Moivre & Laplace

Nach dem Satz von Moivre & Laplace, der auch zentraler Grenzwertsatz heißt, konvergiert die Binomialverteilung für n gegen unendlich gegen die Normalverteilung.


Erklärung

Wenn Binomialverteilungen mit großem n vorliegen, dann kann es sein, dass der Taschenrechner an seine Grenzen kommt. Hier kann eine Approximation durch die Normalverteilung erfolgen.

Mit folgender Formel wird gerechnet:

P(X \leq k) = \Phi(\frac{k-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{k-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot q}})P(Xk)=Φ(kμσ)=Φ(knpnpq)P(X \leq k) = \Phi(\frac{k-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{k-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot q}})

Beispiel

Einfaches Beispiel

Ein Würfel wird 1000 mal geworfen.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 150 mal oder weniger die Sechs gewürfelt wird?

Mit der Binomialverteilung:

P(X \leq 150)=binomcdf(1000,\frac{1}{6},150)=0,083689P(X150)=binomcdf(1000,16,150)=0,083689P(X \leq 150)=binomcdf(1000,\frac{1}{6},150)=0,083689

Mit der Normalverteilung:

P(X \leq 150)=\ \Phi(\frac{150-1000\cdot \frac{1}{6}}{\sqrt{1000\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}})=\ \Phi(-1,41421)\approx 0,0793P(X150)=Φ(15010001610001656)=Φ(1,41421)0,0793P(X \leq 150)=\ \Phi(\frac{150-1000\cdot \frac{1}{6}}{\sqrt{1000\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}})=\ \Phi(-1,41421)\approx 0,0793

Schwieriges Beispiel

Aus einer Urne mit zwei schwarzen und drei weißen Kugeln wird 5000 mal mit Zurücklegen gezogen.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2100 mal oder häufiger eine schwarze Kugel gezogen wird?

Mit der Binomialverteilung:

P(X \geq 2100)=binomcdf(5000,0.4,2100,5000)=0,00208P(X2100)=binomcdf(5000,0.4,2100,5000)=0,00208P(X \geq 2100)=binomcdf(5000,0.4,2100,5000)=0,00208

Mit der Normalverteilung:

P(X \geq 2100)=1 - \Phi(\frac{2100-5000\cdot 0.4}{\sqrt{5000\cdot 0.4\cdot 0.6}})=1 - \Phi(2,88675)\approx 0,002P(X2100)=1Φ(210050000.450000.40.6)=1Φ(2,88675)0,002P(X \geq 2100)=1 - \Phi(\frac{2100-5000\cdot 0.4}{\sqrt{5000\cdot 0.4\cdot 0.6}})=1 - \Phi(2,88675)\approx 0,002
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