Satz von Vieta

Mit dem Satz von Vieta kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

p = -(x_1+x_2)p=(x1+x2)p = -(x_1+x_2)q = x_1\cdot x_2q=x1x2q = x_1\cdot x_2

Erklärung

Anwendung

Wenn du eine quadratische Funktion in normierter Form hast, also

f(x) = x^2+px+qf(x)=x2+px+qf(x) = x^2+px+q

kannst du mit etwas Probieren auf die Nullstellen der Funktion kommen.

Es gilt nämlich der Zusammenhang

p = -(x_1+x_2)p=(x1+x2)p = -(x_1+x_2)q = x_1\cdot x_2q=x1x2q = x_1\cdot x_2

Wenn du also erkennst, dass der konstante Term qqq sich als Produkt von zwei Zahlen

q= x_1 \cdot x_2q=x1x2q= x_1 \cdot x_2

schreiben lässt UND gleichzeitig sich ppp als (negative) Summe dieser beiden Zahlen schreiben lässt

p=-(x_1+x_2)p=(x1+x2)p=-(x_1+x_2)

dann sind die beiden Zahlen x_1, x_2x1,x2x_1, x_2 die Nullstellen der Funktion.

Herleitung

EIne quadratische Funktion mit den Nullstellen

x_1, x_2x1,x2x_1, x_2

kannst du so darstellen

f(x) = (x-x_1)\cdot(x-x_2)f(x)=(xx1)(xx2)f(x) = (x-x_1)\cdot(x-x_2)

Denn wenn du die Nullstellen einsetzt, kommt Null raus.

Wenn du die Funktion ausmultiplizierst, dann erhältst du

f(x) = x\cdot x + x\cdot (-x_2) + (-x_1)\cdot x + (-x_1)\cdot (-x_2)f(x)=xx+x(x2)+(x1)x+(x1)(x2)f(x) = x\cdot x + x\cdot (-x_2) + (-x_1)\cdot x + (-x_1)\cdot (-x_2)

Wenn du das ganze noch vereinfachst, erhältst du

f(x) = x^2 -(x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2f(x)=x2(x1+x2)x+x1x2f(x) = x^2 -(x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2

Jetzt kannst du die Koeffizienten noch umbenennen

p:= -(x_1+x_2)p:=(x1+x2)p:= -(x_1+x_2)q:= x_1\cdot x_2q:=x1x2q:= x_1\cdot x_2

und du bekommst die bekannte Form

f(x) = x^2+px+qf(x)=x2+px+qf(x) = x^2+px+q

Beispiele

Satz von Vieta - einfach

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2-5x+6f(x)=x25x+6f(x) = x^2-5x+6

mit dem Satz von Vieta.

Lösungsweg

Bestimme als Erstes die Koeffizienten ppp und qqq.

p=-5p=5p=-5q=6q=6q=6

Es gilt dann

-5 = -(x_1+x_2)5=(x1+x2)-5 = -(x_1+x_2)6 = x_1\cdot x_26=x1x26 = x_1\cdot x_2

Jetzt musst du Probieren, welche Werte passen könnten.

Damit gilt:

-5 = -(2 + 3)5=(2+3)-5 = -(2 + 3)6 = 2\cdot36=236 = 2\cdot3

Die Nullstellen der Funktion lauten dann:

\implies \underline{\underline{x_1 = 2}}x1=2\implies \underline{\underline{x_1 = 2}}\implies \underline{\underline{x_2 = 3}}x2=3\implies \underline{\underline{x_2 = 3}}

Satz von Vieta - schwierig

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2+14x+49f(x)=x2+14x+49f(x) = x^2+14x+49

mit dem Satz von Vieta.

Lösungsweg

Bestimme als Erstes die Koeffizienten ppp und qqq.

p=14p=14p=14q=49q=49q=49

Es gilt dann

14 = -(x_1+x_2)14=(x1+x2)14 = -(x_1+x_2)49 = x_1\cdot x_249=x1x249 = x_1\cdot x_2

Jetzt musst du Probieren, welche Werte passen könnten.

Damit gilt:

14 = -((-7) + (-7))14=((7)+(7))14 = -((-7) + (-7))49 = (-7)\cdot(-7)49=(7)(7)49 = (-7)\cdot(-7)

Die Nullstellen der Funktion lauten dann:

\implies \underline{\underline{x_1 = (-7)}}x1=(7)\implies \underline{\underline{x_1 = (-7)}}\implies \underline{\underline{x_2 = (-7)}}x2=(7)\implies \underline{\underline{x_2 = (-7)}}
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