Matrix mal Vektor

Hast du in Mathe gerade das Thema lineare Algebra und arbeitest mit Matrizen?

Dann kann es sein, dass du eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren sollst.

simpleclub zeigt dir Schritt für Schritt, wie du eine Matrix-Vektor-Multiplikation durchführst.


Matrix-Vektor-Multiplikation einfach erklärt

Das Matrix-Vektor-Produkt ist eine Spezialform der Matrizenmultiplikation.

Demzufolge wird das Produkt über das Zeile mal Spalte - Prinzip errechnet. Dafür werden zunächst die Einträge der ersten Zeile der Matrix mit den Einträgen des Vektors multipliziert und aufsummiert. Dies ergibt den ersten Eintrag des Ergebnisvektors. Führe das gleiche Prinzip mit den (eventuell) anderen Zeilen der Matrix durch und du erhältst alle weiteren Einträge des Ergebnisvektors.

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 2\cdot 1+0\cdot 0 \\ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1+(-3)\cdot 0\\ 1\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 6+2\\ 6-1\\ 3 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 8\\ 5\\3 \end{pmatrix} \end{aligned}(220213101)(310)=(23+21+0023+(1)1+(3)013+01+10)=(6+2613)=(853)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 2\cdot 1+0\cdot 0 \\ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1+(-3)\cdot 0\\ 1\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 6+2\\ 6-1\\ 3 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 8\\ 5\\3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Matrix-Vektor-Multiplikation Definition

Damit eine Matrix mit einem Vektor multipliziert werden kann, muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen.

Als Ergebnis erhältst du wieder einen Vektor.

Matrix-Vektor-Multiplikation Rechenregeln

Zwei Matrizen AAA und BBB , zwei Vektoren \vec{u}u\vec{u} und \vec{v}v\vec{v} sowie ein Skalar \alphaα\alpha sind gegeben.

Assoziativität

A\cdot(B\cdot\vec{u})=(A\cdot B)\cdot\vec{u}A(Bu)=(AB)uA\cdot(B\cdot\vec{u})=(A\cdot B)\cdot\vec{u}

und

\alpha(A\cdot\vec{u})=(\alpha A)\cdot\vec{u}=A\cdot(\alpha\vec{u})α(Au)=(αA)u=A(αu)\alpha(A\cdot\vec{u})=(\alpha A)\cdot\vec{u}=A\cdot(\alpha\vec{u})

Merke:

Eine Zahl wird in der Vektorgeometrie auch als Skalar bezeichnet.

Distributivität

(A+B)\cdot\vec{u}=A\vec{u}+B\vec{u}(A+B)u=Au+Bu(A+B)\cdot\vec{u}=A\vec{u}+B\vec{u}

und

A\cdot(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}A(u+v)=Au+AvA\cdot(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}

Matrix-Vektor-Multiplikation Beispiele

1x3 - Matrix

A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}A=(132)A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\vec{u}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}u=(121)\vec{u}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}A \cdot \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}Au=(132)(121)A \cdot \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot2+2\cdot(-1) \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}}}=(11+32+2(1))=(5)= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot2+2\cdot(-1) \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}}}

2x3 - Matrix

B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}B=(131521)B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}\vec{v}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}v=(112)\vec{v}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}B \cdot \vec{v}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}Bv=(131521)(112)B \cdot \vec{v}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot(-1)+(-1)\cdot2\\ 5\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot2 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}}}=(11+3(1)+(1)251+2(1)+12)=(45)= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot(-1)+(-1)\cdot2\\ 5\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot2 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}}}

3x3 - Matrix

C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}C=(105124320)C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}\vec{w}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}w=(103)\vec{w}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}C \cdot \vec{w}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}Cw=(105124320)(103)C \cdot \vec{w}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot0+5\cdot3 \\ (-1)\cdot1+2\cdot0+4\cdot3 \\ 3\cdot1+2\cdot0+0\cdot3 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 16 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}}}=(11+00+53(1)1+20+4331+20+03)=(16113)= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot0+5\cdot3 \\ (-1)\cdot1+2\cdot0+4\cdot3 \\ 3\cdot1+2\cdot0+0\cdot3 \end{pmatrix} =\underline{\underline{ \begin{pmatrix} 16 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}}}
Next topic:
Matrizen addieren und mit einer Zahl multiplizieren

Continue
Matrizen addieren und mit einer Zahl multiplizieren

Jetzt unlimited holen!

Mit simpleclub unlimited bekommst du Vollzugang zur App: Du boostest deine Noten, hast mehr Freizeit und gehst sicher in jede Klausur!

Jetzt unlimited holen

Jetzt simpleclub Azubi holen!

Mit simpleclub Azubi bekommst du Vollzugang zur App: Wir bereiten dich in deiner Ausbildung optimal auf deine Prüfungen in der Berufsschule vor. Von Ausbilder*innen empfohlen.

Jetzt simpleclub Azubi holen