Matrix

Du lernst in Mathe gerade etwas über lineare Algebra und Matrizen? Dann ist dir bestimmt schon der Begriff Matrix begegnet.

Was ist eine Matrix und welche Formen der Matrix gibt es?

Die Antwort hat simpleclub für dich!


Matrix einfach erklärt

Eine Matrix besteht aus mmm Zeilen und nnn Spalten und wird m\times nm×nm\times n-Matrix genannt.

Die Position eines Elements wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index iii die Zeile und der zweite Index jjj die Spalte an.

A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}A=(a11a12a1,na21a22a2,nam,1am,2am,n)A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}

Matrix Definition

Eine Matrix AAA ist eine Anordnung von Elementen im rechteckigen Schema. Eine Matrix kann mehrere Zeilen und mehrere Spalten haben.


Matrixformen

Quadratische Matrizen

Eine Matrix, die die gleiche Anzahl Spalten wie Zeilen (m=n)(m=n)(m=n) hat, heißt quadratische Matrix. Am häufigsten kommen dabei 3\times 33×33\times 3 - Matrizen vor:

A=\begin{pmatrix} \textcolor{sc_color_3} {a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{sc_color_3} {a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \textcolor{sc_color_3} {a_{33}} \end{pmatrix}A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A=\begin{pmatrix} \textcolor{#DD2238} {a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{#DD2238} {a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \textcolor{#DD2238} {a_{33}} \end{pmatrix}

Die Elemente, für die i=ji=ji=j gilt, bilden die Hauptdiagonale.

Diagonalmatrix

Bei einer Diagonalmatrix sind alle Elemente, bis auf die der Hauptdiagonalen, gleich 000.

Das sieht bei einer 3\times 33×33\times 3-Matrix so aus:

A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}A=(300010007)A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

Die Nullmatrix und die Einheitsmatrix sind Spezialformen einer Diagonalmatrix.

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind alle Elemente gleich 000.

Das sieht bei einer 3\times 33×33\times 3-Matrix so aus:

\mathbf{0}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}0=(000000000)\mathbf{0}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Einheitsmatrix

Bei einer Einheitsmatrix sind die Elemente der Hauptdiagonalen gleich 111 und alle anderen Elemente gleich 000.

Das sieht bei einer 3\times 33×33\times 3-Matrix so aus:

I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}I=(100010001)I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Manchmal schreibt man EEE statt III. Der Buchstabe III steht für Identität, weil diese Matrix das neutrale Element bzgl. der Matrixmultiplikation ist.

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