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Substitution

Bei der Substitution ersetzt (auch substituierst) du einen bestimmten Term deiner Gleichung durch einen anderen Term, oft nur eine einzelne Variable.

Du erleichterst dir also den Rechenweg, indem du etwas Schweres durch etwas Einfaches vorübergehend ersetzt.

Vorgehensweise

Um eine Substitution durchzuführen, gehst du wie folgt vor:

Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen

Zunächst überlegst du dir, welchen Term du ersetzen könntest. Dann setzt du für diesen etwas anderes ein, etwa eine Variable.

Das Ziel soll sein, dir die Gleichung durch die Substitution zu erleichtern. Deswegen ergibt es Sinn, als zu ersetzenden Term einen Term zu wählen, der mindestens zweimal in der Gleichung vorkommt.

Beispiel:

0=2x^4-6x^2-8

0=2x^4-6x^2-8

Der Term x^2 $x^2$ ist in zwei der Summanden enthalten. Versuche daher, diesen durch eine Variable, zum Beispiel z $z$ , zu ersetzen.

Das ist sinnvoll, weil du Terme wie x^4 $x^4$ mit Potenzgesetzen umschreiben kannst:

\implies x^4=(x^2)^2

\implies x^4=(x^2)^2

Setze also:

z=x^2

z=x^2

Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen

Für das Beispiel bedeutet das:

z=x^2 \implies 0=2z^2-6z-8

z=x^2 \implies 0=2z^2-6z-8

Das ist nun also die eigentliche Substitution - du ersetzt deinen gewählten Term durch deine Variable und erhältst eine neue, deutlich einfachere Gleichung.

Schritt 3: Neue Gleichung lösen

Diese neue Gleichung musst du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen.

Für das Beispiel lauten die Nullstellen der neuen Gleichung:

\implies z_1=4; z_2=-1

\implies z_1=4; z_2=-1

Dies kannst du zum Beispiel mit der pq-Formel lösen.

Schritt 4: Rücksubstitution

Nun setzt du die so berechneten Nullstellen wieder mit dem ersetzten Term aus Schritt 1 gleich und berechnest somit die eigentlichen Nullstellen, indem du nach x $x$ auflöst.

Für das Beispiel bedeutet das:

z=x^2

z=x^2

\begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}};\quad \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}};\quad \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned}

Das sind schon mal zwei Lösungen. Nun überprüfst du noch den zweiten z $z$ -Wert:

\begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-1} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-1} \end{aligned}

Hier gibt es keine reelle Lösung, weil der Ausdruck (negative Zahl in einer Quadratwurzel) nicht definiert ist.

Du erhältst also insgesamt zwei Nullstellen und es ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge:

\implies \lsg{L=\{-2;2\}}

\implies \lsg{L=\{-2;2\}}

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Die größte Schwierigkeit besteht darin, den optimalen Term für das Ersetzen herauszufinden, was du mit den folgenden Beispielen festigen kannst.

Beispiele

Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthalten.

ax^4+bx^2+c=0

ax^4+bx^2+c=0

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion!

f(x)=x^4-2x^2-8

f(x)=x^4-2x^2-8

Lösung

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=x^4-2x^2-8 \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=x^4-2x^2-8 \end{aligned}

Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen

Wähle als zu ersetzenden Term

z=x^2

z=x^2

Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen

z=x^2 \implies 0=z^2-2z-8

z=x^2 \implies 0=z^2-2z-8

Schritt 3: Neue Gleichung lösen

0=z^2-2z-8

0=z^2-2z-8

Wende (zum Beispiel) die pq-Formel an.

z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-8)}

z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-8)}

\begin{aligned} & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{1+8} \\ & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{9} \\ & z_{1,2}=1 \pm 3 \\ &\implies \underline{\underline{z_1=4}}, \underline{\underline{z_2=-2}} \end{aligned}

\begin{aligned} & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{1+8} \\ & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{9} \\ & z_{1,2}=1 \pm 3 \\ &\implies \underline{\underline{z_1=4}}, \underline{\underline{z_2=-2}} \end{aligned}

Schritt 4: Rücksubstitution

Setze die erhaltenen Werte für z $z$ in den Term aus Schritt 1 ein und löse nach x $x$ auf.

z=x^2

z=x^2

\begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}}, \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}}, \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned}

Das sind schon mal zwei Lösungen. Nun überprüfst du noch den zweiten z $z$ -Wert.

\begin{aligned} &\implies z_2=-2 \implies -2=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-2} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies z_2=-2 \implies -2=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-2} \end{aligned}

Hier gibt es keine reelle Lösung, weil der Ausdruck (negative Zahl in einer Quadratwurzel) nicht definiert ist.

Du erhältst also insgesamt zwei Nullstellen und es ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge:

\implies \lsg{L=\{-2;2\}}

\implies \lsg{L=\{-2;2\}}

Übungen gefällig?

Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

Lerne mehr und teste dein Wissen mit dem Übungstest.

Funktion 6. Grades

Du kannst diese Taktik auch für Funktionen noch höheren Grades anwenden.

Für die Funktion

f(x)=x^6-2x^3-8

f(x)=x^6-2x^3-8

substituierst du dann einfach mit

z=x^3

z=x^3

Denn mit den Potenzgesetzen ergibt sich für x^6 $x^6$

x^6=(x^3)^2 \implies x^6=z^2

x^6=(x^3)^2 \implies x^6=z^2

und du erhältst als neue Gleichung für die Nullstellenberechnung

0=z^2-2z-8

0=z^2-2z-8

Die Lösungen (kannst du nochmal selbständig mit dem beschriebenen Prinzip ausprobieren) hierfür lauten

\implies \underline{\underline{z_1=4, z_2=-2}}

\implies \underline{\underline{z_1=4, z_2=-2}}

Damit ergibt sich für die Gesamtlösung:

\implies \underline{\underline{x_1=\sqrt[3]{4}, x_2=\sqrt[3]{(-2)}}}

\implies \underline{\underline{x_1=\sqrt[3]{4}, x_2=\sqrt[3]{(-2)}}}

e-Funktion

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion!

f(x)=\e^{2x}-2\e^x-3

f(x)=\e^{2x}-2\e^x-3

Lösung

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\e^{2x}-2\e^x-3 \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\e^{2x}-2\e^x-3 \end{aligned}

Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen

Hier ist es etwas komplizierter - aber es fällt sofort auf, dass der Term \e^x $\e^x$ in den ersten beiden Summanden vorhanden ist - probiers damit!

\implies z=\e^x

\implies z=\e^x

Das ist sinnvoll, weil du Terme wie \e^{2x} $\e^{2x}$ wieder mit Potenzgesetzen umschreiben kannst:

\e^{2x}=(\e^x)^2

\e^{2x}=(\e^x)^2

Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen

So ergibt sich für die neue Gleichung:

z=e^x \implies 0=z^2-2z-3

z=e^x \implies 0=z^2-2z-3

Schritt 3: Neue Gleichung lösen

Wende wieder die pq-Formel an:

z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-3)}

z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-3)}

\begin{aligned} z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{1+3} \\ z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{4} \\ z_{1,2}&=1 \pm 2 \end{aligned}

\begin{aligned} z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{1+3} \\ z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{4} \\ z_{1,2}&=1 \pm 2 \end{aligned}

\implies \lsg{z_1=-1} \implies \lsg{z_2=3}

\implies \lsg{z_1=-1} \implies \lsg{z_2=3}

Schritt 4: Rücksubstitution

Setze die erhaltenen Werte für z $z$ in den Term aus Schritt 1 ein und löse nach x $x$ auf.

z=e^x

z=e^x

\begin{aligned} &\implies z_1=3 \implies 3=e^x \\ &\implies \underline{\underline{x_1=\ln{(3)}}} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies z_1=3 \implies 3=e^x \\ &\implies \underline{\underline{x_1=\ln{(3)}}} \end{aligned}

So hast du schon mal eine Lösung erhalten. Nun überprüfst du noch den zweiten z $z$ -Wert.

\begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=e^x \\ &\implies x=\ln{(-1)} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=e^x \\ &\implies x=\ln{(-1)} \end{aligned}

Hier gibt es keine reelle Lösung, da der Ausdruck (negative Zahl im natürlichen Logarithmus) nicht definiert ist.

Insgesamt erhältst du also eine Nullstelle bei x=\ln(3) $x=\ln(3)$ .

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Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen

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Biquadratische Gleichungen

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Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen

Schritt 3: Neue Gleichung lösen

Schritt 4: Rücksubstitution

Funktion 6. Grades

e-Funktion

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