abc-Formel

Wenn du dich in Mathe gerade mit Analysis beschäftigst, werden dir auch quadratische Funktionen begegnen.

Um Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen zu können, kannst du die abc–Formel (oder auch Mitternachtsformel genannt) nutzen.

Wie das funktioniert, zeigt dir simpleclub.


abc–Formel einfach erklärt

abc–Formel Definition

Mit der abc-Formel (auch Mitternachtsformel) kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}x1,2=b±b24ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Eine quadratische Funktion hat die Form

f(x) = ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2+bx+c

Hierbei sind a, b, ca,b,ca, b, c irgendwelche reelle Zahlen und

a \neq 0a0a \neq 0

Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie 000 setzen

ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c = 0

und nach x auflösen.

Mit Hilfe der abc-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}x1,2=b±b24ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Nullstellen und Diskriminante

Eine quadratische Funktion kann 0, 10,10, 1 oder 222 Nullstellen haben.

Mit der abc-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.

Der Term unter der Wurzel

b^2 - 4acb24acb^2 - 4ac

heißt Diskriminante.

Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion 2, 12,12, 1 oder 000 Nullstellen.

x^2 - 1x21x^2 - 1
x^2x2x^2
x^2+1x2+1x^2+1
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2 Nullstellen

1 Nullstelle

0 Nullstellen

b^2 - 4ac > 0b24ac>0b^2 - 4ac > 0
b^2 - 4ac =0b24ac=0b^2 - 4ac =0
b^2 - 4ac <0b24ac<0b^2 - 4ac <0

abc–Formel Beispiele

abc-Formel - zwei Lösungen

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6f(x) = x^2+5x+6

Setze die Funktion zuerst gleich 000.

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=x^2+5x+6 \end{aligned}f(x)=00=x2+5x+6\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=x^2+5x+6 \end{aligned}

Bestimme die Koeffizienten

\begin{aligned} &a&&= 1 \\ &b&&= 5 \\ &c&&= 6 \end{aligned}a=1b=5c=6\begin{aligned} &a&&= 1 \\ &b&&= 5 \\ &c&&= 6 \end{aligned}

und setze sie in die abc-Formel ein.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}x1,2=b±b24ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}x1,2=5±5241621x_{1,2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2} = \dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2}x1,2=5±25242=5±12x_{1,2} = \dfrac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2} = \dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2}

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) lautet:

D=1 > 0D=1>0D=1 > 0

Es gibt also zwei Nullstellen.

\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-5 -1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}} \\[3mm] x_2 &= \dfrac{-5 + 1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}} \end{aligned}x1=512=62=3x2=5+12=42=2\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-5 -1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}} \\[3mm] x_2 &= \dfrac{-5 + 1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}} \end{aligned}

Die Lösungsmenge lautet dann:

\underline{\underline{L=\{-3;-2\}}}L={3;2}\underline{\underline{L=\{-3;-2\}}}

abc-Formel - eine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = 4x^2 - 20x + 25f(x)=4x220x+25f(x) = 4x^2 - 20x + 25

Setze die Funktion zuerst gleich 000.

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=4x^2-20x+25 \end{aligned}f(x)=00=4x220x+25\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=4x^2-20x+25 \end{aligned}

Bestimme die Koeffizienten

\begin{aligned} &a&&= 4 \\ &b&&= (-20) \\ &c&&= 25 \end{aligned}a=4b=(20)c=25\begin{aligned} &a&&= 4 \\ &b&&= (-20) \\ &c&&= 25 \end{aligned}

und setze sie in die abc-Formel ein.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}x1,2=b±b24ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = \dfrac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4\cdot 4\cdot 25}}{2\cdot 4}x1,2=(20)±(20)2442524x_{1,2} = \dfrac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4\cdot 4\cdot 25}}{2\cdot 4}

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8} = \dfrac{20 \pm \sqrt{0}}{8}x1,2=20±4004008=20±08x_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8} = \dfrac{20 \pm \sqrt{0}}{8}

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) lautet:

D=0D=0D=0

Es gibt also eine Nullstelle.

x_1 = \dfrac{20 + 0}{8} = \dfrac{20}{8} = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x1=20+08=208=52x_1 = \dfrac{20 + 0}{8} = \dfrac{20}{8} = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}

Die Lösungsmenge lautet dann:

\underline{\underline{L=\left\{\frac{5}{2}\right\}}}L={52}\underline{\underline{L=\left\{\frac{5}{2}\right\}}}

abc-Formel - keine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=12x23x+5f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5

Setze die Funktion zuerst gleich 000.

\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\frac{1}{2}x^2-3x+5 \end{aligned}f(x)=00=12x23x+5\begin{aligned} f(x)&=0 \\ 0&=\frac{1}{2}x^2-3x+5 \end{aligned}

Bestimme die Koeffizienten

\begin{aligned} &a&&= \frac{1}{2} \\ &b&&= (-3) \\ &c&&= 5 \end{aligned}a=12b=(3)c=5\begin{aligned} &a&&= \frac{1}{2} \\ &b&&= (-3) \\ &c&&= 5 \end{aligned}

und setze sie in die abc-Formel ein.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}x1,2=b±b24ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 5}}{2\cdot \frac{1}{2}}x1,2=(3)±(3)24125212x_{1,2} = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 5}}{2\cdot \frac{1}{2}}

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 10}}{1} = \dfrac{3 \pm\sqrt{-1}}{1}x1,2=3±9101=3±11x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 10}}{1} = \dfrac{3 \pm\sqrt{-1}}{1}

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) lautet:

D=-1 < 0D=1<0D=-1 < 0

Es gibt also keine Nullstelle.

~~

Die Lösungsmenge lautet dann:

\underline{\underline{L=\emptyset}}L=\underline{\underline{L=\emptyset}}
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