Ableitung der Wurzelfunktion

Wenn du dich in der Schule gerade mit dem Thema Analysis und der Differentialrechnung beschäftigst, werden dir Funktionen begegnen, die eine oder mehrere Wurzeln enthalten.

Wie kannst du solche Funktionen ableiten? simpleclub erklärt dir, wie es geht!


Ableitung der Wurzelfunktion einfach erklärt

Herleitung aus der Potenzregel

Die Wurzelfunktion lässt sich als Potenz mit rationalen Exponenten (also Brüchen als Hochzahl) schreiben.

f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}f(x)=x=x12f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

Zur Herleitung der Ableitung kannst du die Potenzregel verwenden.

f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}f(x)=12x121=12x12f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}

Das Minuszeichen im Exponenten bedeutet, dass du den Kehrwert bilden musst.

f'(x) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}f(x)=121x12f'(x) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

Und jetzt gilt wieder der Zusammenhang von oben.

f'(x) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=121x=12xf'(x) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ableitung einer Wurzelfunktion Definition

Die Ableitung der Wurzel berechnet sich wie folgt:

f(x) = \sqrt{x}f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Graphische Darstellung Ableitung einer Wurzelfunktion

Funktion

Ableitung

f(x) = \sqrt{x}f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
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Wurzelfunktion

Kehrwert Wurzelfunktion

Anwendung der Kettenregel

f(x) = \sqrt{g(x)}f(x)=g(x)f(x) = \sqrt{g(x)}f'(x) = g'(x)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}f(x)=g(x)12g(x)=g(x)2g(x)f'(x) = g'(x)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

Du rechnest: innere Ableitung mal äußere Ableitung (Wurzel).

Höhere Wurzeln

Mit der Potenzregel lassen sich auch 3-te, 4-te und höhere Wurzeln ableiten.

f(x) = \sqrt[n]{x} ,\quad n\in\{2,3,4,\ldots\}f(x)=xn,n{2,3,4,}f(x) = \sqrt[n]{x} ,\quad n\in\{2,3,4,\ldots\}

Schreibe die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten.

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n}f(x)=xn=x1nf(x) = \sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n}

Verwende nun die Potenzregel.

f'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1} = \dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-\frac{n}{n}}=\dfrac{1}{n}\cdot x^{-\frac{n-1}{n}}f(x)=1nx1n1=1nx1nnn=1nxn1nf'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1} = \dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-\frac{n}{n}}=\dfrac{1}{n}\cdot x^{-\frac{n-1}{n}}

Das Minuszeichen im Exponenten bedeutet, dass du den Kehrwert bilden musst.

f'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{x^\frac{n-1}{n}}f(x)=1n1xn1nf'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{x^\frac{n-1}{n}}

Nutze den Zusammenhang von oben. Beachte die n-1 als Hochzahl!

f'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^{\textcolor{sc_color_1}{n-1}}}}f(x)=1n1xn1nf'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^{\textcolor{#7F7706}{n-1}}}}

Beispiele Ableitung einer Wurzelfunktion

Dritte Wurzel - Anwendung Potenzregel

Bestimme die Ableitung von

f(x) = \sqrt[3]{x}f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x}

Zur Lösung der Aufgabe, benutzt du am besten den Zusammenhang zur Potenzregel.

Es gilt

f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}f(x)=x3=x13f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

Verwende nun die Potenzregel.

f'(x) = \frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}f(x)=13x131=13x23f'(x) = \frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}

Das Minuszeichen im Exponenten bedeutet, dass du den Kehrwert bilden musst.

f'(x) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}f(x)=131x23f'(x) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

Nutze den Zusammenhang von oben. Beachte die 2 als Hochzahl!

f'(x) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{ \sqrt[3]{x^\textcolor{sc_color_1}{2}}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^\textcolor{sc_color_1}{2}}}f'(x) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{ \sqrt[3]{x^\textcolor{#7F7706}{2}}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^\textcolor{#7F7706}{2}}}

Quadratwurzel - Kettenregel einfach

f(x) = \sqrt{2x}f(x)=2xf(x) = \sqrt{2x}f'(x) = 2\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2x}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}f(x)=2122x=12xf'(x) = 2\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2x}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}

Du rechnest: Innere Ableitung mal äußere Ableitung (Wurzel).

Quadratwurzel - Kettenregel schwierig

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{\sqrt{\textcolor{sc_color_2}{x^4+1}}}f(x)=x4+1f(x) = \textcolor{#7F7706}{\sqrt{\textcolor{#0069FC}{x^4+1}}}f'(x) = \textcolor{sc_color_2}{4x^3} \cdot \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{sc_color_2}{x^4+1}}}}f(x)=4x312x4+1f'(x) = \textcolor{#0069FC}{4x^3} \cdot \textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{#0069FC}{x^4+1}}}}

Du rechnest: Innere Ableitung mal äußere Ableitung (Wurzel).

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