Umkehrung Satz des Pythagoras

Wenn in einem Dreieck ABC$ABC$ die Formel {\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}${\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}$ gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Erklärung

Bei der Umkehrung eines mathematischen Satzes wird die Voraussetzung (wenn ...) und die Folgerung (dann ...) getauscht.

So erhältst du folgende Umkehrung vom Satz des Pythagoras:

Beachte bei der Definition, dass \col[1]a$\col[1]a$ und \col[2]b$\col[2]b$ die Katheten sind und \col[3] c$\col[3] c$ die Hypotenuse ist.

Anwendungsgebiet

Mit der Umkehrung vom Satz des Pythagoras kannst du ein beliebiges Dreieck, dessen Seitenlängen du kennst, auf Rechtwinkligkeit prüfen. \checkmark$\checkmark$

\implies$\implies$ Dazu setzt du die Längen der Katheten \col[1]a$\col[1]a$ und \col[2]b$\col[2]b$ und die Länge der Hypotenuse \col[3]c$\col[3]c$ in die Formel vom Satz des Pythagoras \col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2$\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2$ ein.

• Geht die Gleichung auf, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
• Geht sie nicht auf, dann ist es nicht rechtwinklig.

Beispiel

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a=3\text{ cm}$a=3\text{ cm}$, b=4\text{ cm}$b=4\text{ cm}$ und c=5\text{ cm}$c=5\text{ cm}$.

Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Lösung

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Daher müsste \col[3]c$\col[3]c$ die Hypotenuse sein. Da sich der rechte Winkel immer gegenüber der Hypotenuse befindet, wäre dieser in der Ecke zwischen den Katheten \col[1]a$\col[1]a$ und \col[2]b$\col[2]b$.

Setze die Länge der Katheten \col[1]{a=3\text{ cm}}$\col[1]{a=3\text{ cm}}$ und \col[2]{b=4\text{ cm}}$\col[2]{b=4\text{ cm}}$ und die Länge der Hypotenuse \col[3]{c=5\text{ cm}}$\col[3]{c=5\text{ cm}}$ in die Formel

ein.
Ist die Gleichung erfüllt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Ist sie nicht erfüllt, dann ist es nicht rechtwinklig.

Hinweis: Als Vereinfachung lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

Die Gleichung ist erfüllt. Das Dreieck mit den Seitenlängen a=3\text{ cm}$a=3\text{ cm}$, b=4\text{ cm}$b=4\text{ cm}$ und c=5\text{ cm}$c=5\text{ cm}$ ist rechtwinklig.