Umkehrung Satz des Pythagoras

Wenn in einem Dreieck ABCABCABC die Formel {\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2} gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig.


Erklärung

Bei der Umkehrung eines mathematischen Satzes wird die Voraussetzung (wenn ...) und die Folgerung (dann ...) getauscht.

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So erhältst du folgende Umkehrung vom Satz des Pythagoras:

Umkehrung vom Satz des Pythagoras

Wenn in einem Dreieck ABCABCABC die Formel {\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2} gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Beachte bei der Definition, dass \col[1]a\col[1]a\col[1]a und \col[2]b\col[2]b\col[2]b die Katheten sind und \col[3] c\col[3]c\col[3] c die Hypotenuse ist.

rechtwinkliges Dreieck ABC mit einem rechten Winkel bei der Ecke C

Anwendungsgebiet

Mit der Umkehrung vom Satz des Pythagoras kannst du ein beliebiges Dreieck, dessen Seitenlängen du kennst, auf Rechtwinkligkeit prüfen. \checkmark\checkmark

\implies\implies Dazu setzt du die Längen der Katheten \col[1]a\col[1]a\col[1]a und \col[2]b\col[2]b\col[2]b und die Länge der Hypotenuse \col[3]c\col[3]c\col[3]c in die Formel vom Satz des Pythagoras \col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2 ein.

  • Geht die Gleichung auf, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
  • Geht sie nicht auf, dann ist es nicht rechtwinklig.

Beispiel

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a=3\text{ cm}a=3 cma=3\text{ cm}, b=4\text{ cm}b=4 cmb=4\text{ cm} und c=5\text{ cm}c=5 cmc=5\text{ cm}.

Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Lösung

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Daher müsste \col[3]c\col[3]c\col[3]c die Hypotenuse sein. Da sich der rechte Winkel immer gegenüber der Hypotenuse befindet, wäre dieser in der Ecke zwischen den Katheten \col[1]a\col[1]a\col[1]a und \col[2]b\col[2]b\col[2]b.

Dreieck mit den Seitenlängen a=3 Zentimeter, b=4 Zentimeter und c=5 Zentimeter. Im Winkel an der Ecke C ist ein Fragezeichen eingetragen

Setze die Länge der Katheten \col[1]{a=3\text{ cm}}\col[1]a=3 cm\col[1]{a=3\text{ cm}} und \col[2]{b=4\text{ cm}}\col[2]b=4 cm\col[2]{b=4\text{ cm}} und die Länge der Hypotenuse \col[3]{c=4\text{ cm}}\col[3]c=4 cm\col[3]{c=4\text{ cm}} in die Formel

\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}

ein.
Ist die Gleichung erfüllt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Ist sie nicht erfüllt, dann ist es nicht rechtwinklig.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{c}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{5}^2\\ {9}+{16}&={25}\\ 25&=25 \quad\color{lightgreen} \Large \checkmark \end{aligned}\col[1]a2+\col[2]b2=\col[3]c2\col[1]32+\col[2]42=\col[3]529+16=2525=25\begin{aligned} \col[1]{a}^2+\col[2]{b}^2&=\col[3]{c}^2\\ \col[1]{3}^2+\col[2]{4}^2&=\col[3]{5}^2\\ {9}+{16}&={25}\\ 25&=25 \quad\color{lightgreen} \Large \checkmark \end{aligned}

Die Gleichung ist erfüllt. Das Dreieck mit den Seitenlängen a=3\text{ cm}a=3 cma=3\text{ cm}, b=4\text{ cm}b=4 cmb=4\text{ cm} und c=5\text{ cm}c=5 cmc=5\text{ cm} ist rechtwinklig.

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