Mit der pq-Formel kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2​=−2p​±(2p​)2−q​

Erklärung

Eine quadratische Funktion hat die normierte Form

f(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+q

Hierbei sind pppp und qqqq irgendwelche reelle Zahlen.

Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie 0000 setzen

x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0

und nach xxxx auflösen.

Mit Hilfe der pq-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2​=−2p​±(2p​)2−q​

Nullstellen und Diskriminante

Eine quadratische Funktion kann 0, 10,10, 10,1 oder 2222 Nullstellen haben.

Mit der pq-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.

Der Term unter der Wurzel

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(p2)2−q\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(2p​)2−q

heißt Diskriminante.

Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion 2, 12,12, 12,1 oder 0000 Nullstellen.

x^2 - 1x2−1x^2 - 1x2−1

x^2x2x^2x2

x^2+1x2+1x^2+1x2+1

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2 Nullstellen

1 Nullstelle

0 Nullstellen

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(p2)2−q>0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(2p​)2−q>0

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(p2)2−q=0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(2p​)2−q=0

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(p2)2−q<0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(2p​)2−q<0

Umformung zur normierten Form

Hat eine quadratische Funktion die Form

ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0

wobei a, b, ca,b,ca, b, ca,b,c irgendwelche reelle Zahlen sind und

a \neq 0a≠0a \neq 0a=0

kannst du sie normieren.

Du teilst auf beiden Seiten der Gleichung durch aaaa und erhältst:

\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aa⋅x2+ba⋅x+ca=0a\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aa​⋅x2+ab​⋅x+ac​=a0​1\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01⋅x2+ba⋅x+ca=01\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01⋅x2+ab​⋅x+ac​=0

Jetzt kannst du die beiden Brüche umbenennen.

p:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=baq:=cap:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=ab​q:=ac​

Du erhältst die Form:

x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0

Beispiele

pq-Formel - zwei Lösungen

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6

Setze die Funktion gleich Null.

x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0

Die quadratische Funktion ist bereits in der normierten Form (Vorfaktor vorm quadratischen Term ist 1). Es sind keine Umformungen notwendig.

Bestimme die Koeffizienten

p = 5p=5p = 5p=5q=6q=6q=6q=6

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2​=−2p​±(2p​)2−q​

Das sieht dann so aus:

Start

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2=−52±(52)2−6x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2​=−25​±(25​)2−6​

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} =  -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{4}}}x1,2=−52±254−244=−52±14x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} =  -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{4}}}x1,2​=−25​±425​−424​​=−25​±41​​

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{\frac{1}{4}}>014>0\textcolor{#7F7706}{\frac{1}{4}}>041​>0

Es gibt also zwei Lösungen:

x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2}  = \underline{\underline{-2}}x1=−52+12=−42=−2‾‾x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2}  = \underline{\underline{-2}}x1​=−25​+21​=2−4​=−2​​x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2=−52−12=−62=−3‾‾x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2​=−25​−21​=2−6​=−3​​

Die Lösungsmenge lautet:

L=\{-2;-3\}L={−2;−3}L=\{-2;-3\}L={−2;−3}

pq-Formel - eine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x2−20x+25f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x2−20x+25

Setze die Funktion gleich Null.

4x^2-20x+25 = 04x2−20x+25=04x^2-20x+25 = 04x2−20x+25=0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Teile also durch den Vorfaktor

4x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x2−20x+25=0∣:44x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x2−20x+25=0∣:4x^2 -5x+6,25 = 0x2−5x+6,25=0x^2 -5x+6,25 = 0x2−5x+6,25=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-5)p=(−5)p = (-5)p=(−5)q=6,25q=6,25q=6,25q=6,25

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2​=−2p​±(2p​)2−q​

Das sieht dann so aus:

Start

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2=−(−5)2±((−5)2)2−6,25x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2​=−2(−5)​±(2(−5)​)2−6,25​

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2=52±254−6,25x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2​=25​±425​−6,25​x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} =  \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{0}}x1,2=52±6,25−6,25=52±0x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} =  \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{0}}x1,2​=25​±6,25−6,25​=25​±0​

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{0}0\textcolor{#7F7706}{0}0

Es gibt also eine Lösung.

x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=52+0=52‾‾x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=25​+0=25​​​

Die Lösungsmenge lautet:

\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={52}‾‾\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={25​}​​

pq-Formel - keine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=12x2−3x+5f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=21​x2−3x+5

Setze die Funktion gleich Null.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 012x2−3x+5=0\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 021​x2−3x+5=0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Multipliziere mit 2222.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 212x2−3x+5=∣⋅2\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 221​x2−3x+5=∣⋅2x^2-6x+10=0x2−6x+10=0x^2-6x+10=0x2−6x+10=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-6)p=(−6)p = (-6)p=(−6)q=10q=10q=10q=10

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2​=−2p​±(2p​)2−q​

Das sieht dann so aus:

Start

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2=−(−6)2±((−6)2)2−10x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2​=−2(−6)​±(2(−6)​)2−10​

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

\begin{aligned}

x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm]

&= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm]

&= 3\pm\sqrt{\textcolor{sc_color_1}{-1}}

\end{aligned}
x1,2=62±364−10=3±9−10=3±−1\begin{aligned}

x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm]

&= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm]

&= 3\pm\sqrt{\textcolor{#7F7706}{-1}}

\end{aligned}x1,2​​=26​±436​−10​=3±9−10​=3±−1​​

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist

\textcolor{sc_color_1}{-1}<0−1<0\textcolor{#7F7706}{-1}<0−1<0

Es gibt also keine reelle Lösung.

Die Lösungsmenge ist leer und lautet:

\underline{\underline{L = \emptyset}}L=∅‾‾\underline{\underline{L = \emptyset}}L=∅​​

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