Polynomdivision

Wenn du dich in Mathe gerade mit Analysis beschäftigst, wird dir auch die Polynomdivision begegnen.

simpleclub erklärt dir, was ein Polynom ist und wie du eine Polynomdivision Schritt für Schritt durchführst.

Polynomdivision einfach erklärt

Polynom...

Ein Polynom ist ein Term, der aus

• Variablen
• ihren Vorfaktoren
• und Plus- bzw. Minuszeichen dazwischen besteht.

Oft sind die Variablen mit Potenzen versehen.

Beispiele:

...division

Du hast zwei Polynome gegeben und sollst das eine durch das andere teilen (also dividieren).

Beispiel:

Polynomdivision Definition

Polynomdivision Vorgehensweise

Schritt 1: Sortieren

Zuerst schaust du, dass die Glieder beider Polynome absteigend nach der Größe der Potenz (größte Hochzahl zuerst) sortiert sind.

Schritt 2: Lücken füllen

Falls Potenzen fehlen, füllst du diese Stellen mit Nullen auf.

Schritt 3: Rechnen

1. Teile x^3$x^3$ durch x$x$. Schreibe das Ergebnis neben das Gleichheitszeichen.

2. Multipliziere zurück, also x^2$x^2$ mit (x-2)$(x-2)$. Schreibe das Ergebnis mit einem negativen Vorzeichen unter x^3 +6x^2$x^3 +6x^2$.

3. Ziehe (x^3-2x^2)$(x^3-2x^2)$ von den darüber stehenden Zahlen ab. Schreibe das Ergebnis in die nächste Zeile.

4. Hole den nächsten Summanden von oben runter.

5. Teile 8x^2$8x^2$ durch x$x$. Addiere das Ergebnis zum Gesamtergebnis hinzu **(Vorzeichen beachten!)**.

6. Multipliziere zurück, also 8x$8x$ mal (x-2)$(x-2)$. Schreibe das Ergebnis mit einem negativen Vorzeichen unter 8x^2+0x$8x^2+0x$.

7. Ziehe (8x^2-16x)$(8x^2-16x)$ von den darüber stehenden Zahlen ab. Schreibe das Ergebnis in die nächste Zeile.

8. Hole den nächsten Summanden von oben runter.

9. Teile 16x$16x$ durch x$x$. Addiere das Ergebnis zum Gesamtergebnis hinzu. Beachte das Vorzeichen.

10. Multipliziere zurück, also 16$16$ mal (x-2)$(x-2)$. Schreibe das Ergebnis mit einem negativen Vorzeichen unter 16x-32$16x-32$.

11. Ziehe (16x-32)$(16x-32)$ von den darüber stehenden Zahlen ab. Du erhältst die Zahl 0$0$. Die Polynomdivision ist abgeschlossen.

Zusammenfassend...

...führst du beim Rechnen der Polynomdivision also immer vier sich wiederholende Schritte aus.

Polynomdivision Verwendung für Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion höheren Grades zu bestimmen, kann dir die Polynomdivision helfen, da du die Funktion damit um 1 Grad vermindern kannst.

Schritt 1: Nullstelle raten

Zunächst musst du eine Nullstelle deiner gegebenen Funktion erraten.

Dafür kannst du dir merken, dass sehr oft mindestens eine Nullstelle ein Teiler der Zahl ist, die in der Funktionsgleichung ohne das Argument x$x$ steht.

Probiere einfach verschiedene ganze Zahlen aus, in den meisten Fällen handelt es sich um \pm 1, \pm 2$\pm 1, \pm 2$ oder \pm 3$\pm 3$.

Die folgende Funktion hat zum Beispiel eine Nullstelle bei 2.

Die 2$2$ ist nämlich ein Teiler von 24$24$. Wenn du nun also 2$2$ für x$x$ einsetzt, ist f(x)=0$f(x)=0$.

Schritt 2: Polynomdivision

Du führst nun die Polynomdivision folgendermaßen durch:

Du musst also deine Funktion durch ein Polynom teilen, bei dem du von x$x$ deine Nullstelle abziehst. Dieses Polynom wird auch Linearfaktor genannt.

Sortiere und fülle fehlende Potenzen mit Nullen auf.

Für die Polynomdivision ergibt sich dann:

Schritt 3: Andere Verfahren anwenden

Du kannst nun mit anderen Verfahren (wie pq-Formel, abc-Formel, etc.) die restlichen Nullstellen bestimmen.

Führe die Polynomdivision aber so lange durch, bis du eine Funktion 2. Grades erhältst.

Für das Beispiel lauten die restlichen Lösungen:

Damit ergibt sich für die Lösungsmenge:

Polynomdivision mit Rest

Erhältst du am Ende deiner Rechnung keine Null, hat deine Polynomdivision einen Rest.

Teile dafür die Zahl, die am Ende übrig bleibt, durch das zweite Polynom und addiere diesen Bruch zu deinem Ergebnis hinzu.

Zum Beispiel hat diese Polynomdivision

einen Rest von 3.

Polynomdivision Beispiel

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion

Lösung

Finde eine Nullstelle durch Probieren.

Wenn du also \col[5]{1}$\col[5]{1}$ für x$x$ einsetzt, ist f(\col[5]{1})=0$f(\col[5]{1})=0$.

Setze den sich daraus ergebenden Linearfaktor (x- \col[5]{1})$(x- \col[5]{1})$ in die Polynomdivision ein.

Es sind bereits alle Summanden nach der Größe der Potenz sortiert und es sind keine fehlenden Potenzen vorhanden.

Führe nun die Polynomdivision durch.

Setze nun:

Die restlichen Nullstellen bestimmst du mit einem der Verfahren für Funktionen 2. Grades (pq-Formel, abc-Formel, etc.).

Die Lösungen lauten:

Antwort

Damit ergibt sich für die Lösungsmenge: