Matrizen addieren und mit einer Zahl multiplizieren

Arbeitest du in Mathe gerade zu der linearen Algebra mit Matrizen?

Dann wirst du sicherlich auch Matrizen addieren oder mit einem Skalar multiplizieren sollen.

Das klingt erst mal kompliziert, ist aber gar nicht so schwer! simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt, wie es geht!


Matrixaddition und skalare Multiplikation einfach erklärt

Matrixaddition

Du kannst zwei Matrizen nur miteinander addieren, wenn sie gleich viele Zeilen und Spalten haben!

Das Ergebnis ist eine Matrix gleicher Größe.

Du addierst jeweils die Einträge beider Matrizen zusammen!

Schau dir die Animation an!

\boxed{\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1+1 & 2+4 & 3+7 \\ 4+2 & 5+5 & 6+8 \\ 7+3 & 8+6 & 9+9 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 2 & 6 & 10 \\ 6 & 10 & 14 \\ 10 & 14 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned}}(123456789)+(147258369)=(1+12+43+74+25+56+87+38+69+9)=(261061014101418)\boxed{\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1+1 & 2+4 & 3+7 \\ 4+2 & 5+5 & 6+8 \\ 7+3 & 8+6 & 9+9 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 2 & 6 & 10 \\ 6 & 10 & 14 \\ 10 & 14 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned}}\\\\

skalare Multiplikation

Du kannst eine beliebige Matrix mit einem Skalar multiplizieren. Ein Skalar ist dabei meist einfach eine Zahl.

Du multiplizierst dazu jeden Eintrag der Matrix mit dem Skalar. Das Ergebnis ist wieder eine Matrix!

Schau dir die Animation an!

\boxed{\begin{aligned} 2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 & 2\cdot3 \\ 2\cdot4 & 2\cdot5 & 2\cdot6 \\ 2\cdot7 & 2\cdot8 & 2\cdot9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned}}2(123456789)=(212223242526272829)=(24681012141618)\boxed{\begin{aligned} 2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 & 2\cdot3 \\ 2\cdot4 & 2\cdot5 & 2\cdot6 \\ 2\cdot7 & 2\cdot8 & 2\cdot9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned}}\\\\

Matrixaddition und skalare Multiplikation Definition

Zwei gleichgroße Matrizen addierst du, indem du die jeweiligen Einträge addierst. Eine Matrix multiplizierst du mit einer Zahl (Skalar), indem du jeden Eintrag mit dieser Zahl multiplizierst.

Rechenregeln

Für alle A,B \in\R^{n\times m}A,BRn×mA,B \in\R^{n\times m} und alle \lambda,\mu \in\Rλ,μR\lambda,\mu \in\R gilt:

\begin{aligned} A + B = B +A \quad\text{ (Kommutativgesetz)} \end{aligned}A+B=B+A (Kommutativgesetz)\begin{aligned} A + B = B +A \quad\text{ (Kommutativgesetz)} \end{aligned}\begin{aligned} \lambda\cdot A = A\cdot \lambda \end{aligned}λA=Aλ\begin{aligned} \lambda\cdot A = A\cdot \lambda \end{aligned}\begin{aligned} \lambda\cdot(\mu \cdot A) = (\lambda\cdot\mu )\cdot A \quad\text{ (Assoziativgesetz)} \end{aligned}λ(μA)=(λμ)A (Assoziativgesetz)\begin{aligned} \lambda\cdot(\mu \cdot A) = (\lambda\cdot\mu )\cdot A \quad\text{ (Assoziativgesetz)} \end{aligned}\begin{aligned} \lambda\cdot (A+B) = \lambda\cdot A+\lambda\cdot B \quad\text{ (Distributivgesetz)} \end{aligned}λ(A+B)=λA+λB (Distributivgesetz)\begin{aligned} \lambda\cdot (A+B) = \lambda\cdot A+\lambda\cdot B \quad\text{ (Distributivgesetz)} \end{aligned}

Matrixaddition und skalare Multiplikation Beispiel

\begin{aligned} 7\cdot\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\right) &= 7\cdot \begin{pmatrix} 1+1 & 2+4 & 3+7 \\ 4+2 & 5+5 & 6+8 \\ 7+3 & 8+6 & 9+9 \end{pmatrix} \\[3mm] &= 7\cdot \begin{pmatrix} 2 & 6 & 10 \\ 6 & 10 & 14 \\ 10 & 14 & 18 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 7\cdot2 & 7\cdot6 & 7\cdot10 \\ 7\cdot6 & 7\cdot10 & 7\cdot14 \\ 7\cdot10 & 7\cdot14 & 7\cdot18 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 14 & 42 & 70 \\ 42 & 70 & 98 \\ 70 & 98 & 126 \end{pmatrix} \end{aligned}7((123456789)+(147258369))=7(1+12+43+74+25+56+87+38+69+9)=7(261061014101418)=(727671076710714710714718)=(1442704270987098126)\begin{aligned} 7\cdot\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\right) &= 7\cdot \begin{pmatrix} 1+1 & 2+4 & 3+7 \\ 4+2 & 5+5 & 6+8 \\ 7+3 & 8+6 & 9+9 \end{pmatrix} \\[3mm] &= 7\cdot \begin{pmatrix} 2 & 6 & 10 \\ 6 & 10 & 14 \\ 10 & 14 & 18 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 7\cdot2 & 7\cdot6 & 7\cdot10 \\ 7\cdot6 & 7\cdot10 & 7\cdot14 \\ 7\cdot10 & 7\cdot14 & 7\cdot18 \end{pmatrix} \\[3mm] &= \begin{pmatrix} 14 & 42 & 70 \\ 42 & 70 & 98 \\ 70 & 98 & 126 \end{pmatrix} \end{aligned}
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