Bei der Substitution ersetzt (auch substituierst ) du einen bestimmten Term deiner Gleichung durch einen anderen Term , oft nur eine einzelne Variable .
Du erleichterst dir also den Rechenweg, indem du etwas Schweres durch etwas Einfaches vorübergehend ersetzt.
Vorgehensweise
Um eine Substitution durchzuführen, gehst du wie folgt vor:
Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen
Zunächst überlegst du dir, welchen Term du ersetzen könntest. Dann setzt du für diesen etwas anderes ein, etwa eine Variable .
Das Ziel soll sein, dir die Gleichung durch die Substitution zu erleichtern. Deswegen ergibt es Sinn, als zu ersetzenden Term einen Term zu wählen, der mindestens zweimal in der Gleichung vorkommt.
0=2x^4-6x^2-8 0 = 2 x 4 − 6 x 2 − 8 0=2x^4-6x^2-8 0 = 2 x 4 − 6 x 2 − 8
Der Term x^2 x 2 x^2 x 2 Summanden enthalten. Versuche daher, diesen durch eine Variable , zum Beispiel z z z z
Das ist sinnvoll, weil du Terme wie x^4 x 4 x^4 x 4 Potenzgesetzen umschreiben kannst:
\implies x^4=(x^2)^2 ⟹ x 4 = ( x 2 ) 2 \implies x^4=(x^2)^2 ⟹ x 4 = ( x 2 ) 2
z=x^2 z = x 2 z=x^2 z = x 2
Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen
Für das Beispiel bedeutet das:
z=x^2 \implies 0=2z^2-6z-8 z = x 2 ⟹ 0 = 2 z 2 − 6 z − 8 z=x^2 \implies 0=2z^2-6z-8 z = x 2 ⟹ 0 = 2 z 2 − 6 z − 8
Das ist nun also die eigentliche Substitution - du ersetzt deinen gewählten Term durch deine Variable und erhältst eine neue, deutlich einfachere Gleichung .
Schritt 3: Neue Gleichung lösen
Diese neue Gleichung musst du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen.
Für das Beispiel lauten die Nullstellen der neuen Gleichung :
\implies z_1=4; z_2=-1 ⟹ z 1 = 4 ; z 2 = − 1 \implies z_1=4; z_2=-1 ⟹ z 1 = 4 ; z 2 = − 1
Dies kannst du zum Beispiel mit der pq-Formel lösen.
Schritt 4: Rücksubstitution
Nun setzt du die so berechneten Nullstellen wieder mit dem ersetzten Term aus Schritt 1 gleich und berechnest somit die eigentlichen Nullstellen , indem du nach x x x x .
Für das Beispiel bedeutet das:
z=x^2 z = x 2 z=x^2 z = x 2 \begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}};\quad \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned} ⟹ z 1 = 4 ⟹ 4 = x 2 ⟹ x 1 = − 2 ‾ ‾ ; x 2 = 2 ‾ ‾ \begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}};\quad \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned} ⟹ z 1 = 4 ⟹ 4 = x 2 ⟹ x 1 = − 2 ; x 2 = 2
Das sind schon mal zwei Lösungen . Nun überprüfst du noch den zweiten z z z z
\begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-1} \end{aligned} ⟹ z 2 = − 1 ⟹ − 1 = x 2 ⟹ x = − 1 \begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-1} \end{aligned} ⟹ z 2 = − 1 ⟹ − 1 = x 2 ⟹ x = − 1
Hier gibt es keine reelle Lösung , weil der Ausdruck (negative Zahl in einer Quadratwurzel) nicht definiert ist.
Du erhältst also insgesamt zwei Nullstellen und es ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge :
\implies \lsg{L=\{-2;2\}} ⟹ L = { − 2 ; 2 } ‾ ‾ \implies \lsg{L=\{-2;2\}} ⟹ L = { − 2 ; 2 } Klicke auf Start, um die Animation zu starten! App öffnen zum Interagieren
Die größte Schwierigkeit besteht darin, den optimalen Term für das Ersetzen herauszufinden, was du mit den folgenden Beispielen festigen kannst.
Beispiele
Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthalten.
ax^4+bx^2+c=0 a x 4 + b x 2 + c = 0 ax^4+bx^2+c=0 a x 4 + b x 2 + c = 0
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion !
f(x)=x^4-2x^2-8 f ( x ) = x 4 − 2 x 2 − 8 f(x)=x^4-2x^2-8 f ( x ) = x 4 − 2 x 2 − 8
Lösung \begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=x^4-2x^2-8 \end{aligned} f ( x ) = 0 0 = x 4 − 2 x 2 − 8 \begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=x^4-2x^2-8 \end{aligned} f ( x ) 0 = 0 = x 4 − 2 x 2 − 8
Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen
Wähle als zu ersetzenden Term
z=x^2 z = x 2 z=x^2 z = x 2
Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen z=x^2 \implies 0=z^2-2z-8 z = x 2 ⟹ 0 = z 2 − 2 z − 8 z=x^2 \implies 0=z^2-2z-8 z = x 2 ⟹ 0 = z 2 − 2 z − 8
Schritt 3: Neue Gleichung lösen 0=z^2-2z-8 0 = z 2 − 2 z − 8 0=z^2-2z-8 0 = z 2 − 2 z − 8
Wende (zum Beispiel) die pq-Formel an.
z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-8)} z 1 , 2 = − ( − 2 ) 2 ± ( ( − 2 ) 2 ) 2 − ( − 8 ) z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-8)} z 1 , 2 = − 2 ( − 2 ) ± ( 2 ( − 2 ) ) 2 − ( − 8 ) \begin{aligned} & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{1+8} \\ & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{9} \\ & z_{1,2}=1 \pm 3 \\ &\implies \underline{\underline{z_1=4}}, \underline{\underline{z_2=-2}} \end{aligned} z 1 , 2 = 1 ± 1 + 8 z 1 , 2 = 1 ± 9 z 1 , 2 = 1 ± 3 ⟹ z 1 = 4 ‾ ‾ , z 2 = − 2 ‾ ‾ \begin{aligned} & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{1+8} \\ & z_{1,2}=1 \pm \sqrt{9} \\ & z_{1,2}=1 \pm 3 \\ &\implies \underline{\underline{z_1=4}}, \underline{\underline{z_2=-2}} \end{aligned} z 1 , 2 = 1 ± 1 + 8 z 1 , 2 = 1 ± 9 z 1 , 2 = 1 ± 3 ⟹ z 1 = 4 , z 2 = − 2
Schritt 4: Rücksubstitution
Setze die erhaltenen Werte für z z z z in den Term aus Schritt 1 ein und löse nach x x x x .
z=x^2 z = x 2 z=x^2 z = x 2 \begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}}, \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned} ⟹ z 1 = 4 ⟹ 4 = x 2 ⟹ x 1 = − 2 ‾ ‾ , x 2 = 2 ‾ ‾ \begin{aligned} &\implies z_1=4 \implies 4=x^2 \\ &\implies \underline{\underline{x_1=-2}}, \underline{\underline{x_2=2}} \end{aligned} ⟹ z 1 = 4 ⟹ 4 = x 2 ⟹ x 1 = − 2 , x 2 = 2
Das sind schon mal zwei Lösungen . Nun überprüfst du noch den zweiten z z z z
\begin{aligned} &\implies z_2=-2 \implies -2=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-2} \end{aligned} ⟹ z 2 = − 2 ⟹ − 2 = x 2 ⟹ x = − 2 \begin{aligned} &\implies z_2=-2 \implies -2=x^2 \\ &\implies x=\sqrt{-2} \end{aligned} ⟹ z 2 = − 2 ⟹ − 2 = x 2 ⟹ x = − 2
Hier gibt es keine reelle Lösung , weil der Ausdruck (negative Zahl in einer Quadratwurzel) nicht definiert ist.
Du erhältst also insgesamt zwei Nullstellen und es ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge :
\implies \lsg{L=\{-2;2\}} ⟹ L = { − 2 ; 2 } ‾ ‾ \implies \lsg{L=\{-2;2\}} ⟹ L = { − 2 ; 2 }
Funktion 6. Grades
Du kannst diese Taktik auch für Funktionen noch höheren Grades anwenden.
f(x)=x^6-2x^3-8 f ( x ) = x 6 − 2 x 3 − 8 f(x)=x^6-2x^3-8 f ( x ) = x 6 − 2 x 3 − 8
substituierst du dann einfach mit
z=x^3 z = x 3 z=x^3 z = x 3
Denn mit den Potenzgesetzen ergibt sich für x^6 x 6 x^6 x 6
x^6=(x^3)^2 \implies x^6=z^2 x 6 = ( x 3 ) 2 ⟹ x 6 = z 2 x^6=(x^3)^2 \implies x^6=z^2 x 6 = ( x 3 ) 2 ⟹ x 6 = z 2
und du erhältst als neue Gleichung für die Nullstellenberechnung
0=z^2-2z-8 0 = z 2 − 2 z − 8 0=z^2-2z-8 0 = z 2 − 2 z − 8
Die Lösungen (kannst du nochmal selbständig mit dem beschriebenen Prinzip ausprobieren) hierfür lauten
\implies \underline{\underline{z_1=4, z_2=-2}} ⟹ z 1 = 4 , z 2 = − 2 ‾ ‾ \implies \underline{\underline{z_1=4, z_2=-2}} ⟹ z 1 = 4 , z 2 = − 2
Damit ergibt sich für die Gesamtlösung :
\implies \underline{\underline{x_1=\sqrt[3]{4}, x_2=\sqrt[3]{(-2)}}} ⟹ x 1 = 4 3 , x 2 = ( − 2 ) 3 ‾ ‾ \implies \underline{\underline{x_1=\sqrt[3]{4}, x_2=\sqrt[3]{(-2)}}} ⟹ x 1 = 3 4 , x 2 = 3 ( − 2 )
e-Funktion
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion!
f(x)=\e^{2x}-2\e^x-3 f ( x ) = e 2 x − 2 e x − 3 f(x)=\e^{2x}-2\e^x-3 f ( x ) = e 2 x − 2 e x − 3
Lösung \begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\e^{2x}-2\e^x-3 \end{aligned} f ( x ) = 0 0 = e 2 x − 2 e x − 3 \begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\e^{2x}-2\e^x-3 \end{aligned} f ( x ) 0 = 0 = e 2 x − 2 e x − 3
Schritt 1: Zu ersetzenden Term bestimmen
Hier ist es etwas komplizierter - aber es fällt sofort auf, dass der Term \e^x e x \e^x e x beiden Summanden vorhanden ist - probiers damit!
\implies z=\e^x ⟹ z = e x \implies z=\e^x ⟹ z = e x
Das ist sinnvoll, weil du Terme wie \e^{2x} e 2 x \e^{2x} e 2 x Potenzgesetzen umschreiben kannst:
\e^{2x}=(\e^x)^2 e 2 x = ( e x ) 2 \e^{2x}=(\e^x)^2 e 2 x = ( e x ) 2
Schritt 2: Neue Gleichung aufstellen
So ergibt sich für die neue Gleichung :
z=e^x \implies 0=z^2-2z-3 z = e x ⟹ 0 = z 2 − 2 z − 3 z=e^x \implies 0=z^2-2z-3 z = e x ⟹ 0 = z 2 − 2 z − 3
Schritt 3: Neue Gleichung lösen
Wende wieder die pq-Formel an:
z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-3)} z 1 , 2 = − ( − 2 ) 2 ± ( ( − 2 ) 2 ) 2 − ( − 3 ) z_{1,2} = -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-2)}{2}\right)^2-(-3)} z 1 , 2 = − 2 ( − 2 ) ± ( 2 ( − 2 ) ) 2 − ( − 3 ) \begin{aligned} z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{1+3} \\ z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{4} \\ z_{1,2}&=1 \pm 2 \end{aligned} z 1 , 2 = 1 ± 1 + 3 z 1 , 2 = 1 ± 4 z 1 , 2 = 1 ± 2 \begin{aligned} z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{1+3} \\ z_{1,2}&=1 \pm \sqrt{4} \\ z_{1,2}&=1 \pm 2 \end{aligned} z 1 , 2 z 1 , 2 z 1 , 2 = 1 ± 1 + 3 = 1 ± 4 = 1 ± 2 \implies \lsg{z_1=-1} \implies \lsg{z_2=3} ⟹ z 1 = − 1 ‾ ‾ ⟹ z 2 = 3 ‾ ‾ \implies \lsg{z_1=-1} \implies \lsg{z_2=3} ⟹ z 1 = − 1 ⟹ z 2 = 3
Schritt 4: Rücksubstitution
Setze die erhaltenen Werte für z z z z in den Term aus Schritt 1 ein und löse nach x x x x .
z=e^x z = e x z=e^x z = e x \begin{aligned} &\implies z_1=3 \implies 3=e^x \\ &\implies \underline{\underline{x_1=\ln{(3)}}} \end{aligned} ⟹ z 1 = 3 ⟹ 3 = e x ⟹ x 1 = ln ( 3 ) ‾ ‾ \begin{aligned} &\implies z_1=3 \implies 3=e^x \\ &\implies \underline{\underline{x_1=\ln{(3)}}} \end{aligned} ⟹ z 1 = 3 ⟹ 3 = e x ⟹ x 1 = ln ( 3 )
So hast du schon mal eine Lösung erhalten. Nun überprüfst du noch den zweiten z z z z
\begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=e^x \\ &\implies x=\ln{(-1)} \end{aligned} ⟹ z 2 = − 1 ⟹ − 1 = e x ⟹ x = ln ( − 1 ) \begin{aligned} &\implies z_2=-1 \implies -1=e^x \\ &\implies x=\ln{(-1)} \end{aligned} ⟹ z 2 = − 1 ⟹ − 1 = e x ⟹ x = ln ( − 1 )
Hier gibt es keine reelle Lösung , da der Ausdruck (negative Zahl im natürlichen Logarithmus) nicht definiert ist.
Insgesamt erhältst du also eine Nullstelle bei x=\ln(3) x = ln ( 3 ) x=\ln(3) x = ln ( 3 )
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