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Matrix mal Vektor

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Hast du in Mathe gerade das Thema lineare Algebra und arbeitest mit Matrizen?

Dann kann es sein, dass du eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren sollst.

simpleclub zeigt dir Schritt für Schritt, wie du eine Matrix-Vektor-Multiplikation durchführst.

Matrix-Vektor-Multiplikation einfach erklärt

Das Matrix-Vektor-Produkt ist eine Spezialform der Matrizenmultiplikation.

Demzufolge wird das Produkt über das Zeile mal Spalte - Prinzip errechnet. Dafür werden zunächst die Einträge der ersten Zeile der Matrix mit den Einträgen des Vektors multipliziert und aufsummiert. Dies ergibt den ersten Eintrag des Ergebnisvektors. Führe das gleiche Prinzip mit den (eventuell) anderen Zeilen der Matrix durch und du erhältst alle weiteren Einträge des Ergebnisvektors.

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 2\cdot 1+0\cdot 0 \\ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1+(-3)\cdot 0\\ 1\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 6+2\\ 6-1\\ 3 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 8\\ 5\\3 \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 2\cdot 1+0\cdot 0 \\ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1+(-3)\cdot 0\\ 1\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 6+2\\ 6-1\\ 3 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 8\\ 5\\3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Matrix-Vektor-Multiplikation Definition

Damit eine Matrix mit einem Vektor multipliziert werden kann, muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen.

Als Ergebnis erhältst du wieder einen Vektor.

Matrix-Vektor-Multiplikation Rechenregeln

Zwei Matrizen A $A$ und B $B$ , zwei Vektoren \vec{u} $\vec{u}$ und \vec{v} $\vec{v}$ sowie ein Skalar \alpha $\alpha$ sind gegeben.

Assoziativität

A\cdot(B\cdot\vec{u})=(A\cdot B)\cdot\vec{u}

A\cdot(B\cdot\vec{u})=(A\cdot B)\cdot\vec{u}

und

\alpha(A\cdot\vec{u})=(\alpha A)\cdot\vec{u}=A\cdot(\alpha\vec{u})

\alpha(A\cdot\vec{u})=(\alpha A)\cdot\vec{u}=A\cdot(\alpha\vec{u})

Merke:

Eine Zahl wird in der Vektorgeometrie auch als Skalar bezeichnet.

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Distributivität

(A+B)\cdot\vec{u}=A\vec{u}+B\vec{u}

(A+B)\cdot\vec{u}=A\vec{u}+B\vec{u}

und

A\cdot(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}

A\cdot(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}

Matrix-Vektor-Multiplikation Beispiele

1x3 - Matrix

A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}

\vec{u}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}

\vec{u}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}

A \cdot \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

A \cdot \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot2+2\cdot(-1) \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}}}

= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot2+2\cdot(-1) \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}}}

2x3 - Matrix

B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}

\vec{v}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}

\vec{v}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}

B \cdot \vec{v}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

B \cdot \vec{v}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot(-1)+(-1)\cdot2\\ 5\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot2 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}}}

= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot(-1)+(-1)\cdot2\\ 5\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot2 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}}}

3x3 - Matrix

C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}

C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}

\vec{w}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}

\vec{w}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}

C \cdot \vec{w}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

C \cdot \vec{w}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot0+5\cdot3 \\ (-1)\cdot1+2\cdot0+4\cdot3 \\ 3\cdot1+2\cdot0+0\cdot3 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 16 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}}}