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Natürliche Exponentialfunktion

Hast du im Matheunterricht gerade das Thema Analysis und beschäftigst dich mit verschiedenen Funktion?

Dann begegnen dir sicherlich auch die natürliche Exponentialfunktion.

Was ist das für eine besondere Funktion? Wie sieht sie aus und was für Besonderheiten hat sie?

Die Antwort hat simpleclub für dich!

Natürliche Exponentialfunktion einfach erklärt

Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion zur Basis \e $\e$ .
Die \e $\e$ -Funktion wird niemals 0 $0$ , sie nähert sich der x $x$ -Achse nur unendlich nahe an.
Da \e^0 =1 $\e^0 =1$ gilt, schneidet die Funktion die y $y$ -Achse bei y=1 $y=1$ .

Tippe den Schalter.

Definition natürliche Exponentialfunktion

Die e-Funktion ist eine besondere Exponentialfunktion

f(x) = \e^x

f(x) = \e^x

Erklärung

Besondere Exponentialfunktion

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der Basis

\e\approx 2,718281828\ldots

\e\approx 2,718281828\ldots

Die Zahl \e $\e$ ist eine irrationale Zahl.

Verlauf

Den prinzipiellen Verlauf der \e $\e$ -Funktion solltest du dir gut einprägen, denn das hilft dir in vielen Aufgaben. Du kannst die gezeichnete Funktion in der Abbildung sehen.

Tippe auf den Schalter.

Wenn du den Button in der Animation drückst, siehst du einen Pfeil, der den Graphen entlang wandert. Dieser Pfeil zeigt dir, dass die Funktion \e^x $\e^x$ streng monoton steigend ist.

Auch wenn die Funktion für sehr kleine x $x$ -Werte so gut wie garnicht steigt, ist die Steigung dennoch positiv.

Verhalten im Unendlichen

Wie du in der Animation sehen kannst, nähert sich der Graph für sehr kleine x $x$ -Werte an die x $x$ -Achse an. Wichtig ist allerdings, dass er diese nicht schneidet, der Graph kommt ihr nur unendlich nahe. Dies kannst du auch in der Animation sehen.

Tippe den Schalter.

Für das Verhalten der \e $\e$ -Funktion im Unendlichen gilt:

Für sehr große x $x$ -Werte wird die Exponentialfunktion auch unendlich groß.

Für sehr große negative x $x$ -Werte wird die Exponentialfunktion unendlich klein, bleibt aber immer ein bisschen größer als 0 $0$ .

\implies\lim_{x \to +\infty} \e^x = +\infty

\implies\lim_{x \to +\infty} \e^x = +\infty

\begin{aligned} \implies\lim_{x \to -\infty} \e^x = 0^+ \end{aligned}

\begin{aligned} \implies\lim_{x \to -\infty} \e^x = 0^+ \end{aligned}

Schnittpunkt mit den Achsen

Nullstelle

Wie du am Verlauf des Graphen sehen kannst, hat die natürliche Exponentialfunktion keine Nullstellen. Sie nähert sich der x $x$ -Achse nur unendlich nahe an, schneidet diese aber nicht. Dies kannst du auch noch einmal in der Animation sehen.

Tippe den Schalter,

Durch Verschiebung des Graphen nach unten kannst du eine Nullstelle erhalten.

Schnittpunkt mit der y $y$ -Achse

Die natürliche Exponentialfunktion schneidet die y $y$ -Achse bei y=1 $y=1$ .

Das liegt daran, dass eine Zahl mit 0 $0$ potenziert, immer 1 $1$ ergibt.

\e^0 = 1

\e^0 = 1

Der y $y$ -Achsenschnittpunkt der natürlichen Exponentialfunktion ist also bei y=1 $y=1$ .

Definitionsbereich

In die Exponentialfunktion darfst du jeden x $x$ -Wert einsetzen. Das bedeutet, dass für den Definitionsbereich von f(x) = \e^x $f(x) = \e^x$ gilt:

\mathbb{D} = \R

\mathbb{D} = \R

Wertebereich

Die natürliche Exponentialfunktion nähert sich für sehr große negative Werte der x $x$ -Achse an. Für positive x $x$ -Werte hingegen läuft sie immer weiter nach oben gegen +\infty $+\infty$ .

Damit ergibt sich der Wertebereich von f(x) = \e^x $f(x) = \e^x$ zu:

\mathbb{W} = \R^+

\mathbb{W} = \R^+

Tippe den Schalter.

Definitions- und Wertebereich kannst du auch immer recht schön grafisch sehen.

Die Funktion ist über die gesamte x $x$ -Achse gezeichnet. Ganz rechts kannst du zwar keinen Graphen mehr sehen, weil die \e $\e$ -Funktion zu schnell steigt, dennoch wird diese für alle x $x$ -Werte weiter gezeichnet.\implies \mathbb{D} = \R $\implies \mathbb{D} = \R$
Die Funktion ist nur für positive y $y$ -Werte gezeichnet. \implies \mathbb{W} = \R^+ $\implies \mathbb{W} = \R^+$

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Ableitung

Die e-Funktion ist die einzige Funktion (außer 0 $0$ ), deren Ableitung mit der Funktion selbst übereinstimmt.

f(x) = f'(x) = \e^x

f(x) = f'(x) = \e^x

Denke daran, bei variierten \e $\e$ -Funktionen die Kettenregel anzuwenden.

Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung von zwei zusammengesetzten (verketteten) Funktionen bestimmen.

f(x)= h(g(x))

f(x)= h(g(x))

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)

Stammfunktion

Die Exponentialfunktion bleibt beim Ableiten immer erhalten. Das bedeutet, dass auch die Stammfunktion wiederum die \e $\e$ -Funktion ist, denn die Stammfunktion abgeleitet ergibt ja wieder die Funktion.

\int \e^x \ \text{d}x = \e^x +C

\int \e^x \ \text{d}x = \e^x +C

Umkehrfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = \e^x $f(x) = \e^x$ . Wenn du die \e $\e$ -Funktion also an der Winkelhalbierenden des 1. $1.$ Quadranten spiegelst, erhältst du die \ln $\ln$ -Funktion.

Drücke die Button.

Beispiele

Exponentialfunktion verschieben

In der folgenden Animation kannst du sehen, wie man die Exponentialfunktion nach oben und unten schieben kann. Dementsprechend ändert sich natürlich auch der y $y$ -Achsenschnittpunkt sowie der Wertebereich.

Verschiebe den Regler.

Verschiebung

Nullstelle berechnen

Bestimme die Nullstelle der nach unten verschobenen Exponentialfunktion f(x) = \e^x-3 $f(x) = \e^x-3$ .

Lösung

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Wie du in der Grafik sehen kannst, ist die Nullstelle bei x = 1 $x = 1$ . Diese kannst du mathematisch berechnen.

Nullstellen berechnet man immer durch 0 $0$ setzen der gesamten Funktion.

\begin{aligned} \e^x-3 =0 \end{aligned}

\begin{aligned} \e^x-3 =0 \end{aligned}

Das löst du nun nach 0 $0$ auf!

\begin{aligned} \e^x-3&=0 \qquad |+3 \\ \e^x=&3 \end{aligned}

\begin{aligned} \e^x-3&=0 \qquad |+3 \\ \e^x=&3 \end{aligned}

Diese Gleichung kannst du nun mithilfe der Umkehrfunktion, nämlich dem Logarithmus, auflösen.

\begin{aligned} \e^x&=3 \qquad |\ln\square \\ \ln(\e^x)&=\ln(3) \\ x &= \underline{\ln(3)} \end{aligned}

\begin{aligned} \e^x&=3 \qquad |\ln\square \\ \ln(\e^x)&=\ln(3) \\ x &= \underline{\ln(3)} \end{aligned}

Wertebereich bestimmen

Bestimme zur Funktion f(x) = \e^x+3 $f(x) = \e^x+3$ den Wertebereich.

Lösung

Die normale Exponentialfunktion nähert sich an die x $x$ -Achse an. Der Wertebereich ist \mathbb{W} = ]0;+ \infty[ $\mathbb{W} = ]0;+ \infty[$ .

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Nun ist diese Funktion um 3 $3$ Einheiten nach oben verschoben. Dementsprechend nähert sich die Funktion der Geraden y =3 $y =3$ an. Damit ergibt sich der Wertebereich.

\mathbb{W} = ]3;\infty[ $\mathbb{W} = ]3;\infty[$ .

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Denke immer daran, dass du die untere Grenze des Wertebereichs bei einer Exponentialfunktion ausschließen musst, da sich der Graph hier nur annähert, den Wert aber nie erreicht.

Zusammenfassung

e-Funktion
Funktion		f(x) = \e^x $f(x) = \e^x$
Graph		Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Definitionsbereich		\reals $\reals$
Wertebereich		\reals^+ $\reals^+$

Die e-Funktion ist eine besondere Exponentialfunktion

f(x) = \e^xf(x)=\exf(x) = \e^xf(x)=\ex

Übersicht

e-Funktion

Funktion

f(x) = \e^xf(x)=\exf(x) = \e^xf(x)=\ex

Graph

Besuche die App um diesen Graphen zu sehen

Zur App

Definitionsbereich

\realsR\realsR

Wertebereich

\reals_+R+\reals_+R+

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der Basis

\e\approx 2,718281828\ldots\e≈2,718281828…\e\approx 2,718281828\ldots\e≈2,718281828…

Besonderheit

Die e-Funktion ist die einzige Funktion (außer 0), deren Ableitung mit der Funktion selbst übereinstimmt.

f(x) = f'(x) = \e^xf(x)=f′(x)=\exf(x) = f'(x) = \e^xf(x)=f′(x)=\ex

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