Spatprodukt

Wenn du in Mathe gerade das Thema analytische Geometrie hast und mit Vektoren rechnest, wird dir sicherlich auch das Spatprodukt begegnen.

Um zu verstehen, was das Spatprodukt ist, solltest du bereits das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt kennen. Dann ist das Spatprodukt auch nicht schwer zu verstehen.

simpleclub erklärt dir, was das Spatprodukt ist.


Spatprodukt einfach erklärt

Du kannst mit dem Spatprodukt das Volumen eines Spats berechnen.

V=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|V=(a×b)cV=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|
Auf der Grafik ist ein Spat mit den Vektoren a, b und c zu sehen.

Ein Spat (oder auch Parallelepiped) ist ein geometrischer Körper, der von sechs Parallelogrammen begrenzt wird. Diese sind immer paarweise kongruent (deckungsgleich).

Ein Spat ist anschaulich nichts anderes als ein Quader, der anstelle von Rechtecken, Parallelogramme als Grundflächen besitzt.

Spatprodukt Rechenregel

Du kannst die Vektoren im Spatprodukt zyklisch vertauschen, ohne, dass sich der Wert ändert. Das bedeutet, dass du die Rechenzeichen in diesem Fall im Kreis verschieben kannst.

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}(a×b)c=(b×c)a=(c×a)b(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}

Spatprodukt Definition

Das Spatprodukt dreier Vektoren aus dem dreidimensionalen Raum beschreibt das Skalarprodukt zwischen dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor.

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}(a×b)c(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}

Spatprodukt Beispiel

Berechne das Volumen des Spats, der von den folgenden drei Vektoren aufgespannt wird!

\vec{d}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 8\end{pmatrix};\vec{e}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix};\vec{f}=\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}d=(218);e=(123);f=(401)\vec{d}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 8\end{pmatrix};\vec{e}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix};\vec{f}=\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}

Berechne zunächst das Kreuzprodukt:

\vec{d}\times\vec{e}=\begin{pmatrix} 2 \\ (-1) \\ 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}d×e=(2(1)8)×(123)\vec{d}\times\vec{e}=\begin{pmatrix} 2 \\ (-1) \\ 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (-1)\cdot 3 - 8\cdot 2 \\ 8\cdot 1 - 2\cdot 3 \\ 2\cdot 2 - (-1)\cdot 1 \end{pmatrix}=((1)382812322(1)1)= \begin{pmatrix} (-1)\cdot 3 - 8\cdot 2 \\ 8\cdot 1 - 2\cdot 3 \\ 2\cdot 2 - (-1)\cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -19 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}=(1925)= \begin{pmatrix} -19 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}

Dann folgt für das Spatprodukt:

V=\left|(\vec{d}\times\vec{e})\cdot\vec{f}\right|=\left|\begin{pmatrix} -19 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\underline{\underline{|-71|=71 \textit{ VE}}}V=(d×e)f=(1925)(401)=71=71VEV=\left|(\vec{d}\times\vec{e})\cdot\vec{f}\right|=\left|\begin{pmatrix} -19 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\underline{\underline{|-71|=71 \textit{ VE}}}
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