Anzahl der Lösungen

Lineare Gleichungssysteme haben entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen.


Unendlich viele Lösungen

Wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat, erhältst du am Ende deiner Berechnung eine wahre Aussage. Dies kann zum Beispiel 4=4 sein.

Fall 1: Anzahl Variablen = Anzahl Gleichungen

Wenn ein LGS in diesem Fall unendlich viele Lösungen hat, müssen alle Zeilen Vielfache voneinander sein.

Fall 2: Anzahl Variablen ≠ Anzahl Gleichungen

Wenn ein LGS in diesem Fall unendlich viele Lösungen hat, müssen mehr Variablen als Gleichungen gegeben sein.

Keine Lösung

Wenn ein LGS keine Lösung hat, erhältst du am Ende deiner Berechnung eine falsche Aussage. Dies kann zum Beispiel 2=5 sein.

Eine Lösung

Wenn das LGS genau eine Lösung hat, erhältst du für jede einzelne Variable genau einen Wert.


Beispiele

Unendlich viele Lösungen

Fall 1: Anzahl Variablen = Anzahl Gleichungen

\textit{I.)}~~~~3x+2y=2I.)3x+2y=2\textit{I.)}~~~~3x+2y=2\textit{II.)}~~~6x+4y=4II.)6x+4y=4\textit{II.)}~~~6x+4y=4

Die zweite Gleichung ist die erste Gleichung mit 2 multipliziert. Deshalb hat dieses LGS unendlich viele Lösungen.

Fall 2: Anzahl Variablen ≠ Anzahl Gleichungen

\textit{I.)}~~~~3x+2y+z=2I.)3x+2y+z=2\textit{I.)}~~~~3x+2y+z=2\textit{II.)}~~~6x+4y=4II.)6x+4y=4\textit{II.)}~~~6x+4y=4

Es sind mehr Variablen als Gleichungen gegeben, daher hat auch dieses System unendlich viele Lösungen.

Keine Lösung

\textit{I.)}~~~~3x+y=4I.)3x+y=4\textit{I.)}~~~~3x+y=4\textit{II.)}~~~3x+y=1II.)3x+y=1\textit{II.)}~~~3x+y=1

Wende das Einsetzungsverfahren an.

Schritt 1: Eine Gleichung nach einer der Variablen umstellen.

\textit{Aus II:}AusII:\textit{Aus II:}\implies y=1-3xy=13x\implies y=1-3x

Schritt 2: Umgestellte Gleichung in die andere Gleichung einsetzen und nach anderer Variable umstellen.

y=1-3x\textit{ in I:}y=13xinI:y=1-3x\textit{ in I:}\implies 3x+(1-3x)=43x+(13x)=4\implies 3x+(1-3x)=4\Leftrightarrow \underline{\underline{1=4 \textit{ f.A.}}}1=4f.A.\Leftrightarrow \underline{\underline{1=4 \textit{ f.A.}}}

Schritt 3: Wert für Variable in die umgestellte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen.

Entfällt.

Schritt 4: Lösungsmenge aufstellen.

\implies\underline{\underline{L=\emptyset}}L=\implies\underline{\underline{L=\emptyset}}

Eine Lösung

\textit{I.)}~~~~4x+2y=3I.)4x+2y=3\textit{I.)}~~~~4x+2y=3\textit{II.)}~~~4x+y=1II.)4x+y=1\textit{II.)}~~~4x+y=1

Wende das Additionsverfahren an.

Schritt 1: Gleichungen umformen.

Passt schon.

Schritt 2: Eine der Gleichungen von der anderen subtrahieren bzw. addieren und eventuell umstellen.

\textit{I-II}I-II\textit{I-II}\implies \underline{\underline{y=2}}y=2\implies \underline{\underline{y=2}}

Schritt 3.1: Schritt 1 - 2 solange wiederholen, bis eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht.

Entfällt.

Schritt 3.2: Gelöste Variable(n) in die Ursprungsgleichung einsetzen und die übrige Variable lösen.

\textit{y=2 in II}y=2inII\textit{y=2 in II}\implies 4x+2=1 \ \ \ |-24x+2=12\implies 4x+2=1 \ \ \ |-2\Leftrightarrow 4x=-1 \ \ \ |:44x=1:4\Leftrightarrow 4x=-1 \ \ \ |:4\Leftrightarrow \underline{\underline{x=-\frac{1}{4}}}x=14\Leftrightarrow \underline{\underline{x=-\frac{1}{4}}}

Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben.

\implies\underline{\underline{L=\{(-\frac{1}{4};2)\}}}L={(14;2)}\implies\underline{\underline{L=\{(-\frac{1}{4};2)\}}}
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