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Was ist eine Matrix? - Matrizen Einführung und Matrix-Vektor-Multiplikation

Matrix

Du lernst in Mathe gerade etwas über lineare Algebra und Matrizen? Dann ist dir bestimmt schon der Begriff Matrix begegnet.

Was ist eine Matrix und welche Formen der Matrix gibt es?

Die Antwort hat simpleclub für dich!

Matrix einfach erklärt

Eine Matrix besteht aus m $m$ Zeilen und n $n$ Spalten und wird m\times n $m\times n$ -Matrix genannt.

Die Position eines Elements wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index i $i$ die Zeile und der zweite Index j $j$ die Spalte an.

A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}

A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}

Matrix Definition

Eine Matrix A $A$ ist eine Anordnung von Elementen im rechteckigen Schema. Eine Matrix kann mehrere Zeilen und mehrere Spalten haben.

Matrixformen

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Bereite dich mit Lernplänen besser auf Prüfungen vor.

Quadratische Matrizen

Eine Matrix, die die gleiche Anzahl Spalten wie Zeilen (m=n) $(m=n)$ hat, heißt quadratische Matrix. Am häufigsten kommen dabei 3\times 3 $3\times 3$ - Matrizen vor:

A=\begin{pmatrix} \textcolor{sc_color_3} {a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{sc_color_3} {a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \textcolor{sc_color_3} {a_{33}} \end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix} \textcolor{#DD2238} {a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{#DD2238} {a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \textcolor{#DD2238} {a_{33}} \end{pmatrix}

Die Elemente, für die i=j $i=j$ gilt, bilden die Hauptdiagonale.

Diagonalmatrix

Bei einer Diagonalmatrix sind alle Elemente, bis auf die der Hauptdiagonalen, gleich 0 $0$ .

Das sieht bei einer 3\times 3 $3\times 3$ -Matrix so aus:

A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

Die Nullmatrix und die Einheitsmatrix sind Spezialformen einer Diagonalmatrix.

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind alle Elemente gleich 0 $0$ .

Das sieht bei einer 3\times 3 $3\times 3$ -Matrix so aus:

\mathbf{0}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\mathbf{0}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Einheitsmatrix

Bei einer Einheitsmatrix sind die Elemente der Hauptdiagonalen gleich 1 $1$ und alle anderen Elemente gleich 0 $0$ .

Das sieht bei einer 3\times 3 $3\times 3$ -Matrix so aus:

I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Manchmal schreibt man E $E$ statt I $I$ . Der Buchstabe I $I$ steht für Identität, weil diese Matrix das neutrale Element bzgl. der Matrixmultiplikation ist.

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Matrix mal Vektor

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