Satz von Vieta

Mit dem Satz von Vieta kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

Erklärung

Anwendung

Wenn du eine quadratische Funktion in normierter Form hast, also

kannst du mit etwas Probieren auf die Nullstellen der Funktion kommen.

Es gilt nämlich der Zusammenhang

Wenn du also erkennst, dass der konstante Term q$q$ sich als Produkt von zwei Zahlen

schreiben lässt UND gleichzeitig sich p$p$ als (negative) Summe dieser beiden Zahlen schreiben lässt

dann sind die beiden Zahlen x_1, x_2$x_1, x_2$ die Nullstellen der Funktion.

Herleitung

EIne quadratische Funktion mit den Nullstellen

kannst du so darstellen

Denn wenn du die Nullstellen einsetzt, kommt Null raus.

Wenn du die Funktion ausmultiplizierst, dann erhältst du

Wenn du das ganze noch vereinfachst, erhältst du

Jetzt kannst du die Koeffizienten noch umbenennen

und du bekommst die bekannte Form

Beispiele

Satz von Vieta - einfach

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion

mit dem Satz von Vieta.

Lösungsweg

Bestimme als Erstes die Koeffizienten p$p$ und q$q$.

Es gilt dann

Jetzt musst du Probieren, welche Werte passen könnten.

Damit gilt:

Die Nullstellen der Funktion lauten dann:

Satz von Vieta - schwierig

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion

mit dem Satz von Vieta.

Lösungsweg

Bestimme als Erstes die Koeffizienten p$p$ und q$q$.

Es gilt dann

Jetzt musst du Probieren, welche Werte passen könnten.

Damit gilt:

Die Nullstellen der Funktion lauten dann: