pq-Formel

Mit der pq-Formel kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Erklärung

Eine quadratische Funktion hat die normierte Form:

f(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px+q

Hierbei sind ppp und qqq irgendwelche reelle Zahlen.

Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie 000 setzen.

x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0

und nach xxx auflösen.

Mit Hilfe der pq-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Nullstellen und Diskriminante

Eine quadratische Funktion kann 0, 10,10, 1 oder 222 Nullstellen haben.

Mit der pq-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.

Der Term unter der Wurzel

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(p2)2q\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

heißt Diskriminante.

Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion 2, 12,12, 1 oder 000 Nullstellen.

x^2 - 1x21x^2 - 1
x^2x2x^2
x^2+1x2+1x^2+1
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2 Nullstellen

1 Nullstelle

0 Nullstellen

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(p2)2q>0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(p2)2q=0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(p2)2q<0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0

Umformung zur normierten Form

Hat eine quadratische Funktion die Form

ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c = 0

wobei a, b, ca,b,ca, b, c irgendwelche reelle Zahlen sind und

a \neq 0a0a \neq 0

kannst du sie normieren.

Du teilst auf beiden Seiten der Gleichung durch aaa und erhältst:

\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aax2+bax+ca=0a\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}1\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01x2+bax+ca=01\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 0

Jetzt kannst du die beiden Brüche umbenennen.

p:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=baq:=cap:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}

Du erhältst die Form:

x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0

Beispiele

pq-Formel - zwei Lösungen

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6f(x) = x^2+5x+6

Setze die Funktion gleich Null.

x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0x^2+5x+6 = 0

Die quadratische Funktion ist bereits in der normierten Form (Vorfaktor vorm quadratischen Term ist 1). Es sind keine Umformungen notwendig.

Bestimme die Koeffizienten

p = 5p=5p = 5q=6q=6q=6

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2=52±(52)26x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{4}}}x1,2=52±254244=52±14x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{4}}}

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{\frac{1}{4}}>014>0\textcolor{#7F7706}{\frac{1}{4}}>0

Es gibt also zwei Lösungen:

x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}x1=52+12=42=2x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2=5212=62=3x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}

Die Lösungsmenge lautet:

L=\{-2;-3\}L={2;3}L=\{-2;-3\}

pq-Formel - eine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x220x+25f(x) = 4x^2-20x+25

Setze die Funktion gleich Null.

4x^2-20x+25 = 04x220x+25=04x^2-20x+25 = 0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Teile also durch den Vorfaktor

4x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x220x+25=0:44x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :4x^2 -5x+6,25 = 0x25x+6,25=0x^2 -5x+6,25 = 0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-5)p=(5)p = (-5)q=6,25q=6,25q=6,25

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2=(5)2±((5)2)26,25x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2=52±2546,25x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{0}}x1,2=52±6,256,25=52±0x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{0}}

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{0}0\textcolor{#7F7706}{0}

Es gibt also eine Lösung.

x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=52+0=52x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}

Die Lösungsmenge lautet:

\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={52}\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}

pq-Formel - keine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=12x23x+5f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5

Setze die Funktion gleich Null.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 012x23x+5=0\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Multipliziere mit 222.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 212x23x+5=2\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 2x^2-6x+10=0x26x+10=0x^2-6x+10=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-6)p=(6)p = (-6)q=10q=10q=10

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2=(6)2±((6)2)210x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm] &= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm] &= 3\pm\sqrt{\textcolor{sc_color_1}{-1}} \end{aligned}x1,2=62±36410=3±910=3±1\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm] &= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm] &= 3\pm\sqrt{\textcolor{#7F7706}{-1}} \end{aligned}

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist

\textcolor{sc_color_1}{-1}<01<0\textcolor{#7F7706}{-1}<0

Es gibt also keine reelle Lösung.

Die Lösungsmenge ist leer und lautet:

\underline{\underline{L = \emptyset}}L=\underline{\underline{L = \emptyset}}
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