Trassierung

Bei einer Trassierungsaufgabe sollen zwei Funktionsgraphen miteinander verbunden werden. Der Übergang soll hierbei sprungfrei, knickfrei und/oder krümmungsruckfrei verlaufen.


Erklärung

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Bei Trassierungsaufgaben sollen meistens zwei Straßen-, Zuggleis- oder Achterbahnabschnitte (o.ä.) miteinander verbunden werden.

Hierzu werden die beiden Abschnitte durch Graphen zweier Funktionen f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) modelliert, die dabei meistens in einem bestimmten Bereich definiert sind. Diese beiden Funktionen sollen nun mit einer Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) sprungfrei, knickfrei und/oder krümmungsruckfrei verbunden werden.

Im Folgenden erfährst du, was man unter den Begriffen sprungfrei, knickfrei und krümmungsruckfrei versteht:

Sprungfrei

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Damit der Graph der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) an die Funktionsgraphen von f (x)f(x)f (x) und h(x)h(x)h(x) nahtlos anschließen kann, müssen

  • die Funktionswerte von f (x)f(x)f (x) und g(x)g(x)g(x) an der Stelle \col[1]{x_1}x1\col[1]{x_1}

und

  • die Funktionswerte von g (x)g(x)g (x) und h(x)h(x)h(x) an der Stelle \col[2]{x_2}x2\col[2]{x_2}

übereinstimmen.

Folglich wird damit gewährleistet, dass zwischen den vorgegebenen Funktionsstücken f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) und der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x)keine Lücke entsteht.

Für einen sprungfreien Übergang gilt:

f(\col[1]{x_1}) = g(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g(\col[2]{x_2}) = h(\col[2]{x_2})f(x1)=g(x1)undg(x2)=h(x2)f(\col[1]{x_1}) = g(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g(\col[2]{x_2}) = h(\col[2]{x_2})

Knickfrei

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Damit jeweils zwischen den vorgegebenen Funktionsstücken f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) und der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x)kein Knick entsteht, müssen

  • die Steigung von f (x)f(x)f (x) und g(x)g(x)g(x) an der Stelle \col[1]{x_1}x1\col[1]{x_1}

und

  • die Steigung von g (x)g(x)g (x) und h(x)h(x)h(x) an der Stelle \col[2]{x_2}x2\col[2]{x_2}

übereinstimmen.

Ein knickfreier Übergang verläuft hierbei ebenfalls immer sprungfrei, da der Graph der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) an die vorgegebenen Funktionsgraphen von f (x)f(x)f (x) und g(x)g(x)g(x) nahtlos anschließt.

Für einen knickfreien Übergang gilt:

f(\col[1]{x_1}) = g(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g(\col[2]{x_2}) = h(\col[2]{x_2}),f(x1)=g(x1)undg(x2)=h(x2),f(\col[1]{x_1}) = g(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g(\col[2]{x_2}) = h(\col[2]{x_2}),f'(\col[1]{x_1}) = g'(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g'(\col[2]{x_2}) = h'(\col[2]{x_2})f(x1)=g(x1)undg(x2)=h(x2)f'(\col[1]{x_1}) = g'(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g'(\col[2]{x_2}) = h'(\col[2]{x_2})

Krümmungsruckfrei

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Soll an den Übergangspunkten die Krümmung von den jeweils vorgegebenen Funktionsstücken f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) und der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) identisch sein, so muss jeweils

  • die Krümmung von f (x)f(x)f (x) und g(x)g(x)g(x) an der Stelle \col[1]{x_1}x1\col[1]{x_1}

und

  • die Krümmung von g (x)g(x)g (x) und h(x)h(x)h(x) an der Stelle \col[2]{x_2}x2\col[2]{x_2}

identisch sein.

Ein krümmungsruckfreier Übergang verläuft ebenfalls immer knickfrei, schließlich muss die Steigung der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) mit der Steigung von f (x)f(x)f (x) und g(x)g(x)g(x) an den xxx-Stellen übereinstimmen.

Für einen krümmungsruckfreien Übergang gilt:

f(\col[1]{x_1}) = g(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g(\col[2]{x_2}) = h(\col[2]{x_2}),f(x1)=g(x1)undg(x2)=h(x2),f(\col[1]{x_1}) = g(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g(\col[2]{x_2}) = h(\col[2]{x_2}),f'(\col[1]{x_1}) = g'(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g'(\col[2]{x_2}) = h'(\col[2]{x_2}),f(x1)=g(x1)undg(x2)=h(x2),f'(\col[1]{x_1}) = g'(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g'(\col[2]{x_2}) = h'(\col[2]{x_2}),f''(\col[1]{x_1}) = g''(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g''(\col[2]{x_2}) = h''(\col[2]{x_2})f(x1)=g(x1)undg(x2)=h(x2)f''(\col[1]{x_1}) = g''(\col[1]{x_1}) \ \textsf{und} \ g''(\col[2]{x_2}) = h''(\col[2]{x_2})

Vorgehensweise

Um die Funktionsgleichung der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) zu bestimmen, welche die vorgegebenen Eigenschaften erfüllt, kannst du schrittweise vorgehen:

Schritt 1: Bedingungen formulieren

Im ersten Schritt stellst du die Bedingungen (sprungfrei, knickfrei, krümmungsruckfrei) auf, welche die Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) erfüllen soll.

Hast du nun die Bedingungen formuliert, kannst du diese in mathematische Gleichungen übersetzen.

Hierzu kannst du auch schon die Funktionswerte (ggf. auch Steigungen und Krümmungen) von f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) an den Stellen \col[1]{x_1}x1\col[1]{x_1} und \col[2]{x_2}x2\col[2]{x_2} berechnen, damit du weißt, welche Werte g(x)g(x)g(x), g'(x)g(x)g'(x) und g''(x)g(x)g''(x) an diesen Stellen annehmen.

Schritt 2: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

Um eine Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen, muss die Anzahl an unbekannten Parametern und die Anzahl an Bedingungen \col[3]{n}n\col[3]{n} übereinstimmen.

Schaue dir also an, wie viele Bedingungen du aufgestellt hast.

Der Grad der Funktion entspricht dann \col[3]{n-1}n1\col[3]{n-1}.

In den meisten Fällen gilt:

Für sprung- und knickfreie Übergänge (\textsf\col[3]{4}\textsf\col[3]{4} Bedingungen):

g(x) = ax^\col[3]{3} + bx^2 + cx + d g(x) = ax^\col[3]{3} + bx^2 + cx + d

Für krümmungsruckfreie Übergänge (\textsf\col[3]{6}\textsf\col[3]{6} Bedingungen):

g(x) = ax^\col[3]{5} + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f g(x) = ax^\col[3]{5} + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f

Schritt 3: Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

In diesem Schritt setzt du deine Bedingungen jeweils in die allgemeine Funktionsgleichung und ggf. in deren Ableitungen ein.

Du erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Schritt 4: Lineares Gleichungssystem lösen

Das lineare Gleichungssystem kannst du nun mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

Übertrage hierzu die markierten Faktoren aus dem Gleichungssystem in eine Tabellenform und bringe es in die Stufenform.

Ist die Stufenform erreicht, kannst du das Gleichungssystem in die ursprüngliche Form überführen und die Parameter berechnen.

Schritt 5: Exakte Funktionsgleichung

Am Ende setzt du die berechneten Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung von der Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) ein.

Du erhältst deine gesuchte Funktion g(x)g(x)g(x).


Beispiel

Aufgabenstellung

Gegeben sind die beiden Funktionen auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen:

f(x) = x^2-2, \ \mathbb{D}_f = [-4 ; 0] f(x)=x22,Df=[4;0]f(x) = x^2-2, \ \mathbb{D}_f = [-4 ; 0] h(x) = -1,\ \mathbb{D}_h = [2;6] h(x)=1,Dh=[2;6]h(x) = -1,\ \mathbb{D}_h = [2;6]
Skizze Aufgabenstellung

Gesucht ist die Gleichung der Funktion g(x)g(x)g(x), die die Funktionen f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) knickfrei miteinander verbinden soll.

Lösung

Schritt 1: Bedingungen formulieren

Die Funktionen f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) sollen im Intervall [0;2][0;2][0;2] von g(x)g(x)g(x) knickfrei verbunden werden.

Damit dies realisiert werden kann, muss die Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) an die vorgegebenen Funktionen f (x)f(x)f (x) und g(x)g(x)g(x) nahtlos anschließen können. Der Übergang muss also ebenfalls sprungfrei verlaufen.

Hast du nun die Bedingungen formuliert, kannst du diese in mathematische Gleichungen übersetzen.

Ebenso kannst du auch schon die Funktionswerte und Steigungen von f(x)f(x)f(x) und h(x)h(x)h(x) an den Stellen x_1=0x1=0x_1=0 und x_2= 2x2=2x_2= 2 berechnen.

Hierzu findest du im Folgenden die Funktionsgleichungen und Ableitungen:

\begin{aligned} &f(x) &&= x^2-2 \\ &f'(x) &&= 2x \end{aligned}f(x)=x22f(x)=2x\begin{aligned} &f(x) &&= x^2-2 \\ &f'(x) &&= 2x \end{aligned}\begin{aligned} &h(x) &&= -1 \\ &h'(x) &&= 0 \end{aligned}h(x)=1h(x)=0\begin{aligned} &h(x) &&= -1 \\ &h'(x) &&= 0 \end{aligned}

Bedingung

Formelschreibweise

An der Stelle \col[4]{x_1 = 0}x1=0\col[4]{x_1 = 0} verläuft der Übergang \textsf{\col[4]{sprungfrei}}sprungfrei\textsf{\col[4]{sprungfrei}}.

~~
\begin{aligned} f(\col[4]{0}) &= g(\col[4]{0}) \\ \col[4]{-2} &= g(\col[4]{0}) \end{aligned}f(0)=g(0)2=g(0)\begin{aligned} f(\col[4]{0}) &= g(\col[4]{0}) \\ \col[4]{-2} &= g(\col[4]{0}) \end{aligned}

An der Stelle \col[5]{x_2 = 2}x2=2\col[5]{x_2 = 2} verläuft der Übergang \textsf{\col[5]{sprungfrei}}sprungfrei\textsf{\col[5]{sprungfrei}}.

~~
\begin{aligned} h(\col[5]{2}) &= g(\col[5]{2}) \\ \col[5]{-1} &= g(\col[5]{2}) \end{aligned}h(2)=g(2)1=g(2)\begin{aligned} h(\col[5]{2}) &= g(\col[5]{2}) \\ \col[5]{-1} &= g(\col[5]{2}) \end{aligned}

An der Stelle \col[6]{x_1 = 0}x1=0\col[6]{x_1 = 0} verläuft der Übergang \textsf{\col[6]{knickfrei}}knickfrei\textsf{\col[6]{knickfrei}}.

~~
\begin{aligned} f'(\col[6]{0}) &= g'(\col[6]{0}) \\ \col[6]{0} &= g'(\col[6]{0}) \end{aligned}f(0)=g(0)0=g(0)\begin{aligned} f'(\col[6]{0}) &= g'(\col[6]{0}) \\ \col[6]{0} &= g'(\col[6]{0}) \end{aligned}

An der Stelle \col[8]{x_2 = 2}x2=2\col[8]{x_2 = 2} verläuft der Übergang \textsf{\col[8]{knickfrei}}knickfrei\textsf{\col[8]{knickfrei}}.

~~
\begin{aligned} h'(\col[8]{2}) &= g'(\col[8]{2}) \\ \col[8]{0} &= g'(\col[8]{2}) \end{aligned}h(2)=g(2)0=g(2)\begin{aligned} h'(\col[8]{2}) &= g'(\col[8]{2}) \\ \col[8]{0} &= g'(\col[8]{2}) \end{aligned}

Schritt 2: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

Allgemeine Funktionsgleichung

Kennst du nun die Bedingungen, kannst du die allgemeine Funktionsgleichung von g(x)g(x)g(x) aufstellen.

Schaue dir hierzu die Anzahl an Bedingungen an.

Die Anzahl an aufgestellten Bedingungen beträgt 4.

Folglich ist die gesuchte Verbindungsfunktion g(x)g(x)g(x) von \textsf{\col[3]{Grad 3}}Grad3\textsf{\col[3]{Grad 3}}, da die Funktionsgleichung vier Parameter besitzt:

g (x) = ax^{\col[3]{3}} + b x^2 + c x + dg(x)=ax3+bx2+cx+dg (x) = ax^{\col[3]{3}} + b x^2 + c x + d
Ableitung

Um die Bedingungen für einen knickfreien Übergang in eine mathematische Gleichung umwandeln zu können, musst du die 1. Ableitung von g(x)g(x)g(x) bilden:

g '(x) = 3 a x^2 + 2 b x + cg(x)=3ax2+2bx+cg '(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c

Schritt 3: Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

In diesem Schritt setzt du alle Bedingungen aus Schritt 1 jeweils in die allgemeine Funktionsgleichung und die Ableitung von g(x)g(x)g(x) ein.

Du erhältst ein lineares Gleichungssystem:

\begin{aligned} \textit {I.} ~~~ \ f (\col[4]{0}) & = g (\col[4]{0}) \\ \col[4]{-2} & = a \cdot \col[4]{0}^3 & + & b \cdot \col[4]{0}^2 & + & c\cdot \col[4]{0} & + & d \\ \textit {II.} ~~ \ h (\col[5]{2}) & = g (\col[5]{2}) \\ \col[5]{-1} & = a \cdot \col[5]{2}^3 & + & b \cdot \col[5]{2}^2 & + & c\cdot \col[5]{2} & + & d \\ \textit {III.} \ f' (\col[6]{0}) & = g' (\col[6]{0}) \\ \col[6]{0} & = 3 \cdot a \cdot \col[6]{0}^2 & + & 2 \cdot b \cdot \col[6]{0} & + & c \\ \textit {IV.} \ h' (\col[8]{2}) & = g' (\col[8]{2}) \\ \col[8]{0} & = 3 \cdot a \cdot \col[8]{2}^2 & + & 2 \cdot b \cdot \col[8]{2} & + & c & & \end{aligned}I.f(0)=g(0)2=a03+b02+c0+dII.h(2)=g(2)1=a23+b22+c2+dIII.f(0)=g(0)0=3a02+2b0+cIV.h(2)=g(2)0=3a22+2b2+c\begin{aligned} \textit {I.} ~~~ \ f (\col[4]{0}) & = g (\col[4]{0}) \\ \col[4]{-2} & = a \cdot \col[4]{0}^3 & + & b \cdot \col[4]{0}^2 & + & c\cdot \col[4]{0} & + & d \\ \textit {II.} ~~ \ h (\col[5]{2}) & = g (\col[5]{2}) \\ \col[5]{-1} & = a \cdot \col[5]{2}^3 & + & b \cdot \col[5]{2}^2 & + & c\cdot \col[5]{2} & + & d \\ \textit {III.} \ f' (\col[6]{0}) & = g' (\col[6]{0}) \\ \col[6]{0} & = 3 \cdot a \cdot \col[6]{0}^2 & + & 2 \cdot b \cdot \col[6]{0} & + & c \\ \textit {IV.} \ h' (\col[8]{2}) & = g' (\col[8]{2}) \\ \col[8]{0} & = 3 \cdot a \cdot \col[8]{2}^2 & + & 2 \cdot b \cdot \col[8]{2} & + & c & & \end{aligned}

Vereinfache nun die Faktoren.

Ergänze außerdem die Nullen als Vorfaktoren. Das hilft dir im nächsten Schritt, das Gleichungssystem zu lösen.

\begin{aligned} & \textit{I.} \ & \col[4]{0} & \cdot & a & + & \col[4]{0} \cdot b & + & \col[4]{0} & \cdot c & + & \col[4]{1} \cdot d & = & \col[4]{-2} \\ & \textit{II.} \ & \col[5]{8} & \cdot & a & + & \col[5]{4} \cdot b & + & \col[5]{2} & \cdot c & + & \col[5]{1} \cdot d & = & \col[5]{-1} \\ & \textit{III.} \ & \col[6]{0} & \cdot & a & + & \col[6]{0} \cdot b & + & \col[6]{1} & \cdot c & + & \col[6]{0} \cdot d & = & \col[6]{0} \\ & \textit{IV.} \ & \col[8]{12} & \cdot & a & + & \col[8]{4} \cdot b & + & \col[8]{1} & \cdot d & + & \col[8]{0} \cdot d & = & \col[8]{0} \end{aligned}I.0a+0b+0c+1d=2II.8a+4b+2c+1d=1III.0a+0b+1c+0d=0IV.12a+4b+1d+0d=0\begin{aligned} & \textit{I.} \ & \col[4]{0} & \cdot & a & + & \col[4]{0} \cdot b & + & \col[4]{0} & \cdot c & + & \col[4]{1} \cdot d & = & \col[4]{-2} \\ & \textit{II.} \ & \col[5]{8} & \cdot & a & + & \col[5]{4} \cdot b & + & \col[5]{2} & \cdot c & + & \col[5]{1} \cdot d & = & \col[5]{-1} \\ & \textit{III.} \ & \col[6]{0} & \cdot & a & + & \col[6]{0} \cdot b & + & \col[6]{1} & \cdot c & + & \col[6]{0} \cdot d & = & \col[6]{0} \\ & \textit{IV.} \ & \col[8]{12} & \cdot & a & + & \col[8]{4} \cdot b & + & \col[8]{1} & \cdot d & + & \col[8]{0} \cdot d & = & \col[8]{0} \end{aligned}

Schritt 4: Lineares Gleichungssystem lösen

Das lineare Gleichungssystem kannst du nun mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

Übertrage hierzu die markierten Faktoren aus dem Gleichungssystem in eine Tabellenform und bringe es in die Stufenform.

Bemerke: Du kannst das lineare Gleichungssystem auf unterschiedliche Wege lösen. Die folgende Lösung ist nur eine mögliche Vorgehensweise.

Gauß-Algorithmus anwenden:
\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{1} & \col[4]{-2}\\ \col[5]{8} & \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{1} & \col[5]{-1}\\ \col[6]{0} & \col[6]{0} & \col[6]{1} & \col[6]{0} & \col[6]{0} \\ \col[8]{12} & \col[8]{4} & \col[8]{1} & \col[8]{0} & \col[8]{0} \end{array}abcd000128421100100124100\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{1} & \col[4]{-2}\\ \col[5]{8} & \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{1} & \col[5]{-1}\\ \col[6]{0} & \col[6]{0} & \col[6]{1} & \col[6]{0} & \col[6]{0} \\ \col[8]{12} & \col[8]{4} & \col[8]{1} & \col[8]{0} & \col[8]{0} \end{array}

An dieser Stelle kannst du die Zeilen tauschen. Durch das Tauschen erreichst du schon einen Teil der Stufenform:

\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[5]{8} & \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{1} & \col[5]{-1}\\ \col[8]{12} & \col[8]{4} & \col[8]{1} & \col[8]{0} & \col[8]{0} & \qquad | \ \textsf{2} \cdot \textsf{ II. Zeile} - \textsf{3} \cdot \textsf{I.Zeile}\\ 0 & 0 & \col[6]{1} & \col[6]{0} & \col[6]{0} \\ 0 & 0 & 0 & \col[4]{1} & \col[4]{-2} \end{array}abcd842111241002II.Zeile3I.Zeile0010000012\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[5]{8} & \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{1} & \col[5]{-1}\\ \col[8]{12} & \col[8]{4} & \col[8]{1} & \col[8]{0} & \col[8]{0} & \qquad | \ \textsf{2} \cdot \textsf{ II. Zeile} - \textsf{3} \cdot \textsf{I.Zeile}\\ 0 & 0 & \col[6]{1} & \col[6]{0} & \col[6]{0} \\ 0 & 0 & 0 & \col[4]{1} & \col[4]{-2} \end{array}\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[5]{8} & \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{1} & \col[5]{-1}\\ 0 & \col[8]{-4} & \col[8]{-4} & \col[8]{-3} & \col[8]{3}\\ 0 & 0 & \col[6]{1} & \col[6]{0} & \col[6]{0} \\ 0 & 0 & 0 & \col[4]{1} & \col[4]{-2} \end{array}abcd84211044330010000012\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[5]{8} & \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{1} & \col[5]{-1}\\ 0 & \col[8]{-4} & \col[8]{-4} & \col[8]{-3} & \col[8]{3}\\ 0 & 0 & \col[6]{1} & \col[6]{0} & \col[6]{0} \\ 0 & 0 & 0 & \col[4]{1} & \col[4]{-2} \end{array}
Rückübersetzung:

Die Stufenform ist erreicht. Nun kannst du das Gleichungssystem in die ursprüngliche Form überführen:

\begin{aligned} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 1. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{I.} \ & \col[5]{8} & \cdot & a & + & \col[5]{4} & \cdot & b & + & \col[5]{2} & \cdot & c & + & \col[5]{1} & \cdot & d & = & \col[5]{-1} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 2. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{II.} \ & & & & & \col[8]{-4} & \cdot & b & + & (\col[8]{-4}) & \cdot & c & + & (\col[8]{-3}) & \cdot & d & = & \col[8]{3} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 3. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{III.} \ & & & & & & & & & \col[6]{1} & \cdot & c & + & \col[6]{0} & \cdot & d & = & \col[6]{0} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 4. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{IV.} \ & & & & & & & & & & & & & \col[4]{1} & \cdot & d & = & \col[4]{-2} \end{aligned}I.8a+4b+2c+1d=1II.4b+(4)c+(3)d=3III.1c+0d=0IV.1d=2\begin{aligned} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 1. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{I.} \ & \col[5]{8} & \cdot & a & + & \col[5]{4} & \cdot & b & + & \col[5]{2} & \cdot & c & + & \col[5]{1} & \cdot & d & = & \col[5]{-1} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 2. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{II.} \ & & & & & \col[8]{-4} & \cdot & b & + & (\col[8]{-4}) & \cdot & c & + & (\col[8]{-3}) & \cdot & d & = & \col[8]{3} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 3. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{III.} \ & & & & & & & & & \col[6]{1} & \cdot & c & + & \col[6]{0} & \cdot & d & = & \col[6]{0} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 4. Zeile %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% & \textit{IV.} \ & & & & & & & & & & & & & \col[4]{1} & \cdot & d & = & \col[4]{-2} \end{aligned}

Bestimme nun schrittweise die Parameter \large \col[5]{a}a\large \col[5]{a}, \large \col[8]{b}b\large \col[8]{b}, \large \col[6]{c}c\large \col[6]{c} und \large \col[4]{d}d\large \col[4]{d}.

Fange hierzu mit der IV.IV.IV. Zeile an:

\begin{aligned} \col[4]{1} \cdot \col[4]{d} = \col[4]{-2 } \end{aligned}1d=2\begin{aligned} \col[4]{1} \cdot \col[4]{d} = \col[4]{-2 } \end{aligned}

Du erhältst:

\col[4]{d = -2}d=2\col[4]{d = -2}

Setze nun das berechnete \large \col[4]{d = -2}d=2\large \col[4]{d = -2} in die III.III.III.Zeile ein und löse nach \large \col[6]{c}c\large \col[6]{c} auf.

\begin{aligned} \col[6]{1} \cdot \col[6]{c} + \col[6]{0} \cdot \col[4]{d} &= \col[6]{0} \\ \col[6]{1} \cdot \col[6]{c} + \col[6]{0} \cdot (\col[4]{-2}) &= \col[6]{0} \\ \col[6]{c} &= \col[6]{0} \end{aligned}1c+0d=01c+0(2)=0c=0\begin{aligned} \col[6]{1} \cdot \col[6]{c} + \col[6]{0} \cdot \col[4]{d} &= \col[6]{0} \\ \col[6]{1} \cdot \col[6]{c} + \col[6]{0} \cdot (\col[4]{-2}) &= \col[6]{0} \\ \col[6]{c} &= \col[6]{0} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[6]{c = 0}c=0\col[6]{c = 0}

Als nächstes setzt du das berechnete \large \col[6]{c = 0}c=0\large \col[6]{c = 0} und \large \col[4]{d = -2}d=2\large \col[4]{d = -2} in die II.II.II.Zeile ein und löst die Gleichung nach \large \col[8]{b}b\large \col[8]{b} auf.

\begin{aligned} \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} + (\col[8]{-4}) \cdot \col[6]{c} + (\col[8]{-3}) \cdot \col[4]{d} &= \col[8]{3} \\ \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} + (\col[8]{-4}) \cdot \col[6]{0} + (\col[8]{-3}) \cdot (\col[4]{-2}) &= \col[8]{3} \\ \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} + 6 &= \col[8]{3} && \quad |-6 \\ \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} &= -3 && \quad |:(-4) \\ \col[8]{b} &= \col[8]{\frac{3}{4}} \end{aligned}4b+(4)c+(3)d=34b+(4)0+(3)(2)=34b+6=364b=3:(4)b=34\begin{aligned} \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} + (\col[8]{-4}) \cdot \col[6]{c} + (\col[8]{-3}) \cdot \col[4]{d} &= \col[8]{3} \\ \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} + (\col[8]{-4}) \cdot \col[6]{0} + (\col[8]{-3}) \cdot (\col[4]{-2}) &= \col[8]{3} \\ \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} + 6 &= \col[8]{3} && \quad |-6 \\ \col[8]{-4} \cdot \col[8]{b} &= -3 && \quad |:(-4) \\ \col[8]{b} &= \col[8]{\frac{3}{4}} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[8]{b = \frac{3}{4}}b=34\col[8]{b = \frac{3}{4}}

Den Parameter \large \col[5]{a}a\large \col[5]{a} erhältst du, indem du nun \large \col[8]{b = \frac{3}{4}}b=34\large \col[8]{b = \frac{3}{4}}, \large \col[6]{c = 0}c=0\large \col[6]{c = 0} und \large \col[4]{d = -2}d=2\large \col[4]{d = -2} in Zeile III einsetzt und nach \large \col[5]{a}a\large \col[5]{a} umformst.

\begin{aligned} \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} + \col[5]{4} \cdot \col[8]{b} + \col[5]{2} \cdot \col[6]{c} + \col[5]{1} \cdot \col[4]{d} &= \col[5]{-1} \\ \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} + \col[5]{4} \cdot \col[8]{\frac{3}{4}} + \col[5]{2} \cdot \col[6]{0} + \col[5]{1} \cdot (\col[4]{-2}) &= \col[5]{-1} \\ \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} + 1 &= \col[5]{-1} && \qquad |-1 \\ \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} &= -2 && \qquad |:8 \\ \col[5]{a} &= \col[5]{-\frac{1}{4}} \\ \end{aligned}8a+4b+2c+1d=18a+434+20+1(2)=18a+1=118a=2:8a=14\begin{aligned} \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} + \col[5]{4} \cdot \col[8]{b} + \col[5]{2} \cdot \col[6]{c} + \col[5]{1} \cdot \col[4]{d} &= \col[5]{-1} \\ \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} + \col[5]{4} \cdot \col[8]{\frac{3}{4}} + \col[5]{2} \cdot \col[6]{0} + \col[5]{1} \cdot (\col[4]{-2}) &= \col[5]{-1} \\ \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} + 1 &= \col[5]{-1} && \qquad |-1 \\ \col[5]{8} \cdot \col[5]{a} &= -2 && \qquad |:8 \\ \col[5]{a} &= \col[5]{-\frac{1}{4}} \\ \end{aligned}

Du erhältst:

\col[5]{a = -\frac{1}{4}}a=14\col[5]{a = -\frac{1}{4}}
Überblick über alle Parameter:
\begin{aligned} \longrightarrow &\col[5]{a = -\frac{1}{4}} \\[1mm] \longrightarrow &\col[8]{b = \frac{3}{4}} \\[1mm] \longrightarrow &\col[6]{c = 0} \\[2mm] \longrightarrow &\col[4]{d =-2} \end{aligned}a=14b=34c=0d=2\begin{aligned} \longrightarrow &\col[5]{a = -\frac{1}{4}} \\[1mm] \longrightarrow &\col[8]{b = \frac{3}{4}} \\[1mm] \longrightarrow &\col[6]{c = 0} \\[2mm] \longrightarrow &\col[4]{d =-2} \end{aligned}

Schritt 5: Exakte Funktionsgleichung

Setze die Parameter \large \col[5]{a = - \frac{1}{4}}a=14\large \col[5]{a = - \frac{1}{4}}, \large \col[8]{b = \frac{3}{4}}b=34\large \col[8]{b = \frac{3}{4}}, \large \col[6]{c = 0}c=0\large \col[6]{c = 0} und \large \col[4]{d = -2}d=2\large \col[4]{d = -2} in die allgemeine Funktionsgleichung

g(x) = \col[5]{a} \cdot x^3 + \col[8]{b} \cdot x^2 + \col[6]{c} \cdot x + \col[4]{d}g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = \col[5]{a} \cdot x^3 + \col[8]{b} \cdot x^2 + \col[6]{c} \cdot x + \col[4]{d}

ein.

Du erhältst:

\begin{aligned} g(x) &= \col[5]{-\frac{1}{4}} \cdot x^3 + \col[8]{\frac{3}{4}} \cdot x^2 + \col[6]{0} \cdot x +\col[4]{-2} \\[1mm] &= \lsg{\col[5]{-\frac{1}{4}} \cdot x^3 + \col[8]{\frac{3}{4}} \cdot x^2 \col[4]{-2}} \end{aligned}g(x)=14x3+34x2+0x+2=14x3+34x22\begin{aligned} g(x) &= \col[5]{-\frac{1}{4}} \cdot x^3 + \col[8]{\frac{3}{4}} \cdot x^2 + \col[6]{0} \cdot x +\col[4]{-2} \\[1mm] &= \lsg{\col[5]{-\frac{1}{4}} \cdot x^3 + \col[8]{\frac{3}{4}} \cdot x^2 \col[4]{-2}} \end{aligned}
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