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Satz vom Nullprodukt

Beschäftigst du dich im Matheunterricht gerade mit Analysis und willst die Nullstellen von Funktionen bestimmen?

Das geht einfach mit dem Satz vom Nullprodukt.

Wie du den Satz vom Nullprodukt anwendest, erklärt dir simpleclub!

Satz vom Nullprodukt einfach erklärt

Die Berechnung von Nullstellen kannst du dir mit dem Satz vom Nullprodukt vereinfachen.

Da das Produkt von Funktionen genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, kannst du die Faktoren einzeln untersuchen.

Dafür klammerst du bei der jeweiligen Gleichung einen oder mehrere Faktoren aus.

Für eine Funktion höheren Grades ist es oft sinnvoll, die Variable x auszuklammern.

Satz vom Nullprodukt Definition

Ein Produkt ist genau dann 0 $0$ , wenn mindestens einer der Faktoren 0 $0$ ist.

Schau dir diese Gleichung zur Nullstellenberechnung für eine Funktion 3. Grades an.

0=4x^3+3x^2+2x

0=4x^3+3x^2+2x

Die Variable x $x$ ist in jedem Summanden enthalten. Deswegen kannst du sie einfach ausklammern.

0=\col[1]{x}\cdot\col[2]{(4x^2+3x+2)}

0=\col[1]{x}\cdot\col[2]{(4x^2+3x+2)}

Nun kannst du die Faktoren einzeln betrachten und gemäß des Satzes vom Nullprodukt einzeln Null setzen.

0=\col[1]{x} \implies \underline{\underline{ x_1=0 }}

0=\col[1]{x} \implies \underline{\underline{ x_1=0 }}

Für den ersten Faktor erhältst du direkt die erste Nullstelle mit x_1=0 $x_1=0$ .

0=\col[2]{4x^2+3x+2}

0=\col[2]{4x^2+3x+2}

Für den zweiten Faktor erhältst du eine Gleichung 2. Grades, die du nun mit einem Verfahren deiner Wahl (pq-Formel, abc-Formel, etc.) lösen und die restlichen Nullstellen bestimmen kannst.

Satz vom Nullprodukt Beispiele

Funktion 5. Grades

Du hast eine Funktion 5. Grades gegeben. Bestimme die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt!

f(x)=3x^5-3x^3+4x^2+3x

f(x)=3x^5-3x^3+4x^2+3x

Lösung

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=3x^5-3x^3+4x^2+3x \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=3x^5-3x^3+4x^2+3x \end{aligned}

Du kannst nun ein x $x$ ausklammern.

0=\col[1]{x}\cdot\col[2]{(3x^4-3x^2+4x+3)}

0=\col[1]{x}\cdot\col[2]{(3x^4-3x^2+4x+3)}

Betrachte die Faktoren wieder einzeln.

0=\col[1]{x} \implies \underline{\underline{x_1=0}}

0=\col[1]{x} \implies \underline{\underline{x_1=0}}

Für den ersten Faktor erhältst du eine Nullstelle bei x_1=0 $x_1=0$ .

0=\col[2]{3x^4-3x^2+4x+3}

0=\col[2]{3x^4-3x^2+4x+3}

Für den zweiten Faktor erhältst du eine Gleichung 4. Grades, die du nun mit einem Verfahren deiner Wahl (Polynomdivision, Horner-Schema, etc.) lösen und die restlichen Nullstellen bestimmen kannst.

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Biquadratische Gleichung

Du hast eine Funktion 4. Grades gegeben. Bestimme die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt!

f(x)=2x^4-8x^2

f(x)=2x^4-8x^2

Lösung

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=2x^4-8x^2 \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=2x^4-8x^2 \end{aligned}

Du kannst nun sogar ein x^2 $x^2$ ausklammern, da es in jedem Summanden enthalten ist.

0=\col[1]{x^2}\cdot\col[2]{(2x^2-8)}

0=\col[1]{x^2}\cdot\col[2]{(2x^2-8)}

Betrachte die Faktoren wieder einzeln.

0=\col[1]{x^2} \implies \underline{\underline{x_1=0}}

0=\col[1]{x^2} \implies \underline{\underline{x_1=0}}

Für den ersten Faktor erhältst du eine doppelte Nullstelle bei x_1=0 $x_1=0$ .

\begin{aligned} 0&=\col[2]{2x^2-8} && |-2x^2 \\ -2x^2&=-8 &&|:(-2) \\ x^2&=4 &&|\sqrt{\square} \\ x_{2,3}&=\pm\sqrt{4} \\ &\implies \underline{\underline{x_2=-2}} \implies \underline{\underline{x_3=2}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=\col[2]{2x^2-8} && |-2x^2 \\ -2x^2&=-8 &&|:(-2) \\ x^2&=4 &&|\sqrt{\square} \\ x_{2,3}&=\pm\sqrt{4} \\ &\implies \underline{\underline{x_2=-2}} \implies \underline{\underline{x_3=2}} \end{aligned}

Für den zweiten Faktor erhältst du zwei weitere Nullstellen bei x_2=-2 $x_2=-2$ und x_3=2 $x_3=2$ .

Damit ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge:

\implies \lsg{L=\left\{-2,0,2\right\}}

\implies \lsg{L=\left\{-2,0,2\right\}}

Faktorisieren

Du hast eine Funktion gegeben. Bestimme die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt!

f(x)=(x+3)\cdot(x-2)\cdot(x+4)

f(x)=(x+3)\cdot(x-2)\cdot(x+4)

Lösung

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\col[1]{(x+3)}\cdot\col[2]{(x-2)}\cdot\col[3]{(x+4)} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\col[1]{(x+3)}\cdot\col[2]{(x-2)}\cdot\col[3]{(x+4)} \end{aligned}

Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst du nun wieder jeden Faktor einzeln behandeln.

\begin{aligned} 0&=\col[1]{x+3} \implies \underline{\underline{x_1=-3}} \\ 0&=\col[2]{x-2} \implies \underline{\underline{x_2=2}} \\ 0&=\col[3]{x+4} \implies \underline{\underline{x_3=-4}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=\col[1]{x+3} \implies \underline{\underline{x_1=-3}} \\ 0&=\col[2]{x-2} \implies \underline{\underline{x_2=2}} \\ 0&=\col[3]{x+4} \implies \underline{\underline{x_3=-4}} \end{aligned}

Damit ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge:

\implies \lsg{L=\left\{-4,-3,2\right\}}

\implies \lsg{L=\left\{-4,-3,2\right\}}

\large{\e} $\large{\e}$ -Funktion

Du hast eine \e $\e$ -Funktion gegeben. Bestimme die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt!

g(x)=e^x+e^x \cdot 3x

g(x)=e^x+e^x \cdot 3x

Lösung

\begin{aligned} g(x)&=0 \\ 0&=e^x+e^x\cdot3x \end{aligned}

\begin{aligned} g(x)&=0 \\ 0&=e^x+e^x\cdot3x \end{aligned}

Hier ergibt es zunächst Sinn, den Term e^x $e^x$ auszuklammern, da dieser in beiden Summanden vorkommt.

0=\col[1]{e^x}\cdot\col[2]{(1+3x)}

0=\col[1]{e^x}\cdot\col[2]{(1+3x)}

Betrachte die Faktoren nun wieder einzeln.

0=\col[1]{e^x}

0=\col[1]{e^x}

Diese Gleichung hat keine Lösung, da 0=e^x $0=e^x$ für kein x $x$ definiert ist.

Schau dir nun noch den zweiten Faktor an.

\begin{aligned} 0&=\col[2]{1+3x} \quad &&|-1 \\ -1&=3x \quad &&|:3 \\ -\frac{1}{3}&=x \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=\col[2]{1+3x} \quad &&|-1 \\ -1&=3x \quad &&|:3 \\ -\frac{1}{3}&=x \end{aligned}

\implies \lsg{x=-\frac{1}{3}}

\implies \lsg{x=-\frac{1}{3}}

Demzufolge hat die Funktion nur eine Nullstelle bei x=-\frac{1}{3} $x=-\frac{1}{3}$ .

Damit ergibt sich abschließend für die Lösungsmenge:

\implies \lsg{L=\left\{-\frac{1}{3}\right\}}

\implies \lsg{L=\left\{-\frac{1}{3}\right\}}

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