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Lineare Gleichungssysteme haben entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Unendlich viele Lösungen
Wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat, erhältst du am Ende deiner Berechnung eine wahre Aussage. Dies kann zum Beispiel 4=4 sein.
Fall 1: Anzahl Variablen = Anzahl Gleichungen
Wenn ein LGS in diesem Fall unendlich viele Lösungen hat, müssen alle Zeilen Vielfache voneinander sein.
Fall 2: Anzahl Variablen ≠ Anzahl Gleichungen
Wenn ein LGS in diesem Fall unendlich viele Lösungen hat, müssen mehr Variablen als Gleichungen gegeben sein.
Keine Lösung
Wenn ein LGS keine Lösung hat, erhältst du am Ende deiner Berechnung eine falsche Aussage. Dies kann zum Beispiel 2=5 sein.
Eine Lösung
Wenn das LGS genau eine Lösung hat, erhältst du für jede einzelne Variable genau einen Wert.
Beispiele
Unendlich viele Lösungen
Fall 1: Anzahl Variablen = Anzahl Gleichungen
Die zweite Gleichung ist die erste Gleichung mit 2 multipliziert. Deshalb hat dieses LGS unendlich viele Lösungen.
Fall 2: Anzahl Variablen ≠ Anzahl Gleichungen
Es sind mehr Variablen als Gleichungen gegeben, daher hat auch dieses System unendlich viele Lösungen.
Keine Lösung
Wende das Einsetzungsverfahren an.
Schritt 1: Eine Gleichung nach einer der Variablen umstellen.
Schritt 2: Umgestellte Gleichung in die andere Gleichung einsetzen und nach anderer Variable umstellen.
Schritt 3: Wert für Variable in die umgestellte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen.
Entfällt.
Schritt 4: Lösungsmenge aufstellen.
Eine Lösung
Wende das Additionsverfahren an.
Schritt 1: Gleichungen umformen.
Passt schon.
Schritt 2: Eine der Gleichungen von der anderen subtrahieren bzw. addieren und eventuell umstellen.
Schritt 3.1: Schritt 1 - 2 solange wiederholen, bis eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht.
Entfällt.
Schritt 3.2: Gelöste Variable(n) in die Ursprungsgleichung einsetzen und die übrige Variable lösen.
Schritt 4: Lösungsmenge aufschreiben.
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