Substitutionsregel

Mit der Substitutionsregel kannst du spezielle verkettete Funktionen integrieren und ihre Stammfunktion bestimmen.

\int_{a}^{b} f\left(g(x)\right)\cdot g'(x) \space dx = \left[F\left(g(x)\right)\right]_{a}^{b}abf(g(x))g(x)dx=[F(g(x))]ab\int_{a}^{b} f\left(g(x)\right)\cdot g'(x) \space dx = \left[F\left(g(x)\right)\right]_{a}^{b}

Erklärung

Die Substitutionsregel kannst du verwenden, wenn dein Integral eine spezielle Form hat.

\int_{a}^{b} f\left(g(x)\right)\cdot g'(x) \space dx = \left[F\left(g(x)\right)\right]_{a}^{b}abf(g(x))g(x)dx=[F(g(x))]ab\int_{a}^{b} f\left(g(x)\right)\cdot g'(x) \space dx = \left[F\left(g(x)\right)\right]_{a}^{b}

Du wendest die Kettenregel rückwärts an.

Die zu integrierende Funktion muss also das Ergebnis der Kettenregel sein.

Die innere Funktion wird substituiert (ersetzt) durch einen einfacheren Term. Zum Beispiel:

z:=g(x)z:=g(x)z:=g(x)

Dann kannst du die Formel noch anders aufschreiben:

\int_{a}^{b} f(g(x))\cdot g'(x)\space dx = \left[F(g(x))\right]_{a}^{b}abf(g(x))g(x)dx=[F(g(x))]ab\int_{a}^{b} f(g(x))\cdot g'(x)\space dx = \left[F(g(x))\right]_{a}^{b}= \left[F(z)\right]_{g(a)}^{g(b)} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\space dz=[F(z)]g(a)g(b)=g(a)g(b)f(z)dz= \left[F(z)\right]_{g(a)}^{g(b)} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\space dz

Beachte: Die Integralgrenzen ändern sich! Wenn du sie einsetzt, steht aber genau das gleiche da.

\left[F(z)\right]_{g(a)}^{g(b)} = F(g(b)) - F(g(a))= \left[F(g(x))\right]_{a}^{b}[F(z)]g(a)g(b)=F(g(b))F(g(a))=[F(g(x))]ab\left[F(z)\right]_{g(a)}^{g(b)} = F(g(b)) - F(g(a))= \left[F(g(x))\right]_{a}^{b}

Vorgehen

Du kannst dich an folgenden Schritten orientieren:

  1. Bestimme die innere Funktion.
  2. Substituiere die innere Funktion.
  3. Bestimme die äußere Funktion und schreibe sie mit der substituierten Form auf.
  4. Vergewissere dich, dass die Ableitung der inneren Funktion im Integral steht.
  5. Bilde die Stammfunktion der äußeren Funktion.
  6. Setze alles in die Formel ein.
  7. Beachte die Integralgrenzen.

Beispiele

Substitution - einfach

Berechne das Integral

\int3\cdot (3x-4)^4\space dx3(3x4)4dx\int3\cdot (3x-4)^4\space dx

mittels Substitution.

Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Bestimme zunächst die innere Funktion.

g(x) = 3x-4g(x)=3x4g(x) = 3x-4

Substituiere die innere Funktion durch:

z:= g(x) = 3x-4z:=g(x)=3x4z:= g(x) = 3x-4

Dann gilt für die äußere Funktion:

f(z) = f(g(x)) = (3x-4)^4 = z^4f(z)=f(g(x))=(3x4)4=z4f(z) = f(g(x)) = (3x-4)^4 = z^4

Die Ableitung der inneren Funktion lautet dann:

z'=g'(x) =3z=g(x)=3z'=g'(x) =3

Sie steht als Faktor im Integral!

Das Integral kannst du also mittels Substitution lösen.

\int \textcolor{sc_color_1}{3}\cdot \textcolor{sc_color_2}{(}\textcolor{sc_color_1}{3x-4}\textcolor{sc_color_2}{)^4}\space dx = \int \textcolor{sc_color_1}{g'(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{f(}\textcolor{sc_color_1}{g(x)}\textcolor{sc_color_2}{)}\space dx3(3x4)4dx=g(x)f(g(x))dx\int \textcolor{#7F7706}{3}\cdot \textcolor{#0069FC}{(}\textcolor{#7F7706}{3x-4}\textcolor{#0069FC}{)^4}\space dx = \int \textcolor{#7F7706}{g'(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{f(}\textcolor{#7F7706}{g(x)}\textcolor{#0069FC}{)}\space dx= \left[\textcolor{sc_color_2}{F(}\textcolor{sc_color_1}{g(x)}\textcolor{sc_color_2}{)}\right] = \textcolor{sc_color_2}{F(}\textcolor{sc_color_1}{3x-4}\textcolor{sc_color_2}{)}=[F(g(x))]=F(3x4)= \left[\textcolor{#0069FC}{F(}\textcolor{#7F7706}{g(x)}\textcolor{#0069FC}{)}\right] = \textcolor{#0069FC}{F(}\textcolor{#7F7706}{3x-4}\textcolor{#0069FC}{)}

Bestimme noch eine Stammfunktion der äußeren Funktion.

F(z) = \int f(z) \space dz = \int z^4 \space dz = \frac{1}{5}\cdot z^5F(z)=f(z)dz=z4dz=15z5F(z) = \int f(z) \space dz = \int z^4 \space dz = \frac{1}{5}\cdot z^5

Und setze schließlich ein:

\textcolor{sc_color_2}{F(}\textcolor{sc_color_1}{3x-4}\textcolor{sc_color_2}{)} = \textcolor{sc_color_2}{F(}\textcolor{sc_color_1}{z}\textcolor{sc_color_2}{)} =\textcolor{sc_color_2}{\frac{1}{5}\cdot( }\textcolor{sc_color_1}{z}\textcolor{sc_color_2}{)^5}= \textcolor{sc_color_2}{\frac{1}{5}\cdot( }\textcolor{sc_color_1}{3x-4}\textcolor{sc_color_2}{)^5}F(3x4)=F(z)=15(z)5=15(3x4)5\textcolor{#0069FC}{F(}\textcolor{#7F7706}{3x-4}\textcolor{#0069FC}{)} = \textcolor{#0069FC}{F(}\textcolor{#7F7706}{z}\textcolor{#0069FC}{)} =\textcolor{#0069FC}{\frac{1}{5}\cdot( }\textcolor{#7F7706}{z}\textcolor{#0069FC}{)^5}= \textcolor{#0069FC}{\frac{1}{5}\cdot( }\textcolor{#7F7706}{3x-4}\textcolor{#0069FC}{)^5}

Hier musst du keine Integralgrenzen einsetzen, weil es in der Aufgabenstellung nicht gefordert war.

Substitution mit Ergänzung der Konstanten

Berechne das Integral

\int_{0}^{1} x\cdot e^{x^2}\space dx01xex2dx\int_{0}^{1} x\cdot e^{x^2}\space dx

mittels Substitution.

Es gibt eine verkettete Funktion, nämlich

e^{x^2}ex2e^{x^2}

Bestimme zunächst die innere Funktion.

g(x) = x^2g(x)=x2g(x) = x^2

Substituiere die innere Funktion durch:

z:=g(x) = x^2z:=g(x)=x2z:=g(x) = x^2

Dann gilt für die äußere Funktion:

f(z) =f(g(x)) = e^{x^2} = e^zf(z)=f(g(x))=ex2=ezf(z) =f(g(x)) = e^{x^2} = e^z

Die Ableitung der inneren Funktion lautet dann:

z'= g'(x) = 2xz=g(x)=2xz'= g'(x) = 2x

Sie steht noch nicht im Integral.

Da du einen linearen Term hast, kannst du dir den gesuchten Faktor ergänzen. Es gilt dann:

\int_{0}^{1} \textcolor{sc_color_4}{1}\cdot x\cdot e^{x^2}\space dx = \textcolor{sc_color_4}{\frac{1}{2}}\cdot \int_{0}^{1} \textcolor{sc_color_4}{2}\cdot x\cdot e^{x^2}\space dx011xex2dx=12012xex2dx\int_{0}^{1} \textcolor{#00856C}{1}\cdot x\cdot e^{x^2}\space dx = \textcolor{#00856C}{\frac{1}{2}}\cdot \int_{0}^{1} \textcolor{#00856C}{2}\cdot x\cdot e^{x^2}\space dx

Das Integral kannst du also mittels Substitution lösen.

\frac{1}{2}\cdot \int \textcolor{sc_color_1}{2x}\cdot \textcolor{sc_color_2}{e}^\textcolor{sc_color_1}{x^2}\space dx =\frac{1}{2}\cdot \int \textcolor{sc_color_1}{g'(x)}\cdot \textcolor{sc_color_2}{f(}\textcolor{sc_color_1}{g(x)}\textcolor{sc_color_2}{)}\space dx\frac{1}{2}\cdot \int \textcolor{#7F7706}{2x}\cdot \textcolor{#0069FC}{e}^\textcolor{#7F7706}{x^2}\space dx =\frac{1}{2}\cdot \int \textcolor{#7F7706}{g'(x)}\cdot \textcolor{#0069FC}{f(}\textcolor{#7F7706}{g(x)}\textcolor{#0069FC}{)}\space dx

Bestimme noch eine Stammfunktion der äußeren Funktion.

F(z) = \int f(z) \space dz = \int e^z \space dz = e^zF(z)=f(z)dz=ezdz=ezF(z) = \int f(z) \space dz = \int e^z \space dz = e^z

Und setze schließlich (mit den Integralgrenzen) ein:

= \frac{1}{2}\cdot \left[\textcolor{sc_color_2}{F(}\textcolor{sc_color_1}{x^2}\textcolor{sc_color_2}{)}\right]_{0}^{1}=12[F(x2)]01= \frac{1}{2}\cdot \left[\textcolor{#0069FC}{F(}\textcolor{#7F7706}{x^2}\textcolor{#0069FC}{)}\right]_{0}^{1}= \frac{1}{2} \cdot \left[\textcolor{sc_color_2}{e}^{\textcolor{sc_color_1}{x^2}}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \left[e^{1^2}-e^{0^2}\right]=12[ex2]01=12[e12e02]= \frac{1}{2} \cdot \left[\textcolor{#0069FC}{e}^{\textcolor{#7F7706}{x^2}}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \left[e^{1^2}-e^{0^2}\right]= \frac{1}{2} \cdot \left[e-1\right]=\frac{e-1}{2}=12[e1]=e12= \frac{1}{2} \cdot \left[e-1\right]=\frac{e-1}{2}
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