Integral und Mittelwert einer Funktion

Wenn du dich in Mathe gerade mit dem Thema Analysis und der Integralrechnung beschäftigst, wird dir auch der Mittelwert begegnen.

Diesen sollst du zum Beispiel in Klausuren oder Tests berechnen.

simpleclub zeigt dir, wie das geht.


Mittelwert einfach erklärt

Der Mittelwert y_mymy_m ist eine Anwendung des arithmetischen Mittels.

Das arithmetische Mittel benutzt du nur für einzelne, also diskrete Datenwerte.

Mit Hilfe eines Integrals kannst du nun den Durchschnitt eines Datensatzes berechnen, wobei die Daten kontinuierlich durch eine Funktion f(x)f(x)f(x) (also eine stetige Funktion) gegeben sind.

In der unteren Animation siehst du einen Temperaturverlauf zwischen 888 Uhr und 202020 Uhr. Durch tippen des Schalters kannst du dir die durchschnittliche Temperatur an diesem Tag anzeigen lassen.

Tippe den Schalter!

Beispiele:

  • f(x)f(x)f(x) = Temperaturverlauf \longrightarrow y_mym\longrightarrow y_m = durchschnittliche Temperatur
  • h(t)h(t)h(t) = Flugkurve \longrightarrow y_mym\longrightarrow y_m = durchschnittliche Flughöhe
  • v(t)v(t)v(t) = Geschwindigkeitsverlauf \longrightarrow y_mym\longrightarrow y_m = mittlere Geschwindigkeit

Du hast hier also nicht nur einzelne Datenwerte, sondern du kannst zu jedem Zeitpunkt einen Datenwert bestimmen.

Mittelwert berechnen Definition

Der Mittelwert y_mymy_m einer stetigen Funktion f(x)f(x)f(x) im Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}] kann mit

y_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x ym=1baabf(x) dxy_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x

berechnet werden.

Mittelwert Herleitung

Schiebe den Regler.

Die Formel für den Mittelwert y_mymy_m kannst du im Prinzip mit der Definition des arithmetischen Mittels herleiten.

Das arithmetische Mittel entspricht der Summe aller Datenwerte durch die Anzahl der Datenwerte:

\begin{aligned} \bar{x}&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \\[2mm] &= \frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n) \end{aligned}xˉ=1ni=1nxi=1n(x1+x2+...+xn1+xn)\begin{aligned} \bar{x}&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \\[2mm] &= \frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n) \end{aligned}

Eine stetige Funktion f(x)f(x)f(x) soll im Intervall [\col[1]{a}; \col[2]{b}][a;b][\col[1]{a}; \col[2]{b}] nun die Datenwerte modellieren.

Dann ist der Mittelwert y_mymy_m gleich dem Wert des Integrals

\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}xabf(x) dx\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x

dividiert durch die Länge des Intervalls

\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}.1ba.\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}.

Der Mittelwert einer Funktion lässt sich also mit folgender Formel berechnen:

y_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}xym=1baabf(x) dxy_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x

Hierbei ist

  • \col[2]{b}b\col[2]{b} die obere Intervallgrenze und

  • \col[1]{a}a\col[1]{a} die untere Intervallgrenze

Anschaulich betrachtet entspricht der Mittelwert y_mymy_m also der Höhe y_mymy_m eines Rechtecks mit der Breite \col[2]{b} - \col[1]{a}ba\col[2]{b} - \col[1]{a}.

Schiebe den Regler nach rechts!

Mittelwert Übersicht

Arithmetisches Mittel

Mittelwert

diskrete Datenwerte

stetige Datenwerte

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i xˉ=1ni=1nxi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
y_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}xym=1baabf(x) dxy_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x

Mittelwert Beispiel

Aufgabenstellung

Bestimme den Mittelwert der Funktion

f(x)=x^2f(x)=x2f(x)=x^2

über dem Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1}][0;1][\col[1]{0};\col[2]{1}].

Lösung

Möchtest du den Mittelwert berechnen, musst du einfach die Funktion f(x)f(x)f(x) und die Intervallgrenzen \col[1]{0}0\col[1]{0} und \col[2]{1}1\col[2]{1} in die Formel für den Mittelwert einsetzen und ganz normal integrieren.

Den Bruch vor dem Integral kannst du hierbei einfach als konstanten Faktor betrachten:

\begin{aligned} y_m &=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x \\[2mm] &=\frac{1}{\col[2]{1}-\col[1]{0}}\int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^2\ \text{d}x \\[2mm] &=1\int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^2\ \text{d}x \\[2mm] &= \left[ \frac{1}{3}x^3\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\cdot\col[2]{1}^3-\frac{1}{3}\cdot\col[1]{0}^3 \\[2mm] &= \lsg{\frac{1}{3}} \end{aligned}ym=1baabf(x) dx=11001x2 dx=101x2 dx=[13x3]01=13131303=13\begin{aligned} y_m &=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x \\[2mm] &=\frac{1}{\col[2]{1}-\col[1]{0}}\int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^2\ \text{d}x \\[2mm] &=1\int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^2\ \text{d}x \\[2mm] &= \left[ \frac{1}{3}x^3\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\cdot\col[2]{1}^3-\frac{1}{3}\cdot\col[1]{0}^3 \\[2mm] &= \lsg{\frac{1}{3}} \end{aligned}

Der Mittelwert der Funktion f(x)f(x)f(x) über dem Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1}][0;1][\col[1]{0};\col[2]{1}] beträgt y_m=\frac{1}{3}ym=13y_m=\frac{1}{3}.

Tippe den Schalter!

Integral und Mittelwert Zusammenfassung

Mithilfe des Integrals kannst du von einer gegebenen Funktion den Mittelwert auf einem bestimmten Intervall berechnen.

Der Mittelwert y_mymy_m einer stetigen Funktion f(x)f(x)f(x) im Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}] kann mit

y_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x ym=1baabf(x) dxy_m=\frac{1}{\col[2]{b}-\col[1]{a}}\int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}f(x)\ \text{d}x

berechnet werden.

Von großer Bedeutung für die Berechnung des Mittelwerts sind dabei die Grenzen des Intervalls.

Klar, denn auf einem anderen Intervall hat die Funktion natürlich auch einen anderen Mittelwert.

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