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Horner-Schema

Das Horner-Schema benutzt du, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern.

Damit vereinfachst du dir auch die Berechnung von Nullstellen und die Polynomdivision.

Vorgehensweise

Der eigentliche Zweck des Horner-Schemas ist die Berechnung von Funktionswerten.

Gegeben ist beispielswiese die Funktion:

f(x)=-4x^2+3x^4-2x+9

f(x)=-4x^2+3x^4-2x+9

Du sollst nun den Funktionswert f(2) $f(2)$ für die Funktion f(x) $f(x)$ bestimmen.

Schritt 1: Sortieren

Zuerst schaust du, dass die Glieder deiner Funktion absteigend nach der Größe der Potenz (größte Hochzahl zuerst) sortiert sind.

f(x)=3x^4-4x^2-2x+9

f(x)=3x^4-4x^2-2x+9

Schritt 2: Lücken füllen

Falls Potenzen fehlen, füllst du diese Stellen mit Nullen auf.

f(x)=3x^4\textcolor{sc_color_3}{+0x^3}-4x^2-2x+9

f(x)=3x^4\textcolor{#DD2238}{+0x^3}-4x^2-2x+9

Schritt 3: Horner-Schema durchführen

Schreibe die Vorfaktoren (Koeffizienten) der Glieder nebeneinander auf.

Multipliziere den 1. Vorfaktor mit dem x $x$ -Wert.

Addiere zum Ergebnis den 2. Vorfaktor dazu.

Multipliziere den errechneten Wert mit dem x $x$ -Wert.

Addiere zum Ergebnis den 3. Vorfaktor dazu.

Multipliziere den errechneten Wert mit dem x $x$ -Wert.

Addiere zum Ergebnis den 4. Vorfaktor dazu.

Multipliziere den errechneten Wert mit dem x $x$ -Wert.

Addiere zum Ergebnis den 5. Vorfaktor dazu. Du hast nun alle Vorfaktoren abgehandelt, somit ist diese Zahl dein Funktionswert.

Wenn du den Wert direkt in die Funktion einsetzt, erhältst du natürlich das gleiche Ergebnis:

\begin{aligned} f(2)&=3\cdot2^4+0\cdot2^3-4\cdot2^2-2\cdot2+9 \\ &=3\cdot16-4\cdot4-2\cdot2+9 \\ &=48-16-4+9 \\ &=\underline{\underline{37}} \end{aligned}

\begin{aligned} f(2)&=3\cdot2^4+0\cdot2^3-4\cdot2^2-2\cdot2+9 \\ &=3\cdot16-4\cdot4-2\cdot2+9 \\ &=48-16-4+9 \\ &=\underline{\underline{37}} \end{aligned}

Zusammenfassung

Zusammenfassend führst du beim Rechnen mit dem Horner-Schema also immer zwei sich wiederholende Schritte aus:

Schreibe die Vorfaktoren (Koeffizienten) der Glieder nebeneinander auf.

Vorfaktor mit x $x$ -Wert multiplizieren.
Nachfolgenden Vorfaktor zum Ergebnis dazu addieren.

Verwendung für Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion höheren Grades zu bestimmen, kann dir das Horner-Schema helfen, da du die Funktion damit um 1 Grad vermindern kannst.

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Schritt 1: Nullstelle raten

Zunächst musst du eine Nullstelle deiner gegebenen Funktion raten. Probiere einfach verschiedene ganze Zahlen aus, in den meisten Fällen handelt es sich um (-) 1 $(-) 1$ , (-) 2 $(-) 2$ oder (-) 3 $(-) 3$ .

Die folgende Funktion hat zum Beispiel eine Nullstelle bei -1 $-1$ .

\begin{aligned} f(x)&=x^3-7x-6 \\ f(x)&=0 \implies \underline{\underline{x_1=-1}} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=x^3-7x-6 \\ f(x)&=0 \implies \underline{\underline{x_1=-1}} \end{aligned}

Wenn du also -1 $-1$ für x $x$ einsetzt, ist f(x)=0 $f(x)=0$ .

Schritt 2: Horner Schema

Sortiere und fülle die Lücken mit Nullen auf.

\implies f(x)=x^3\textcolor{sc_color_3}{+0x^2}-7x-6

\implies f(x)=x^3\textcolor{#DD2238}{+0x^2}-7x-6

Dann führst du das Horner-Schema für f(-1) $f(-1)$ durch. Das dient für dich also gleichzeitig als Probe, ob die -1 $-1$ wirklich eine Nullstelle ist.

Aus dem Horner-Schema kannst du nun die gelb markierten Zahlen in der untersten Zeile ablesen. Dein Ergebnis, in diesem Fall die 0 $0$ , lässt du hierbei unbeachtet.

Aus diesen Vorfaktoren stellst du ein neues Polynom auf. Dieses Polynom soll gegenüber deiner Funktion um 1 Grad vermindert sein. Da du vorher eine Funktion 3. Grades hattest, muss sich daraus jetzt ein Polynom 2. Grades ergeben, also ein Polynom bei dem x² die höchste Potenz ist.

\begin{aligned} \implies 1&x^2-1&x-6 \\ &x^2-&x-6 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies 1&x^2-1&x-6 \\ &x^2-&x-6 \end{aligned}

Schritt 3: Andere Verfahren anwenden

Du kannst nun mit anderen Verfahren (wie pq-Formel, abc-Formel, etc.) die restlichen Nullstellen bestimmen.

x^2-x-6=0

x^2-x-6=0

Führe das Horner-Schema aber erst so lange durch, bis du eine Funktion 2. Grades erhältst.

Für das Beispiel lauten die restlichen Lösungen:

\implies \underline{\underline{x_2=-2}} \quad \implies \underline{\underline{x_3=3}}

\implies \underline{\underline{x_2=-2}} \quad \implies \underline{\underline{x_3=3}}

Damit ergibt sich für die Lösungsmenge:

\implies \underline{\underline{L=\{-2;-1; 3\}}}

\implies \underline{\underline{L=\{-2;-1; 3\}}}

Beispiel

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion

f(x)=2x^3-6x+4

f(x)=2x^3-6x+4

Lösung

Finde eine Nullstelle durch Probieren:

\implies \underline{\underline{x_1=-2}}

\implies \underline{\underline{x_1=-2}}

Wenn du also -2 $-2$ für x $x$ einsetzt, ist f(-2)=0 $f(-2)=0$ .

\begin{aligned} \implies f(-2)&=2\cdot(-2)^3-6\cdot(-2)+4 \\ &=-16+12+4 \\ &=\underline{\underline{0}} \end{aligned}

\begin{aligned} \implies f(-2)&=2\cdot(-2)^3-6\cdot(-2)+4 \\ &=-16+12+4 \\ &=\underline{\underline{0}} \end{aligned}

Sortiere und fülle die Lücken mit Nullen auf.

\implies f(x)=2x^3+0x^2-6x+4

\implies f(x)=2x^3+0x^2-6x+4

Führe mit dieser Nullstelle das Horner-Schema durch.

Auf der Grafik ist das Horner-Schema zur Aufgabe dargestellt. Das Ergebnis lautet f von minus 2 ist gleich 0. Die Zahlen 2, minus 4 und 2 sind in der letzten Zeile gelb markiert.

Stelle aus der letzten Zeile ein Polynom 2. Grades auf und setze dieses Null.

2x^2-4x+2=0

2x^2-4x+2=0

Die restlichen Nullstellen bestimmst du mit einem der Verfahren für Funktionen 2. Grades (pq-Formel, abc-Formel, etc.).

Du erhältst noch eine weitere Lösung:

\implies \underline{\underline{x_2=1}}

\implies \underline{\underline{x_2=1}}

Damit ergibt sich für die Lösungsmenge:

\implies \underline{\underline{L=\{-2; 1\}}}

\implies \underline{\underline{L=\{-2; 1\}}}

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