2A_2.

Du integrierst in dem Intervall I [\col[1]{-1}; \col[2]{3}]I[1;3]I [\col[1]{-1}; \col[2]{3}] somit von Schnittstelle zu Schnittstelle. Mit den beiden nachfolgenden Integralen berechnest du also genau die beiden Teilflächen aus der Animation oben:

\begin{aligned} \qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[2mm] \qquad \bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}A1=10f(x)g(x) dxA2=03f(x)g(x) dx\begin{aligned} \qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[2mm] \qquad \bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}
\fcolorbox{grey}{grey}{4}4\fcolorbox{grey}{grey}{4} Integral berechnen
Schiebe den Regler nach rechts!

Nun kannst du dein Integral berechnen, indem du abschnittsweise integrierst. Übrigens kannst du hier in beiden Fällen f(x) - g(x)f(x)g(x)f(x) - g(x) rechnen. Da du Betragsstriche gesetzt hast, ist es egal, welche Funktion du von der anderen abziehst:

\begin{aligned} A &=\ A_1+A_2 \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} (x^3-3x)-(2x^2) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} (x^3-3x)-(2x^2) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} \right| + \left| \left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3\right]_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{4}\cdot\col[3]{0}^4-\frac{3}{2}\cdot\col[3]{0}^2-\frac{2}{3}\cdot\col[3]{0}^3\right) - \left( \frac{1}{4}\cdot(\col[1]{-1})^4-\frac{3}{2}\cdot(\col[1]{-1})^2-\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3\right) \right| \\[3mm] & \qquad + \left| \left( \frac{1}{4}\cdot\col[2]{3}^4-\frac{3}{2}\cdot\col[2]{3}^2-\frac{2}{3}\cdot\col[2]{3}^3\right) - \left( \frac{1}{4}\cdot\col[3]{0}^4-\frac{3}{2}\cdot\col[3]{0}^2-\frac{2}{3}\cdot\col[3]{0}^3\right) \right| \\[3mm] &= \ \left| \frac{7}{12} \right| + \left| -\frac{45}{4}\right| \\[3mm] &= \frac{7}{12} + \frac{45}{4} \\[3mm] &= \frac{7}{12} + \frac{135}{12} \\[3mm] &= \frac{142}{12} \\[3mm] &=\ \lsg{\frac{71}{6} \ \text{FE}} \end{aligned}A=A1+A2=10f(x)g(x) dx+03f(x)g(x) dx=10(x33x)(2x2) dx+03(x33x)(2x2) dx=[14x432x223x3]10+[14x432x223x3]03=(140432022303)(14(1)432(1)223(1)3)+(143432322333)(140432022303)=712+454=712+454=712+13512=14212=716 FE\begin{aligned} A &=\ A_1+A_2 \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} f(x)-g(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} (x^3-3x)-(2x^2) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} (x^3-3x)-(2x^2) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[3]{0}} \right| + \left| \left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3\right]_{\col[3]{0}}^{\col[2]{3}} \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{4}\cdot\col[3]{0}^4-\frac{3}{2}\cdot\col[3]{0}^2-\frac{2}{3}\cdot\col[3]{0}^3\right) - \left( \frac{1}{4}\cdot(\col[1]{-1})^4-\frac{3}{2}\cdot(\col[1]{-1})^2-\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3\right) \right| \\[3mm] & \qquad + \left| \left( \frac{1}{4}\cdot\col[2]{3}^4-\frac{3}{2}\cdot\col[2]{3}^2-\frac{2}{3}\cdot\col[2]{3}^3\right) - \left( \frac{1}{4}\cdot\col[3]{0}^4-\frac{3}{2}\cdot\col[3]{0}^2-\frac{2}{3}\cdot\col[3]{0}^3\right) \right| \\[3mm] &= \ \left| \frac{7}{12} \right| + \left| -\frac{45}{4}\right| \\[3mm] &= \frac{7}{12} + \frac{45}{4} \\[3mm] &= \frac{7}{12} + \frac{135}{12} \\[3mm] &= \frac{142}{12} \\[3mm] &=\ \lsg{\frac{71}{6} \ \text{FE}} \end{aligned}

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt A = \frac{71}{6}A=716A = \frac{71}{6} Flächeneinheiten.

Fläche zwischen zwei Funktionen Zusammenfassung

Wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen möchtest, musst du schrittweise vorgehen:

\begin{aligned} &\fcolorbox{grey}{grey}{1} \ \textsf{Schnittstellen von}\ f(x) \ \textsf{und} \ g(x)\ \textsf{berechnen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{2} \ \textsf{Liegen Schnittstellen im Intervall}\ I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] ? \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{3} \ \textsf{Integralgrenzen festlegen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{4} \ \textsf{Integral abschnittsweise berechnen} \end{aligned}1Schnittstellenvonf(x)undg(x)berechnen2LiegenSchnittstellenimIntervallI[a;b]?3Integralgrenzenfestlegen4Integralabschnittsweiseberechnen\begin{aligned} &\fcolorbox{grey}{grey}{1} \ \textsf{Schnittstellen von}\ f(x) \ \textsf{und} \ g(x)\ \textsf{berechnen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{2} \ \textsf{Liegen Schnittstellen im Intervall}\ I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] ? \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{3} \ \textsf{Integralgrenzen festlegen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{4} \ \textsf{Integral abschnittsweise berechnen} \end{aligned}

Präge dir dieses Vorgehen möglichst gut ein. Wann immer du die gesamt eingeschlossene Fläche zwischen zwei Graphen berechnen musst, kannst du dieses anwenden.

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