Top-Themen

Thank you! Your submission has been received!

Oops! Something went wrong while submitting the form.

Potenzgesetze

Für Potenzen und Exponentialfunktionen gelten die Potenzgesetze.

Gleiche Basis

Wenn zwei Funktionen die gleiche Basis (Zahl unten) haben, kannst du folgende Gesetze anwenden:

Für ein Produkt mit gleicher Basis gilt

\textcolor{sc_color_1}{a}^x\cdot \textcolor{sc_color_1}{a}^y = \textcolor{sc_color_1}{a}^{x+y}

\textcolor{#7F7706}{a}^x\cdot \textcolor{#7F7706}{a}^y = \textcolor{#7F7706}{a}^{x+y}

Für einen Quotienten mit gleicher Basis gilt

\dfrac{\textcolor{sc_color_1}{a}^x}{\textcolor{sc_color_1}{a}^y} = \textcolor{sc_color_1}{a}^{x-y}

\dfrac{\textcolor{#7F7706}{a}^x}{\textcolor{#7F7706}{a}^y} = \textcolor{#7F7706}{a}^{x-y}

Für die Potenz einer Potenz gilt

\left(\textcolor{sc_color_1}{a}^x\right)^y = \textcolor{sc_color_1}{a}^{x\cdot y}

\left(\textcolor{#7F7706}{a}^x\right)^y = \textcolor{#7F7706}{a}^{x\cdot y}

Merke: Ist die Basis gleich und sind die Exponenten unterschiedlich, bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden zusammengerechnet.

Hinweis zur e-Funktion

Für die e-Funktion

f(x) = e^x

f(x) = e^x

gelten die gleichen Regeln.

Die e-Funktion hat die Basis

a=e=2,718281828\ldots

a=e=2,718281828\ldots

Gleicher Exponent

Wenn zwei Funktionen die gleichen Exponenten (Zahl oben) haben, kannst du folgende Gesetze anwenden:

Für ein Produkt mit gleichen Exponenten gilt

a^\textcolor{sc_color_1}{x}\cdot b^\textcolor{sc_color_1}{x} = (a\cdot b)^\textcolor{sc_color_1}{x}

a^\textcolor{#7F7706}{x}\cdot b^\textcolor{#7F7706}{x} = (a\cdot b)^\textcolor{#7F7706}{x}

Für einen Quotienten mit gleichen Exponenten gilt

\dfrac{a^\textcolor{sc_color_1}{x}}{b^\textcolor{sc_color_1}{x}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^\textcolor{sc_color_1}{x}

\dfrac{a^\textcolor{#7F7706}{x}}{b^\textcolor{#7F7706}{x}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^\textcolor{#7F7706}{x}

Merke: Ist die Basis unterschiedlich und sind die Exponenten gleich, wird die Basis zusammengerechnet und die Exponenten bleiben gleich.

Merksatz

Gleiches bleibt gleich und Unterschiedliches wird zusammengerechnet.

Besondere Exponenten

Wenn zwei Funktionen besondere Exponenten (Hochzahlen) haben, kannst du folgende Gesetze anwenden:

a^0 = 1

a^0 = 1

a^1=a

a^1=a

a^{-1} = \dfrac{1}{a^1} = \dfrac{1}{a}

a^{-1} = \dfrac{1}{a^1} = \dfrac{1}{a}

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Merke: Das Minuszeichen im Exponenten bedeutet, dass du den Kehrwert bilden musst.

Merke: Der Bruch im Exponenten bedeutet, dass du eine Wurzel ziehen musst.

Beispiele

Interaktive Erklärungen

Hol dir die App, um mit den Animationen zu interagieren, damit du komplexe Themen noch besser verstehen kannst.

Erhalte Zugriff auf alle interaktiven Erklärungen.

Gleiche Basis - Produkt

Berechne mit den Potenzgesetzen!

10^2\cdot10

10^2\cdot10

Beachte

10 = 10^1

10 = 10^1

Es handelt sich um ein Produkt.

Die Basis ist gleich und die Exponenten sind unterschiedlich, d.h. die Basis bleibt gleich und die Exponenten werden zusammengerechnet.

\textcolor{sc_color_1}{10}^2\cdot \textcolor{sc_color_1}{10} = \textcolor{sc_color_1}{10}^2\cdot \textcolor{sc_color_1}{10}^1 = \textcolor{sc_color_1}{10}^{2+1} = \textcolor{sc_color_1}{10}^3

\textcolor{#7F7706}{10}^2\cdot \textcolor{#7F7706}{10} = \textcolor{#7F7706}{10}^2\cdot \textcolor{#7F7706}{10}^1 = \textcolor{#7F7706}{10}^{2+1} = \textcolor{#7F7706}{10}^3

Zur Probe kannst du das Ergebnis ausrechnen.

10^2\cdot 10 = 100\cdot 10=1000

10^2\cdot 10 = 100\cdot 10=1000

und

10^3=10\cdot10\cdot10 = 1000

10^3=10\cdot10\cdot10 = 1000

Gleiche Basis - Quotient

Berechne mit den Potenzgesetzen!

\dfrac{10^3}{10^2}

\dfrac{10^3}{10^2}

Es handelt sich um einen Quotienten.

Die Basis ist gleich und die Exponenten sind unterschiedlich, d.h. die Basis bleibt gleich und die Exponenten werden zusammengerechnet.

\dfrac{\textcolor{sc_color_1}{10}^3}{\textcolor{sc_color_1}{10}^2} = \textcolor{sc_color_1}{10}^{3-2}=\textcolor{sc_color_1}{10}^1=\textcolor{sc_color_1}{10}

\dfrac{\textcolor{#7F7706}{10}^3}{\textcolor{#7F7706}{10}^2} = \textcolor{#7F7706}{10}^{3-2}=\textcolor{#7F7706}{10}^1=\textcolor{#7F7706}{10}

Du kannst auch hier die Probe machen

\dfrac{10^3}{10^2}=\dfrac{1000}{100} = 10

\dfrac{10^3}{10^2}=\dfrac{1000}{100} = 10

Gleiche Basis - Potenz einer Potenz

Berechne mit den Potenzgesetzen!

\left(2^3\right)^2

\left(2^3\right)^2

Es handelt sich um die Potenz von einer Potenz.

Die Basis ist gleich und die Exponenten sind unterschiedlich, d.h. die Basis bleibt gleich und die Exponenten werden zusammengerechnet.

\left(2^3\right)^2 = 2^{3\cdot2} = 2^6

\left(2^3\right)^2 = 2^{3\cdot2} = 2^6

Probe (musst du für die Aufgabe nicht machen)

\left(2^3\right)^2 = (8)^2 = 64

\left(2^3\right)^2 = (8)^2 = 64

und

2^{3\cdot 2} = 2^6 = 2\cdot2\cdot 2\cdot2\cdot2\cdot2 =64

2^{3\cdot 2} = 2^6 = 2\cdot2\cdot 2\cdot2\cdot2\cdot2 =64

Gleicher Exponent - Produkt

Berechne mit den Potenzgesetzen!

2^2\cdot 4^2

2^2\cdot 4^2

Es handelt sich um ein Produkt.

Die Basis ist unterschiedlich und die Exponenten sind gleich, d.h. die Basis wird zusammengerechnet und die Exponenten bleiben gleich.

2^{\textcolor{sc_color_1}{2}}\cdot 4^{\textcolor{sc_color_1}{2}} = (2\cdot 4)^{\textcolor{sc_color_1}{2}} = 8^{\textcolor{sc_color_1}{2}} = 64

2^{\textcolor{#7F7706}{2}}\cdot 4^{\textcolor{#7F7706}{2}} = (2\cdot 4)^{\textcolor{#7F7706}{2}} = 8^{\textcolor{#7F7706}{2}} = 64

Die Probe ergibt das gleiche Ergebnis

2^2\cdot 4^2 = 4\cdot 16 =64

2^2\cdot 4^2 = 4\cdot 16 =64

Besondere Exponenten- einfach

3^0 = 1

3^0 = 1

555^1 = 555

555^1 = 555

10^{-1}=\dfrac{1}{10}

10^{-1}=\dfrac{1}{10}

f(x) = x^{-2 }= \dfrac{1}{x^2}

f(x) = x^{-2 }= \dfrac{1}{x^2}

Besondere Exponenten - kompliziert

f(x) = x^{-\frac{2}{3}}

f(x) = x^{-\frac{2}{3}}

Hier kannst du gleich mehrere Regeln anwenden.

Das Minuszeichen bedeutet, dass du den Kehrwert bilden musst.

f(x) = \dfrac{1}{x^\frac{2}{3}}

f(x) = \dfrac{1}{x^\frac{2}{3}}

Der Bruch im Exponenten bedeuetet, dass du die Wurzel (hier die dritte Wurzel) ziehen musst.

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}

Nächstes Thema:

Natürliche Exponentialfunktion

Weiter

simpleclub ist am besten in der App.

Mit unserer App hast du immer und überall Zugriff auf: Lernvideos, Erklärungen mit interaktiven Animationen, Übungsaufgaben, Karteikarten, individuelle Lernpläne uvm.

Web-Version

Top-Themen

Get the best learning hacks!

Potenzgesetze